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2018-2019学年山东省枣庄市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年山东省枣庄市高二(上)期末数学试卷一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知复数z(i为虚数单位),则z的虚部为()ABCiDi2(5分)不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|x1或x23(5分)曲线yxlnx在xe处的切线方程为()AyxeBy2xeCyxDyx+14(5分)k9是方程表示双曲线的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件5(5分)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则a的值为()ABC4D106(5分)已知an为等差数列,其

2、前n项和为Sn,若a36,S312,则公差d等于()A1BC2D37(5分)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明、现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设ACa,BCb,则该图形可以完成的无字证明为()ABa2+b22ab(ab0)CD(ab0)8(5分)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且,用,表示向量为()A+B+C+D+9(5分)设Sn是等比数列an的前n项和,若,则()ABCD10(5分)已知函数f(x)ex+x2

3、+(3a+2)x在区间(1,0)上有最小值,则实数a的取值范围是()ABCD11(5分)已知双曲线1(a0,b0)的左右顶点分别为A1、A2,M是双曲线上异于A1、A2的任意一点,直线MA1和MA2分别与y轴交于P,Q两点,O为坐标原点,若|OP|,|OM|,|OQ|依次成等比数列,则双曲线的离心率的取值范围是()ABCD12(5分)对于任意的实数x1,e,总存在三个不同的实数y,使得成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13(5分)若不等式ax2+5x20的解集是,求a 14(5分)已知数列an中,an4n+5,等比数列

4、bn的公比q满足qanan1(n2),且b1a2,则|b1|+|b2|+|bn| 15(5分)函数y的最大值等于 16(5分)已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线l与抛物线C相切于Q点,P是l上一点(不与Q重合),若以线段PQ为直径的圆恰好经过F,则|PF|的最小值是 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知复数z1i(1)设wz(1+i)13i,求|w|;(2)如果i,求实数a,b的值18(12分)已知函数f(x)x2ax (aR)(1)若a2,求不等式f(x)3的解集(2)若x1,+)时,f(x)x22恒成立,求a的取值范围19(12

5、分)已知数列an为等差数列,其中a2+a38,a53a2(1)求数列an的通项公式;(2)记,设bn的前n项和为Sn,求最小的正整数n,使得20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的一点()若点E为棱PC的中点,证明:BEDC;()若BEAC,求二面角EABP的余弦值21(12分)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分別为F1,F2,且|F1F2|2,过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,ABF1的周长为8()求椭圆C的方程;()试问:是否存在定点P(x0,0),使得为定值?若存在,求x0;若不存在,请说明理由22(1

6、2分)已知函数f(x)xex+a(lnx+x),其中e为自然对数的底数()若ae,求f(x)的单调区间;()试当a0时,记f(x)的最小值为m,求证:m12018-2019学年山东省枣庄市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知复数z(i为虚数单位),则z的虚部为()ABCiDi【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由z,得z的虚部为故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题2(5分)不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2

7、Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|x1或x2【分析】此题是x的系数不为正的二次不等式,可转化为x的系数为正的整式不等式然后再利用二次不等式的解法即可求解【解答】解:(x1)(2x)0,(x2)(x1)0结合二次函数的性质可得解集为1x2故选:A【点评】主要考查了一元二次不等式的解法的解法,考查运算求解能力、化归与转化思想要保证x的系数均为正,这一点十分重要!3(5分)曲线yxlnx在xe处的切线方程为()AyxeBy2xeCyxDyx+1【分析】求导函数,确定xe处的切线的斜率,确定切点的坐标,利用点斜式可得结论【解答】解:求导函数f(x)lnx+1,f(e)lne+12f(e)elnee曲线

8、f(x)xlnx在xe处的切线方程为ye2(xe),即y2xe故选:B【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,属于基础题4(5分)k9是方程表示双曲线的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【分析】k9方程表示双曲线;方程k9或k4【解答】解:k9,9k0,k40,方程表示双曲线,方程表示双曲线,(9k)(k4)0,解得k9或k4,k9是方程表示双曲线的充分不必要条件故选:B【点评】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的合理运用5(5分)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,

9、则a的值为()ABC4D10【分析】求出双曲线的两焦点坐标,即为椭圆的焦点坐标,即可得到c的值,然后根据椭圆的定义得到a,最后利用a,b,c的关系即可求出a的值【解答】解:双曲线方程化为 ,(1分)由此得a2,b,(3分)c,焦点为(,0),(,0)(7分)椭圆中,则a2b2+c29+716(11分)则a的值为4故选:C【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,会求椭圆的标准方程,是一道综合题本题还考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用条件求出a,b,c值,是解题的关键6(5分)已知an为等差数列,其前n项和为Sn,若a36,S312,则公差d等于()A1BC2D3【分析】设

10、出等差数列的首项和公差,由a36,S312,联立可求公差d【解答】解:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由a36,S312,得:解得:a12,d2故选:C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式,是基础的会考题型7(5分)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明、现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设ACa,BCb,则该图形可以完成的无字证明为()ABa2+b22ab(ab0)CD(ab0)【分析】由图形可知OF,OC,在RtOC

11、F中,由勾股定理可求CF,结合CFOC即可得出【解答】解:由图形可知:OF,OC,在RtOCF中,由勾股定理可得:CF,CFOC,(a,b0)故选:D【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8(5分)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且,用,表示向量为()A+B+C+D+【分析】如图所示,连接ON,AN,利用向量的中点公式可得(+)(+),(+),进而即可得出【解答】解:如图所示,连接ON,AN,则(+)(+),(+)(2+)(2+)+,所以(+)+故选:C【点评】熟练掌握向量的运算法则、中点公式等是解题的关键9(5分)

12、设Sn是等比数列an的前n项和,若,则()ABCD【分析】利用等比数列的求和公式,化简,再代入计算,即可得出结论【解答】解:,q5049,故选:B【点评】本题考查等比数列的求和公式,考查学生的计算能力,属于中档题10(5分)已知函数f(x)ex+x2+(3a+2)x在区间(1,0)上有最小值,则实数a的取值范围是()ABCD【分析】f(x)ex+2x+3a+2函数f(x)ex+x2+(3a+2)x在区间(1,0)上有最小值,可得:函数f(x)ex+x2+(3a+2)x在区间(1,0)上有极小值,而f(x)ex+2x+3a+20在区间(1,0)上单调递增,f(x)ex+2x+3a+20在区间(1

13、,0)上必有唯一解x0,使得f(x)在(1,x0)单调递减,在(x0,0)上单调递增利用函数零点存在定理即可的【解答】解:f(x)ex+2x+3a+2函数f(x)ex+x2+(3a+2)x在区间(1,0)上有最小值,函数f(x)ex+x2+(3a+2)x在区间(1,0)上有极小值,而f(x)ex+2x+3a+20在区间(1,0)上单调递增,f(x)ex+2x+3a+20在区间(1,0)上必有唯一解x0,使得f(x)在(1,x0)单调递减,在(x0,0)上单调递增,解得1a实数a的取值范围是故选:D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理

14、,考查了推理能力与计算能力,属于难题11(5分)已知双曲线1(a0,b0)的左右顶点分别为A1、A2,M是双曲线上异于A1、A2的任意一点,直线MA1和MA2分别与y轴交于P,Q两点,O为坐标原点,若|OP|,|OM|,|OQ|依次成等比数列,则双曲线的离心率的取值范围是()ABCD【分析】设M(x0,y0),P(0,yp),Q(0,yq),通过三点共线,求出yp,yq,利用等比数列求出b的范围,然后求解离心率即可【解答】解:设M(x0,y0),P(0,yp),Q(0,yq),由M,P,A1三点共线,可知yp,同理由M,P,A2三点共线,yq,所以|OP|OQ|,从而|OM|b,当ba时,满足

15、题意,所以e故选:A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,等比数列的性质的应用,考查计算能力12(5分)对于任意的实数x1,e,总存在三个不同的实数y,使得成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()ABCD【分析】先分离函数,函数交点个数即为解的个数,然后分别求值域,求解【解答】解:原式可化简为:,令f(x)xlnxa,f(x)1+lnx0,故函数f(x)在x1,e上单调递增,f(x)a,ea;,故函数在(,0)上单调递增,(0,2)上单调递减,(2,+)上单调递增,g(y)图象如图:对于任意的实数x1,e,总存在三个不同的实数y,使得成立,则,即,故选:A【点评】本题考查函数与

16、方程,用到导数求单调性,属于难题二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13(5分)若不等式ax2+5x20的解集是,求a2【分析】由题意知对应方程ax2+5x20的实数根是和2,利用根与系数的关系求得a的值【解答】解:不等式ax2+5x20的解集是,方程ax2+5x20的实数根和2,由根与系数的关系式得+2,解得a2故答案为:2【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系与应用问题,是基础题14(5分)已知数列an中,an4n+5,等比数列bn的公比q满足qanan1(n2),且b1a2,则|b1|+|b2|+|bn|4n1【分析】先由an4n+5及qanan1求出q,再由b1a

17、2,求出b1,从而得到bn,进而得到|bn|,根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+|bn|【解答】解:qanan1(4n+5)4(n1)+54,b1a242+53,所以bnb1qn13(4)n1,|bn|3(4)n1|34n1,所以|b1|+|b2|+|bn|3+34+342+34n134n1,故答案为:4n1【点评】本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式,考查学生的运算能力,属中档题15(5分)函数y的最大值等于【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可【解答】解:函数的定义域是(0,+),y,令y0,解得:0x

18、e,令y0,解得:xe,故函数在(0,e)递增,在(e,+)递减,故xe时,函数取得最大值,最大值是,故答案为:【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道基础题16(5分)已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线l与抛物线C相切于Q点,P是l上一点(不与Q重合),若以线段PQ为直径的圆恰好经过F,则|PF|的最小值是2【分析】先证明点P在抛物线的准线x1上,因此,原问题转化为准线上的动点P引抛物线的切线于Q,求切线PQ长的最小值,显然当P位于(1,0)时,切线长最短,即|PQ|minp2,从而可得|PF|的最小值【解答】解:抛物线C:y24x的焦点为F(1,0),设Q(a,

19、2),则kQF,以线段PQ为直径的圆恰好经过F,可得PFQF,PF的方程为y(x1)y24x,取y2,y,直线l的方程为y2(xa)联立,可得点P在抛物线的准线x1上,因此,原问题转化为准线上的动点P引抛物线的切线于Q,求切线PQ长的最小值,显然当P位于(1,0)时,切线长最短,即|PQ|minp2,此时a1,Q(1,2),|QF|2,|PF|的最小值是p2故答案为:2【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,确定点P在抛物线的准线x1上是关键三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知复数z1i(1)设wz(1+i)13i,

20、求|w|;(2)如果i,求实数a,b的值【分析】(1)利用复数的运算化简w,求模;(2)首先化简分子、分母,利用复数相等求a,b【解答】解(1)因为z1i,所以wz(1+i)13i13i (3分)|w|;(7分)(2)由题意得:z2+az+b(1i)2+a(1i)+ba+b(2+a)i;(1+i)i1+i所以,(12分)解得(14分)【点评】本题考查了复数的相等,复数的运算;比较基础18(12分)已知函数f(x)x2ax (aR)(1)若a2,求不等式f(x)3的解集(2)若x1,+)时,f(x)x22恒成立,求a的取值范围【分析】(1)若a2,f(x)3,即x22x30,解得答案;(2)f(

21、x)x22,即a2(x+)在x1,+)时恒成立,构造函数h(x)2(x+),求出最小值,可得a的取值范围【解答】解:(1)若a2,f(x)3,即x22x30即(x3)(x+1)0 所以x|x1或x3(6分)(2)解:f(x)x22,即a2(x+)在x1,+)时恒成立,(8分)令h(x)2(x+),等价于ah(x)min在x1,+)时恒成立,(10分)所以,当且仅当x,即x1时,取等号;所以a4(12分)故所求a的取值范围是a4(13分)【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,对勾函数的图象和性质,难度中档19(12分)已知数列an为等差数列,其中a2+a38,a53a2(1)求数列an

22、的通项公式;(2)记,设bn的前n项和为Sn,求最小的正整数n,使得【分析】(1)利用等差数列的通项公式,列出方程组求解数列的首项以及公差,然后求解通项公式(2)化简新数列的通项公式,利用裂项相消法求解数列的和,然后列出不等式求解即可【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,依题意有,解得a11,d2,从而an的通项公式为;(2)因为,所以令,解得n1009,故取n1010【点评】本题考查数列的应用,数列与不等式相结合,数列求和的应用,考查计算能力20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的一点()若点E为棱PC的中点

23、,证明:BEDC;()若BEAC,求二面角EABP的余弦值【分析】(1)根据题目条件,可以使用平行四边形法证明垂直,也可以使用空间向量法直接证垂直;(2)根据(1)当中建系所得的坐标,以及新条件的垂直,重新得到E点的坐标,再进行常规的二面角的空间向量运算过程【解答】证明:(1)因为PA底面ABCD,AD底面ABCD,AB底面ABCD,所以:PAAD,PAAB,又因为ADAB,所以PA、AD、AB两两垂直,以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系:可得,B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),因为点E为棱PC的中点,得E(1,1,1),故,所以,所以BEDC(2

24、),不妨设,故,由BEAC,得,解得,即,设(x,y,z)为平面EAB的法向量,则,即,不妨令z1,可得为平面EAB的一个法向量,易知平面ABP的一个法向量,则,且二面角EABP是锐角,所以余弦值为【点评】(1)本题考查异面直线的垂直,考查利用空间向量法证垂直,属于中档题;(2)本题考查二面角,考查利用空间向量先求出给定点的坐标,再进行其它运算,考验图形转化代数的能力,属于中档题21(12分)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分別为F1,F2,且|F1F2|2,过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,ABF1的周长为8()求椭圆C的方程;()试问:是否存在定点P(x0,0),使得为定值?若存在

25、,求x0;若不存在,请说明理由【分析】()由题意及a,b,c的关系直接得椭圆方程;()先假设存在,分斜率存在和不存在两种情况讨论数量积为定值时的P的横坐标【解答】解:()由题意得:2c2,4a8,b2a2c2,a24,b23,所以椭圆的方程:1;()假设存在定点P(x0,y0),使得为定值;当直线的斜率存在时,设直线AB为yk(x1),设A(x,y),B(x,y),联立与椭圆的方程整理得:(3+4k2)x28k2x+4k2120,x+x,xx,yyk2xx(x+x)+1,(xx0,y),(xx0,y),(xx0)(xx0)+yyxxx0(x+x)+x02+yy,因为为定值,所以解得x,此时当直

26、线AB的斜率不存在时,则由()得,直线AB为x1,与椭圆联立得:y,即A(1,),B(1,),则(x01)2,当x0,得,综上所述:存在定点P(),使得为定值【点评】考查直线与椭圆的综合,属于中难题22(12分)已知函数f(x)xex+a(lnx+x),其中e为自然对数的底数()若ae,求f(x)的单调区间;()试当a0时,记f(x)的最小值为m,求证:m1【分析】()将ae代入,求导后容易求得单调区间;()利用导数求证即可【解答】解:()函数f(x)的定义域是(0,+),当ae时,函数m(x)xexe,x0单调递增,且m(1)0,当0x1时,f(x)0,当x1时,f(x)0,函数f(x)的单

27、调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);()证明:由()得f(x)的定义域是(0,+),令g(x)xex+a,则g(x)(x+1)ex0,g(x)在(0,+)上单调递增,a0,g(0)a0,g(a)aea+aa+a0,故存在x0(0,a),使得,当x(0,x0)时,g(x)0,故f(x)0,f(x)单调递减,当x(x0,+)时,g(x)0,故f(x)0,f(x)单调递增,故xx0时,f(x)取得最小值,即,由得:,令xa0,h(x)xxlnx,则h(x)lnx,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)单调递减,故x1,即a1时,h(x)xxlnx取最大值1,故m1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查利用导数证明不等式,考查推理论证能力,属于中档题