1、2017-2018学年山东师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：n1，n22n，则p为（）An1，n22nBn1，n22nCn1，n22nDn1，n22n2（5分）在ABC中，若a2，则B（）ABCD或3（5分）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是（）A（，1）（3，+）B（1，3）C（1，3）D（，1）（3，+）4（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Cac2bc2Da2abb25（5分）在等差数列an中
2、，若a3+a4+a53，a88，则a12的值是（）A15B30C31D646（5分）若x，y满足约束条件，则z2x+3y的最大值为（）A2B6C7D97（5分）已知x2，则x的最小值为（）A2B1C2D48（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”请问第三天走了（）A60里B48里C36里D24里9（5分）抛物线y22px（p0）上的点M（4，m）到焦点的距离为5，则m的值为（）A
3、3或3B4C4D4或410（5分）在ABC中，“C”是“sinAcosB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件11（5分）点P是双曲线x21（b0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|6，PF1PF2，则双曲线的离心率为（）AB2CD12（5分）若方程x3+ax2+bx+x0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a2+（b3）2的取值范围是（）A（）B（）C（2）D（8，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）直线y4x与曲线yx2围成的封闭区域面积为 14（5分）若函数f（x）x312x
4、+a的极大值为10，则f（x）的极小值为 15（5分）已知x0，y0，若，则x+y的最小值为 16（5分）函数f（x）的定义域为R，f（2）2018，若对任意的xR，都有f（x）2x成立，则不等式f（x）x2+2014的解集为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知an是等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设bnnan，求数列bn的前n项和Sn18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinCc+ccosA（1）求角A的大小；（2）若a2，ABC的面积为，求ABC的周长19（12分）已知
5、函数f（x）x2+xlnx（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数yf（x）的极值，并确定该函数零点的个数20（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y24x的焦点与椭圆的一个焦点重合（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线m交椭圆于A，B两点，求OAB的面积21（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，设点A（0，b），在AF1F2中，F1AF2，周长为4（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线AM与AN的斜率之和为1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标
6、22（12分）已知函数f（x）lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围2017-2018学年山东师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：n1，n22n，则p为（）An1，n22nBn1，n22nCn1，n22nDn1，n22n【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：n1，n22n，则P为n1，n22n故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命
7、题与全称命题的否定关系，是基础题2（5分）在ABC中，若a2，则B（）ABCD或【分析】先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B【解答】解：，sinBsinA，B或，ab，AB，B故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用在解题的过程中要注意已知条件中的隐含的信息，如本题不注意ab的情况，会出现错解3（5分）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是（）A（，1）（3，+）B（1，3）C（1，3）D（，1）（3，+）【分析】根据不等式axb0的解集得出ab0，再化简不等式（ax+b）（x3）0，求出它的解集即可【解答】解：关于x的不等式axb0
8、的解集是（1，+），即不等式axb的解集是（1，+），ab0；不等式（ax+b）（x3）0可化为（x+1）（x3）0，解得1x3，该不等式的解集是（1，3）故选：C【点评】本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目4（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Cac2bc2Da2abb2【分析】结合已知中ab0，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论【解答】解：ab0，ab0，即，故A错误；abb2，故B错误；当c0时，ac2bc2，故C错误；a2abb2，故D正确；故选：D【点评】本题是不等式基本性质的综合应用，熟练掌握不等式的基本性质，
9、是解答的关键5（5分）在等差数列an中，若a3+a4+a53，a88，则a12的值是（）A15B30C31D64【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a3+a4+a53，a88，3a43，即a1+3d1，a1+7d8，联立解得a1，d则a12+1115故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）若x，y满足约束条件，则z2x+3y的最大值为（）A2B6C7D9【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z2x+3y，得yx
10、+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+的截距最大，此时z最大由，解得A（2，1）此时z的最大值为z22+317，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法7（5分）已知x2，则x的最小值为（）A2B1C2D4【分析】根据基本不等式即可求出最小值【解答】解：x2，x+20，xx+2+222422，当且仅当x0时取等号，x的最小值为2，故选：C【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题8（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算
11、相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”请问第三天走了（）A60里B48里C36里D24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列an、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列an，且公比为，6天后共走了378里，S6，解得a1192，第三天走了a3a119248，故选：B【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题9（5分）抛物线y22px（p0）上的点M（4，m）到焦点的距离为5，则m的值为（）A3或3B
12、4C4D4或4【分析】根据抛物线的定义列方程求出m，把M代入抛物线方程即可求出m的值【解答】解：抛物线的准线为：x，点M（4，m）到准线的距离为4+5，p2，m222（4），解得m4故选：D【点评】本题考查了抛物线的定义性质，属于基础题10（5分）在ABC中，“C”是“sinAcosB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论【解答】解：“C”“A+B”“AB”sinAcosB，反之sinAcosB，A+B，或A+B，“C”不一定成立，A+B是sinAcosB成立的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查的知识点是
13、充要条件的定义，难度不大，属于基础题11（5分）点P是双曲线x21（b0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|6，PF1PF2，则双曲线的离心率为（）AB2CD【分析】根据题意，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a2，设|PF1|PF2|，则有|PF1|PF2|2，与|PF1|+|PF2|6联立分析可得|PF1|、|PF2|的值，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|24c220，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，点P是双曲线x21（b0）上一点，则有|PF1|PF2|2a2，设|PF1|PF2|，则有|PF1|PF2|2，又由|
14、PF1|+|PF2|6，解可得：|PF1|4，|PF2|2，又由PF1PF2，则有|PF1|2+|PF2|24c220，则c，又由a1，则双曲线的离心率e；故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及勾股定理的应用，注意利用双曲线的定义求出|PF1|、|PF2|的关系12（5分）若方程x3+ax2+bx+x0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a2+（b3）2的取值范围是（）A（）B（）C（2）D（8，+）【分析】利用抛物线的离心率为1，求出c1ab，分解函数的表达式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a，b的关系利用线性规划求解a2+（b3）2的
15、取值范围即可【解答】解：设f（x）x3+ax2+bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）1+a+b+c0，故c1ab，所以f（x）（x1）x2+（1+a）x+a+b+1的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）x2+（1+a）x+a+b+1，有两个分别属于（0，1），（1，+）的零点，故有g（0）0，g（1）0，即a+b+10且2a+b+30，a2+（b3）2表示（a，b）点到（0，3）点的距离的平方，由（0，3）到2a+b+30的距离d利用线性规划的知识，可确定a2+（b3）2的取值范围是（，+）故选：B【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查
16、计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）直线y4x与曲线yx2围成的封闭区域面积为【分析】联立方程组求出两曲线的交点坐标，根据定积分的几何意义求出面积【解答】解：联立方程组，解得或，S（4xx2）dx（2x2）故答案为【点评】本题考查了定积分的应用，属于基础题14（5分）若函数f（x）x312x+a的极大值为10，则f（x）的极小值为22【分析】利用导数研究函数的单调性极值即可得出【解答】解：函数f（x）x312x+a，f（x）3x2123（x+2）（x2），令f（x）0，解得x2或2可得x2是函数f（x）的极大值点，x2是函数f（x）的极小值点函数f（x）x312x
17、+a的极大值为10，f（2）8+24+a10，解得a6则f（x）的极小值为f（2）824622故答案为：22【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）已知x0，y0，若，则x+y的最小值为25【分析】x+y（+）（x+y），然后化简整理后利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件【解答】解；x0，y0，若，x+y（+）（x+y）4+9+13+213+1225（当且仅当3x2y等号成立），x+y的最小值为25，故答案为：25【点评】本题考查基本不等式，着重考查整体代换的思想，易错点在于应用基本不等式时需注意“一正二定三等”
18、三个条件缺一不可，属于基础题16（5分）函数f（x）的定义域为R，f（2）2018，若对任意的xR，都有f（x）2x成立，则不等式f（x）x2+2014的解集为（2，+）【分析】根据题意，构造函数g（x）f（x）x22014，对其求导可得函数g（x）在R上单调递减，由f（2）的值分析可得g（2）f（2）（2）220140，进而可以将不等式变形为g（x）g（2），结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，令g（x）f（x）x22014，则g（x）f（x）2x0，函数g（x）在R上单调递减，而f（2）2018，g（2）f（2）（2）220140不等式f（x）x2+2014，可化为g（x）g
19、（2），x2即不等式f（x）x2+2014的解集为（2，+）；故答案为：（2，+）【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是依据题意，构造函数g（x）并分析函数的单调性三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知an是等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设bnnan，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）an是公比为q的等比数列，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项；（）求得bnnann2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：
20、（）an是公比为q的等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列，可得a1+a42（a3+1），即有2+2q32（2q2+1），解得q2（0舍去），则an22n12n；（）bnnann2n，则前n项和Sn12+222+n2n，2Sn122+223+n2n+1，相减可得Sn2+22+2nn2n+1n2n+1，化简可得Sn（n1）2n+1+2【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项性质，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinCc+ccosA（1）求角A的大小；（2）若a2，
21、ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）由已知及正弦定理知，结合sinC0，可得，利用两角差的正弦函数公式可得，根据A的范围可得A的值（2）由三角形面积公式可求bc的值，根据余弦定理可求b+c的值，即可得解三角形的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理知：，C（0，），sinC0，；（2分）； （4分），（6分）（2）由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：（b+c）23bc12；（8分）又； （10分）；ABC的周长为（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（1
22、2分）已知函数f（x）x2+xlnx（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数yf（x）的极值，并确定该函数零点的个数【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f（1）2，即可得切点的坐标，进而求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，即可得切线的方程；（2）根据题意，求出函数的导数，分析导函数的符号可得函数的单调性，求出其最小值，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）x2+xlnx，则f（1）2，即切点的坐标为（1，2）；又，则kf（1）2；即切线方程为：y2x；（2）函数f（x）x2+xlnx，定义域为（0，+），则，令，令，即f（x）在单调递减
23、，在单调递增；则当x时，函数f（x）有极小值f（）+ln2，无极大值，且f（x）极小值为最小值为，又有f（）+ln20，所以f（x）无零点【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性、极值以及计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义20（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y24x的焦点与椭圆的一个焦点重合（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线m交椭圆于A，B两点，求OAB的面积【分析】（1）所求椭圆标准方程为：，由抛物线方程求得c，再由离心率求a，结合隐含条件求b，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利
24、用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求O到直线m的距离，代入三角形面积公式得答案【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦距为2c，抛物线y24x的焦点为F（1，0），c1，又离心率，再由b2a2c2，得b24，所求椭圆标准方程为：；（2）由（1）知：左焦点为F1（1，0），直线m的方程为：yx+1，联立，得9x2+10x150，由弦长公式得：，O到直线AB的距离【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题21（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，设点A（0，b），在AF1F2中，F1AF2，周长为4（1）求椭圆C的方程；（
25、2）设不经过点A的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线AM与AN的斜率之和为1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【分析】（1）由已知可得a，c的关系，结合周长求得a，c，进一步得到b，则椭圆方程可求；（2）分析可知，直线l的斜率存在，设直线l方程：ykx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得M，N的横坐标的和与积，结合直线AM与AN的斜率之和为1可得m与k的关系，再由直线系方程得答案【解答】（1）解：由，又AF1F2的周长为，联立，解得，椭圆方程为；（2）证明：当直线l的斜率不存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），由1，x1x2，yy1y
26、2得x12，此时A，B重合，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l方程：ykx+m，交点M（x1，y1），N（x2，y2），由，依题：，y1kx1+m，y2kx2+m，直线l方程为：ykx+mkx2k1k（x2）1，则过定点（2，1）【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题22（12分）已知函数f（x）lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围【分析】（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，f（x）在（0，+）上单调递增；若a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减（）f（x），令g（x）
27、xlnxa（x21），（x1），g（x）lnx+12ax，令F（x）g（x）lnx+12ax，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，则f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，若a0，则由f（x）0，得x，当x（0，）时，f（x）0，当x（）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减所以当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减（）f（x），令g（x）xlnxa（x21），（x1），g（x）lnx+12ax，令F（x）g（x）lnx+12ax，若a0，F
28、（x）0，g（x）在1，+）上递增，g（x）g（1）12a0，g（x）在1，+）上递增，g（x）g（1）0，从而f（x）不符合题意若0a，当x（1，），F（x）0，g（x）在（1，）上递增，从而g（x）g（1）12a，g（x）在1，+）上递增，g（x）g（1）0，从而f（x）不符合题意若a，F（x）0在1，+）上恒成立，g（x）在1，+）上递减，g（x）g（1）12a0，从而g（x）在1，+）上递减，g（x）g（1）0，f（x）0，综上所述，a的取值范围是）【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用