1、2017-2018学年青海师大二附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1（5分）下列四个命题中假命题的个数是（）两条直线都和同一个平面没有交点，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A4B3C2D12（5分）如果zm（m+1）+（m21）i为纯虚数，则实数m的值为（）A1B0C1D1或13（5分）条件p：复数a+bi（a，bR）是纯虚数，条件q：a0，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必
2、要条件D既不充分也不必要条件4（5分）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1+2i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为（）A2iB2+iC1+2iD1+2i5（5分）如图，阴影区域是由函数ycosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A1B2CD6（5分）函数y（x+）5的导数为（）Ay5（x+）4By5（x+）4（1）Cy5（x+）4（x+）Dy5（x+）4（x）7（5分）下列函数存在极值的是（）AyByxexCyx3+x2+2x3Dyx38（5分）函数f（x）x33x（|x|1）（）A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值
3、D既无最大值，也无最小值9（5分）已知不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，4B4，+）C（，5D5，+）10（5分）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年产量保持不变其中说法正确的有（）ABCD11（5分）若二次函数f（x）ax2+bx+c图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f（x）的图象可能是（）ABCD12（5分）函数f（x）lnxx2的图象大致是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分2
4、0分）13（5分）已知a，bR，i为虚数单位，若ai2+bi，则a+b 14（5分）已知yx3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调函数，则b的取值范围是 15（5分）如图，函数yf（x）的图象在点P（4，f（4）处的切线方程是y2x+9，则f（4）+f（4）的值为 16（5分）设函数f（x）g（x）+x2，曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y2x+1，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数z2m+（4m2）i在复平面内对应的点：（1）位于虚轴上（2）位
5、于第一、三象限18（12分）求抛物线yx2在x2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积（要求作图）19（12分）设F（x）（t+2t8）dt（x0）（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在1，3上的最值20（12分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x万元，且每万件国家给予补助2e万元（e为自然对数的底数，e是一个常数）（）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（）当月产量在1，2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万
6、元）及此时的月生成量值（万件）（注：月利润月销售收入+月国家补助月总成本）21（12分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间0，2上的最小值22（12分）已知函数f（x）ax2（a+2）x+lnx（1）当a0时，求f（x）的单调区间（2）当a0时，求函数f（x）在区间1，e上的最小值（3）在条件（2）下，当最小值为2时，求a的取值范围2017-2018学年青海师大二附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1（5分）下列四个命题
7、中假命题的个数是（）两条直线都和同一个平面没有交点，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A4B3C2D1【分析】在中，这两条直线平行、相交或异面；在中，这两条直线平行或异面；在中，这两条直线平行、相交或异面；在中，这条直线和这个平面平行或在平面内【解答】解：在中，两条直线都和同一个平面没有交点，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；在中，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；在中，两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；在中
8、，平面外一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则由线面平行的判定定理得这条直线和这个平面平行，平面内一条直线与一个平面内无数条直线没有公共点，则直线在平面内，故错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题2（5分）如果zm（m+1）+（m21）i为纯虚数，则实数m的值为（）A1B0C1D1或1【分析】根据纯虚数的定义判断即可【解答】解：由题意得：，解得：m0，故选：B【点评】本题考查了纯虚数的定义，考查对应思想，是一道基础题3（5分）条件p：复数a+bi（a，bR）是纯虚数，条件q：a0，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充
9、分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出复数a+bi（a，bR）是纯虚数的条件，与条件q：a0，比较判断充要条件的关系【解答】解：p：复数a+bi（a，bR）是纯虚数，必须a0，b0；又q：a0，显然pq，但是由q推不出p，p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，充要条件的判断方法，是基础题4（5分）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1+2i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为（）A2iB2+iC1+2iD1+2i【分析】由已知求得A的坐标，由对称性得到B的坐标，则答案可求【解答】解：由题意，点A（1，2），点A关于直线yx
10、的对称点B（2，1），则向量对应的复数为2+i故选：B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题5（5分）如图，阴影区域是由函数ycosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A1B2CD【分析】由题意，阴影区域的面积是Scosxdx，即可得出结论【解答】解：由题意，阴影区域的面积是Scosxdxsinx2故选：B【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解答本题的关键是灵活运用性质，对问题灵活转化6（5分）函数y（x+）5的导数为（）Ay5（x+）4By5（x+）4（1）Cy5（x+）4（x+）Dy5（x+）4（x）【分析】进行复合函数和基本初等函数的求导即可
11、【解答】解：故选：B【点评】考查基本初等函数和复合函数的求导公式7（5分）下列函数存在极值的是（）AyByxexCyx3+x2+2x3Dyx3【分析】由极值的定义确定是否存在极值，注意导数有正有负且有0【解答】解：选项A：y，y0，不存在极值点，故A错；选项B：yxex，y1ex，令y0，得x0，且x0时，y0，x0时，y0，则x0为函数极值点，B正确；选项C：y3x2+6x+33（x+1）20，不存在极值，故C错；选项D：yx3是单调函数，不存在极值点，故D错；故选：B【点评】题主要考查了是否存在极值的判定，其判定须依情况而定如果函数f（x）的导函数是恒大于或是小于0那就不存在有的一次求导看
12、不出来，就要继续求导来判断f（x）上升或是下降总而言之，函数不存在极值，它的导函数一定是恒大于或是小于0或是等于08（5分）函数f（x）x33x（|x|1）（）A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值【分析】求得f（x）的导数，判断f（x）在（1，1）的单调性，即可得到结论【解答】解：函数f（x）x33x（|x|1）的导数为：f（x）3x233（x1）（x+1），当1x1时，f（x）0，f（x）递减，则f（x）即无最小值，也无最大值，故选：D【点评】本题考查函数的最值的判断，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于基础题9（5分）已知不等式x
13、2ax+40对于任意的x1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，4B4，+）C（，5D5，+）【分析】由已知中不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，可得x+a对于任意的x1，3恒成立，利用基本不等式求出x+的值域，即可得到实数a的取值范围【解答】解：若不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，则x2+4ax对于任意的x1，3恒成立，即x+a对于任意的x1，3恒成立，当x1，3时，x+4，5故a4即实数a的取值范围是（，4故选：A【点评】本题考查的知识点是函数恒成立，其中根据已知结合不等式的基本性质，将不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，转化为x+a对于任意的x1，3恒
14、成立，是解答本题的关键10（5分）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年产量保持不变其中说法正确的有（）ABCD【分析】根据图象的变化快慢进行判断【解答】解：设产量与时间的关系为f（x），由图可知f（3）f（2）f（2）f（1），前四年该产品产量增长速度越来越慢故错误，正确由图可知从第四年开始产品产量不发生变化且f（4）0，故错误，正确故选：B【点评】本题考查了函数图象的物理意义，属于基础题11（5分）若二次函数f（x）ax2+bx+c图象的顶点
15、在第四象限且开口向上，则导函数f（x）的图象可能是（）ABCD【分析】依题意有：，再求导得f（x）2ax+b，可知选A【解答】解：依题意有：，f（x）2ax+b的图象是直线，斜率为2a0，在y轴上的截距b0，故选：A【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，属中档题12（5分）函数f（x）lnxx2的图象大致是（）ABCD【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案【解答】解：（x0）（x0）则当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）为减函数；当x1
16、时，f（x）取最大值，f（1）；故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知a，bR，i为虚数单位，若ai2+bi，则a+b1【分析】利用复数相等即可得出【解答】解：ai2+bi，a2，1b，a+b211故答案为：1【点评】本题考查了复数相等，属于基础题14（5分）已知yx3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调函数，则b的取值范围是（，1）（2，+）【分析】根据题意，对yx3+bx2+（b+2）x+3求导可得，yx2+2bx+b+2，结合二次函数的性质分析可得若yx3+bx2
17、+（b+2）x+3在R上不是单调函数，则其导函数yx2+2bx+b+2的最小值必须小于0，即（2b）24（b+2）0，解可得答案【解答】解：对于yx3+bx2+（b+2）x+3，yx2+2bx+b+2，是开口向上的二次函数，若yx3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调函数，则其导函数yx2+2bx+b+2的最小值必须小于0，即（2b）24（b+2）0，解可得，b1或b2，即b的取值范围是（，1）（2，+）；故答案为（，1）（2，+）【点评】本题考查函数的单调性与其导函数之间的关系，注意分析出该函数在R上不是单调函数的充要条件15（5分）如图，函数yf（x）的图象在点P（4，f（4）处的切线
18、方程是y2x+9，则f（4）+f（4）的值为1【分析】由函数在点P（4，f（4）处的切线方程得到切线的斜率，即f（4），再由切线方程求出f（4）的值，则答案可求【解答】解：由图可知，f（4）2，且f（4）24+91，f（4）+f（4）121故答案为：1【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题16（5分）设函数f（x）g（x）+x2，曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y2x+1，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为4【分析】先根据曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y2x+1，可得g（1）2
19、，再利用函数f（x）g（x）+x2，可知f（x）g（x）+2x，从而可求曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率【解答】解：由题意，曲线yg（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y2x+1g（1）2函数f（x）g（x）+x2，f（x）g（x）+2xf（1）g（1）+2f（1）2+24曲线yf（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为4故答案为：4【点评】本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率，解题的关键是利用导数的几何意义三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数z2m+（4m2）i在复平面内对应的点：（1）位于虚轴上（2
20、）位于第一、三象限【分析】求出复数对应点的坐标，结合P的位置建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）复数对应的点的坐标为（2m，4m2），若位于虚轴上，则得m0（2）若位于第一、三象限，则2m（4m2）0，则或，即或，得m2或2m0【点评】本题主要考查复数的有关概念以及复数的几何意义，利用复数的几何意义是解决本题的关键18（12分）求抛物线yx2在x2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积（要求作图）【分析】抛物线yx2在x2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积曲边三角形OAC的面积三角形ABC的面积借助积分与面积关系解决【解答】解：如图，抛物线yx2在x2处的切线斜率为
21、4，从而切线方程为y44（x2），即y4x4与x轴交点为B（1，0），切点为A（2，4）抛物线yx2在x2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积曲边三角形OAC的面积三角形ABC的面积故面积为【点评】本题主要考查应用积分求面积，用间接法求面积，效率更高19（12分）设F（x）（t+2t8）dt（x0）（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在1，3上的最值【分析】（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出F（x）x3+x28x，定义域是（0，+）再利用导数，研究F（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）根据F（x）的单调性，
22、分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在1，3上的最大值是F（3）6，最小值是F（2）【解答】解：依题意得，F（x）（t+2t8）dt（t3+t28t）x3+x28x，定义域是（0，+），（1）F（x）x2+2x8，令F（x）0，得x2或x4； 令F（x）0，得4x2，且函数定义域是（0，+），函数F（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）令F（x）0，得x2（x4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且F（1），F（2），F（3）6，F（x）在1，3上的最大值是F（3）6，最小值是F（2）【点评】本题利用定积分求一
23、个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题20（12分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x万元，且每万件国家给予补助2e万元（e为自然对数的底数，e是一个常数）（）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（）当月产量在1，2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）（注：月利润月销售收入+月国家补助月总成本）【分析】（）由月利润
24、月销售收入+月国家补助月总成本，即可列出函数关系式；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值【解答】解：（）由于：月利润月销售收入+月国家补助月总成本，可得（）f（x）x2+2（e+1）x2elnx2的定义域为1，2e，且列表如下：x（1，e）e（e，2ef（x）+ 0f（x）增极大值f（e） 减由上表得：f（x）x2+2（e+1）x2elnx2在定义域1，2e上的最大值为f（e）且f（e）e22即：月生产量在1，2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）e22，此时的月生产量值为e（万件）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，
25、考查学生利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力，属于难题21（12分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间0，2上的最小值【分析】（）根据题意，求出函数f（x）的导数，又由f（1）32a3，解可得a的值，进而可得f（3）的值，由直线的点斜式方程分析可得答案；（）根据题意，求出函数f（x）的导数，令f（x）0，解得；分情况讨论x1与x2的大小，可得函数在区间0，2上的单调性，据此求出函数的最值，综合即可得答案【解答】解：（）根据题意，f（x）x2（xa），则f（x）3x22ax，因为f（1）32a3
26、，所以a0当a0时，f（1）1，f（1）3，所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为3xy20（）由（）可知，f（x）3x22ax令f（x）0，解得当，即a0，f（x）在0，2上单调递增，从而fminf（0）0当，即a3，f（x）在0，2上单调递减，从而fminf（2）84a当，即0a3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题22（12分）已知函数f（x）ax2（a+2）x+lnx（1）当a0时，求f（x）的单调区间（2）当a0时，求函数f（x）在区间1，e上的最小值（3）在条件
27、（2）下，当最小值为2时，求a的取值范围【分析】（1）先求函数的定义域，然后对函数求导，分别令f（x）0，f（x）0可求函数的单调增区间，单调减区间（2）利用导数求出f（x）求出在区间1，e上的最小值，（3）根据（2）建立关于a的关系式注意进行分类讨论【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）2ax（a+2）+，a0时，f（x），令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；a0时，f（x）2ax（a+2）+（x0）令f（x）0，即f（x）0，所以x或x，当，即a2时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）上单调递增，当0时
28、，即0a2时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，（2）函数f（x）ax2（a+2）x+lnx的定义域是（0，+），当a0时，f（x）2ax（a+2）+（x0）令f（x）0，即f（x）0，所以x或x，当01，即a1时，f（x）在1，e上单调递增，f（x）在1，e上的最小值是f（1）2；当1e时，即a1时，f（x）在1，）递减，在（，e递增，f（x）在1，e上的最小值是f（）f（1）2；当e时，即0a时，f（x）在1，e上单调递减，f（x）在1，e上的最小值是f（e）f（1）2；（3）由（2）a1时，f（x）在1，e上的最小值是f（1）2，符合题意；a1时，f（x）在1，e上的最小值是f（）f（1）2，不合题意；0a时，f（x）在1，e上的最小值是f（e）f（1）2，不合题意综上可知，a的取值范围为1，+）【点评】本题考查导数知识的运用，求函数的单调性，函数的最值，恒成立问题成立的条件