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2018-2019学年山东省潍坊市高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年山东省潍坊市高二(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知xy,xy0,那么下列不等式一定正确的是()Ax2y2Bx2y2CD2(5分)由a11,d2确定的等差数列an,当an103时,序号n等于()A52B53C54D553(5分)我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完这样,每日剩下的部分都是前一日的一半如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么剩下的部分所成的数列的通项公式为()Aann

2、BannCan()nDan2n4(5分)不饱和的a克糖水中有b克糖(ab0),若再添加c克糖(c0),则糖水更甜了请你运用所学过的不等式有关知识分析,以上糖水的浓度的变化现象可以用不等式表示为()ABCD5(5分)已知数列an的通项公式为an,则数列an为()A递增数列B递减数列C常数列D无法确定数列的增减性6(5分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7(5分)已知f(x)4x+(x0,a0)在x3处取得最小值,则a()A48B36C16D48(5分)已知等比数列an的各项均为正

3、数,若a1008a1011+a1009a10106,则log3a1+log3a2+log3a3+log3a2018()A1009B1010C2018D20209(5分)已知关于x的不等式mx2+5x+n0的解集是x|2x3,则实数n()A6B5C5D610(5分)设等差数列an的前n项和是Sn,已知S140,S150,则下面结论错误的是()Aa10,d0Ba7+a80CS6与S7均为Sn的最大值Da8011(5分)若关于x的不等式(m23m+2)x2+2(m1)x+50对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是()Am|m1或mBm|m1或mCm|m0或m3Dm|m0或m312(5分)数列an满

4、足an+1+(1)nan2n1,则an的前44项和为()A990B870C640D615二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.答案填写在答题卡相应的位置上.13(5分)命题“x0,+),x3+x0”的否定是 14(5分)已知数列an的通项公式an,则an中的最大项的值是 15(5分)某种型号的汽车的刹车距离s(单位:m)和汽车车速x(单位:km/h)有如下关系:s在某次交通事故中,测得这种型号的汽车的刹车距离不小于9m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为 km/h若此路段限速为30km/h,那么这辆汽车 超速现象(用“有或没有”填写)16(5分)给出下列结论:一元二次方程mx2+3mx

5、+m30有一正根和一负根,则0m3;已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且,则;某工厂去年的1月份的产值为m元,月平均增长率为p(p0),则这个工厂的年平均增长率为(1+p)121;设Sn是数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称数列an为“和等比数列”若数列cn是首项为c1,公差为d(d0)的等差数列,且数列cn是“和等比数列”,则d与c1之间满足的关系为d2c1其中正确的序号是 (把你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.把正确答案填在答题卡中的对应位置上17(10分)求下列关于x的不等式:

6、(1)x(x+2)x(3x)1; (2)118(12分)已知数列an为等差数列,a35,S416(1)求数列an的公差d和通项公式an;(2)设bn,求数列bn的前n项和为Tn19(12分)设二次函数f(x)ax2+(b3)x+3(1)若函数f(x)的零点为3,2,求函数f(x);(2)若f(1)1,a0,b0,求的最小值20(12分)已知p:|x3|3,q:ax2+(1a)x10(a0),若q是p的充分非必要条件,求实数a的取值范围21(12分)为了保护生态环境,某林场制定了植树造林的五个“五年计划”,第一年植树16a亩,以后每年植树面积都比上一年增加50%,但从第六年开始,每年植树面积都比

7、上一年减少a亩,该林场原有林地4a亩(1)求该林场第6年植树面积;(2)设前n(1n25且nN)年该林场的林地面积为sn亩,求sn的表达式22(12分)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,首项为a1,且,Sn成等差数列(1)判断数列an是否为等比数列?若是,写出通项公式,若不是,请说明理由;(2)若bn2log2an,设cn,求数列cn的前n项和Tn;(3)若不等式Tnm1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围2018-2019学年山东省潍坊市高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

8、.1(5分)已知xy,xy0,那么下列不等式一定正确的是()Ax2y2Bx2y2CD【分析】根据特殊值判断A,B,根据基本不等式的性质判断C,D即可【解答】解:若xy,xy0,则xy0,或yx0,对于A,令x1,y2,不成立,对于B,令x2,y1,不成立,由xy,两边同乘以,得:,故C错误,D正确,故选:D【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查特殊值法的应用,是一道基础题2(5分)由a11,d2确定的等差数列an,当an103时,序号n等于()A52B53C54D55【分析】由已知求得等差数列的通项公式,再由an103列式求得n值【解答】解:在等差数列an,由a11,d2,得an12(n1)

9、32n,则由an32n103,得n53故选:B【点评】本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题3(5分)我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完这样,每日剩下的部分都是前一日的一半如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么剩下的部分所成的数列的通项公式为()AannBannCan()nDan2n【分析】由题意知剩下的部分所成的数列为以为首项,以为公比的等比数列,由此能求出结果【解答】解:由题意知剩下的部分所成的数列为,是以为首项,以为公比的等比数列,an()n故选:C【点评】本题考查等比数列第4项的求法,

10、是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用4(5分)不饱和的a克糖水中有b克糖(ab0),若再添加c克糖(c0),则糖水更甜了请你运用所学过的不等式有关知识分析,以上糖水的浓度的变化现象可以用不等式表示为()ABCD【分析】写出加糖前后糖水的浓度,利用作差法得答案【解答】解:原来糖水得浓度为,添加c克糖后,糖水浓度为,ab0,c0,0,即故选:A【点评】本题考查不等式的基本性质,训练了作差法证明不等式,是基础题5(5分)已知数列an的通项公式为an,则数列an为()A递增数列B递减数列C常数列D无法确定数列的增减性【分析】利用数列单调性定义,检验an与an1的大小即可判断【解答】

11、解:an2+anan120,anan1,数列an为单调递减数列故选:B【点评】本题主要考出了数列单调性定义的简单应用,属于基础试题6(5分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S62S5,可以得到d0,根据充分必要条件的定义即可判断【解答】解:S4+S62S5,4a1+6d+6a1+15d2(5a1+10d),21d20d,d0,故“d0”是“S4+S62S5”充分必要条件,故选:C【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础

12、题7(5分)已知f(x)4x+(x0,a0)在x3处取得最小值,则a()A48B36C16D4【分析】由基本不等式求出函数f(x)4x+取得最小值时的x,结合已知即可求出a【解答】解:由基本不等式可得,f(x)4x+(x0,a0)4,当且仅当4x即x时取等号,f(x)在x3处取得最小值,则a36故选:B【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值的简单应用,属于基础试题8(5分)已知等比数列an的各项均为正数,若a1008a1011+a1009a10106,则log3a1+log3a2+log3a3+log3a2018()A1009B1010C2018D2020【分析】由已知结合等比数列的性质可得

13、a1009a10103,再由对数的运算性质可得答案【解答】解:由a1008a1011+a1009a10106,可得2a1009a10109,即a1009a10103,log3a1+log3a2+log3a2018log3(a1a2a2018)log3(a1009a1010)1009log3310091009故选:A【点评】本题考查等比数列的性质和通项公式,涉及对数的运算,属中档题9(5分)已知关于x的不等式mx2+5x+n0的解集是x|2x3,则实数n()A6B5C5D6【分析】根据题意,分析可得方程mx2+5x+n0的两个根为2和3,则有,解可得m、n的值,即可得答案【解答】解:根据题意,不

14、等式mx2+5x+n0的解集是x|2x3,则方程mx2+5x+n0的两个根为2和3,则有,解可得:m1,n6;故选:A【点评】本题考查一元二次不等式的解法,注意一元二次不等式的解集与方程根的关系,属于基础题10(5分)设等差数列an的前n项和是Sn,已知S140,S150,则下面结论错误的是()Aa10,d0Ba7+a80CS6与S7均为Sn的最大值Da80【分析】由已知可得数列an的前7项为正数,从第8项开始为负数,然后逐一核对四个选项得答案【解答】解:等差数列an的前n项和是Sn,且S140,S150,S147(a1+a14)7(a7+a8)0,即a7+a80,S1515a80,即a80,

15、a70等差数列an的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a10,d0S7为Sn的最大值故A,B,D正确,错误的是C故选:C【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值,得出等差数列an的前7项为正数,从第8项开始为负数是解决问题的关键,是基础题11(5分)若关于x的不等式(m23m+2)x2+2(m1)x+50对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是()Am|m1或mBm|m1或mCm|m0或m3Dm|m0或m3【分析】当m10时,经检验满足条件当m1,2时,由题意列出不等式组,由此求得实数m的取值范围【解答】解:当时,即m1不等式即50,显然,不等式对任意实数x都成立当m1,2时,由不等式(m2

16、3m+2)x2+2(m1)x+50对任意实数x都成立,可得m23m+20,且判别式0即,解m1或m,综上可得m|m1或m故选:A【点评】本题主要考查一元二次不等式,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题实际上,m1即可判断选项的结果12(5分)数列an满足an+1+(1)nan2n1,则an的前44项和为()A990B870C640D615【分析】令a1a,由递推式,算出前几项,得到相邻奇数项的和为2,偶数项中,每隔一项构成公差为8的等差数列,由等差数列的求和公式计算即可得到所求值【解答】解:令a1a,由,可得a21+a,a32a,a47a,a5a,a69+a,a72a,a81

17、5a,a9a,a1017+a,a112a,a1224a,可得(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+(a41+a43)2+2+2+221122;a2+a6+a10+a42(1+a)+(9+a)+(81+a)11(1+a)+11108451+11a;a4+a8+a12+a44(7a)+(15a)+(87a)11(7a)+1110851711a;即有前44项和为22+451+11a+51711a990故选:A【点评】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和,等差数列的求和公式的应用,解题的关键是通过构造等差数列,考查运算能力,属于难题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.答

18、案填写在答题卡相应的位置上.13(5分)命题“x0,+),x3+x0”的否定是x0,+),x3+x0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,即x0,+),x3+x0,故答案为:x0,+),x3+x0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础14(5分)已知数列an的通项公式an,则an中的最大项的值是【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解:an,当且仅当n6时取等号,则an中的最大项的值为故答案为:【点评】本题考查了数列通项公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题15(5分)某种型号的汽车的刹车

19、距离s(单位:m)和汽车车速x(单位:km/h)有如下关系:s在某次交通事故中,测得这种型号的汽车的刹车距离不小于9m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为36km/h若此路段限速为30km/h,那么这辆汽车有超速现象(用“有或没有”填写)【分析】设出这辆汽车刹车前的车速,利用题设中的s的关系式和不等式关系可得x的一元二次不等式,利用方程的思想求得方程x2+9x16200有两个实数根,则x的范围可得【解答】解:设这辆汽车刹车前的车速为xkm/h,根据题意,有s9,移项整理,得x2+9x16200,显然0,方程x2+9x16200有两个实数根,既x145,x236所以不等式的解集为x|x45或x36在

20、这个实际问题中,x0,所以这辆汽车刹车前的速度至少为36/h若此路段限速为30km/h,那么这辆汽车有超速现象故答案为:36;有【点评】本题主要考查了不等式的综合应用注意建立相应的数学模型,解决实际问题16(5分)给出下列结论:一元二次方程mx2+3mx+m30有一正根和一负根,则0m3;已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且,则;某工厂去年的1月份的产值为m元,月平均增长率为p(p0),则这个工厂的年平均增长率为(1+p)121;设Sn是数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称数列an为“和等比数列”若数列cn是首项为c1,公差为d(d0)的等差数列,且数列cn是“

21、和等比数列”,则d与c1之间满足的关系为d2c1其中正确的序号是(把你认为正确的结论的序号都填上)【分析】根据一元二次方程有一正根和一负根列方程组求得m的取值范围;根据等差数列的前n项和公式和中间项的关系求得的值;根据月平均增长率为计算年平均增长率的值;根据“和等比数列”的定义,利用是非零常数,求出d与c1之间的关系式【解答】解:对于,一元二次方程mx2+3mx+m30有一正根和一负根,则或,解得0m3,正确;对于,两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且,则,错误;对于,某工厂去年的1月份的产值为m元,月平均增长率为p(p0),则这个工厂的年平均增长率为(1+p)121,正确;对

22、于,若数列cn是首项为c1,公差为d(d0)的等差数列,且数列cn是“和等比数列”,则Snn2+(+c1)n,S2n4n2+2(+c1)n,若是非零常数,则d与c1之间满足的关系为d2c1综上所述,正确的序号是故答案为:【点评】本题利用命题真假的判断,考查了数列与方程、函数的应用问题,是中档题三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.把正确答案填在答题卡中的对应位置上17(10分)求下列关于x的不等式:(1)x(x+2)x(3x)1; (2)1【分析】(1)根据题意,将原不等式变形为2x2x+10,由一元二次函数的性质分析可得答案;(2)根据题意,原不

23、等式可以转化为(x+2)(x1)0且x+10,结合一元二次不等式的解法分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,x(x+2)x(3x)1转化为2x2x+10,又由(1)24270,则原不等式的解集为R;(2)根据题意,原不等式可以转化为(x+2)(x1)0且x+10,解可得:2x1;即不等式的解集为2,1)【点评】本题考查二次、分式不等式的解法,关键是将分式不等式转化为整式不等式,属于基础题18(12分)已知数列an为等差数列,a35,S416(1)求数列an的公差d和通项公式an;(2)设bn,求数列bn的前n项和为Tn【分析】(1)首先利用等差数列的性质建立方程组,求出数列的通项公式(2)利

24、用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解:(1)数列an为等差数列,设公差为d,a35,S416则:,解得:a11,d2,则:an1+2(n1)2n1,(2)由于:an2n1,所以:bn,所以:,【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型19(12分)设二次函数f(x)ax2+(b3)x+3(1)若函数f(x)的零点为3,2,求函数f(x);(2)若f(1)1,a0,b0,求的最小值【分析】(1)根据题意,由函数的零点与方程根的关系,分析可得方程ax2+(b3)x+30的两根为3和2,进

25、而可得,解可得a、b的值,代入函数的解析式即可得答案;(2)根据题意,由函数的解析式可得若f(1)1,则a+b1,进而可得()(a+b)+,由基本不等式的性质分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,二次函数f(x)ax2+(b3)x+3,若函数的零点为3和2,则方程ax2+(b3)x+30的两根为3和2,则有,解可得,则f(x)x2x+3,(2)由(1)的结论,f(x)x2x+3,若f(1)1,则a+b1,则()(a+b)+5+29,当且仅当b2a时等号成立,则的最小值为9【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系以及基本不等式的性质,注意利用韦达定理求出a、b的值,属于基础题20(12分)已知

26、p:|x3|3,q:ax2+(1a)x10(a0),若q是p的充分非必要条件,求实数a的取值范围【分析】p:|x3|3,可得3x33,解得x范围q:ax2+(1a)x10(a0),因式分解为:(ax+1)(x1)0,1(a0)对a分类讨论,利用充分非必要条件即可得出【解答】解:p:|x3|3,3x33,解得:0x6q:ax2+(1a)x10(a0),因式分解为:(ax+1)(x1)0,1(a0)当1a0时,1,不等式的解集为:,可得q:,q是p的充分非必要条件,6,解得a,1a当a1时,1,不等式的解集为:x1,可得q:x1,q是p的充分非必要条件,0,a1a1时,不等式化为:(x1)20,不

27、成立综上可得:实数a的取值范围是a,且a1【点评】本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题21(12分)为了保护生态环境,某林场制定了植树造林的五个“五年计划”,第一年植树16a亩,以后每年植树面积都比上一年增加50%,但从第六年开始,每年植树面积都比上一年减少a亩,该林场原有林地4a亩(1)求该林场第6年植树面积;(2)设前n(1n25且nN)年该林场的林地面积为sn亩,求sn的表达式【分析】(1)该林场前5年的植树面积分别为:16a,24a,36a,54a,81a可得该林场第6年植树面积(2)设第n年林场植树的面积为an亩,可得:1n5

28、,an16a;6n10,an(86n)a进而得出Sn【解答】解:(1)该林场前5年的植树面积分别为:16a,24a,36a,54a,81a该林场第6年植树面积为80a亩故该林场第6年植树面积为80a亩(2)设第n年林场植树的面积为an亩,则1n5,an16a;6n10,an(86n)a当1n5时,Sn16a+24a+16a32a1(亩)当6n10时,Sn16a+24a+36a+54a+81a+80a+(86n)a211a+80a+(86n)a211a+211a+(亩)Sn【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题22(12分)已

29、知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,首项为a1,且,Sn成等差数列(1)判断数列an是否为等比数列?若是,写出通项公式,若不是,请说明理由;(2)若bn2log2an,设cn,求数列cn的前n项和Tn;(3)若不等式Tnm1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)根据已知条件,利用递推关系式求出数列的通项公式(2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和(3)利用(2)的结论,进一步利用恒成立问题求出参数m的范围【解答】解:(1)各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,首项为a1,且,Sn成等差数列则:,当n1时,解得:当n2时,得:an2an2an1,整理得:,所以:数列an是以为首项,2为公比的等比数列所以:,当n1时,首项符合通项故:(2)由于:,所以:bn2log2an42n,由于cn,则:,所以,得:,4,解得:(3),则:,当n1,2,3时,当n1时,故cn的最大值为1,不等式Tnm1对一切正整数n恒成立,只需,故:m24m80,解得:,所以m的取值范围是:【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,函数的恒成立问题的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型