1、2017-2018学年山东省淄博市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合Ax|2x2，Bx|1x3，那么AB（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|2x1Dx|2x32（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人
2、数分别是（）A12，24，15，9B9，12，12，7C8，15，12，5D8，16，10，64（5分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7450，则a2+a8的值为（）A45B90C180D3005（5分）若非零向量，满足|，（2+）0，则与的夹角为（）A30B60C120D1506（5分）已知曲线y在点（3，2）处的切线与直线ax+y+10垂直，则a的值为（）A2BCD27（5分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，则l8（5分）在区间，上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）ABCD9（5分）已知F
3、1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|（）A2B4C6D810（5分）设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）1，f（2），则 a的取值范围是（）AaBa且a1Ca或a1D1a11（5分）已知抛物线y22px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）Ax1Bx1Cx2Dx212（5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（nN*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数有下列函数中是一阶整点函数的是（）f（
4、x）x+（x0）g（x）x3h（x）（）x（x）lnxABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（4分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z的最小值为 14（4分）若，则展开式中的常数项为 15（4分）有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为 16（4分）已知函数f（x）cos2（），g（x）sin2x设xx0是函数yf（x）图象的一条对称轴，则g（x0）的值等于 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知数列an的前n项和（）求an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和18
5、（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casinCccosA（1）求A；（2）若a2，ABC的面积为，求b，c19（12分）中华人民共和国道路交通安全法第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，中华人民共和国道路交通安全法第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口7月份的不
6、“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下22列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22830驾龄1年以上81220合计302050能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：，.（其中na+b+c+d）P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EFAC，AB，CEEF1（）求
7、证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE21（13分）已知函数f（x）+cx+d有极值（）求实数c的取值范围；（）若f（x）在x2处取得极值，且当x0时，f（x）+2d恒成立，求实数d的取值范围22（13分）椭圆C：+1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2过点F1的直线l交椭圆于A、B两点（1）求椭圆C的方程（2）当F2AB的面积为时，求l的方程2017-2018学年山东省淄博市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合Ax|2x2，Bx|1x3
8、，那么AB（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|2x1Dx|2x3【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集【解答】解：把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，则ABx|2x3故选：D【点评】此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题2（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限【解答】解：i复数在复平面对应的点的
9、坐标是（，）它对应的点在第四象限，故选：D【点评】判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果3（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A12，24，15，9B9，12，12，7C8，15，12，5D8，16，10，6【分析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数【解答】解：因为，故各层中依次抽
10、取的人数分别是8，16，10，6，故选：D【点评】本题主要考查分层抽样方法4（5分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7450，则a2+a8的值为（）A45B90C180D300【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7（a3+a7）+（a4+a6）+a55a5450，得到a590，则a2+a82a5180故选：C【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题学生化简已知条件时注意项数之和等于10的两项结合
11、5（5分）若非零向量，满足|，（2+）0，则与的夹角为（）A30B60C120D150【分析】由题意，可先由条件|，（2+）0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件|，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项【解答】解：由题意（2+）02+0，即2|cos，+0又|cos，又0，则与的夹角为120故选：C【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值6（5分）已知曲线y在点（3，2）处的切线与直线ax+y+10垂直，则a的值为（）A2BCD2【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直
12、线垂直的条件，即可得到a的值【解答】解：y，y，曲线y在点（3，2）处的切线的斜率k，曲线y在点（3，2）处的切线与直线ax+y+10垂直，直线ax+y+10的斜率ka1，即a2故选：D【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用7（5分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，则l【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答
13、案【解答】解：若l，则l或l，故A错误；若l，则l或l，故B错误；若l，由平面平行的性质，我们可得l，故C正确；若l，则l或l，故D错误；故选：C【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利用面面平行的性质（，a，a，aa）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的
14、思路结合起来8（5分）在区间，上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）ABCD【分析】本题是几何概型，首先求出满足cosx（0，）的x 范围，利用区间长度比求概率【解答】解：在区间，上随机取一个数x，等于区间长度为，cosx的值介于0到之间的x范围为，区间长度为，由几何概型的公式得到所求概率为；故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度，利用区间长度的比求概率9（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|（）A2B4C6D8【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|PF2|的值
15、解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|PF2|的值【解答】解：法1由双曲线方程得a1，b1，c，由余弦定理得cosF1PF2|PF1|PF2|4法2； 由焦点三角形面积公式得：|PF1|PF2|4；故选：B【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力10（5分）设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）1，f（2），则 a的取值范围是（）AaBa且a1Ca或a1D1a【分析】先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）f（1）f（1），再利用f（1）1代入即可求a的
16、取值范围【解答】解：因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，所以f（2）f（1）f（1）又因为f（1）1，故f（2）1，即1解可得1a故选：D【点评】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题11（5分）已知抛物线y22px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）Ax1Bx1Cx2Dx2【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程【解答】解：设A（x1，
17、y1）、B（x2，y2），则有y122px1，y222px2，两式相减得：（y1y2）（y1+y2）2p（x1x2），又因为直线的斜率为1，所以1，所以有y1+y22p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y24，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1故选：B【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识12（5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（nN*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数有下列函数中是一阶整点函数的是（）f（x）x+（x0）g（x）x3h（x）（）x（x）lnxABCD【分析】根据新定义的“一阶
18、整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可【解答】解：对于函数f（x）x+（x0），它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；对于函数g（x）x3，当xZ时，一定有g（x）x3Z，即函数g（x）x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h（x）（）x，当x0，1，2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数（x）lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数故选：D【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”二
19、、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（4分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z的最小值为1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【解答】解：z的几何意义为区域内点到点G（0，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG的斜率最小，由解得，即A（2，1），则AG的斜率k，故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键14（4分）若，则展开式中的常数项为160【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值【解答】解：若，则2lnx2（lnel
20、n1）2，即a2，展开式的通项公式为：Tr+1x6r（2）rx62r，令62r0，解得r3；展开式的常数项为：T4（2）3160故答案为：160【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目15（4分）有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为84【分析】由分步计数原理，此事件可分三步完成，将4个不同的盒子选2个不同盒子，将4个不同的小球分成2组，将不同的2组小球放到2个不同盒子中，再用乘法原理可求解【解答】解：恰好有两个盒子不放球，即恰有两个盒子放球，此事件可分三步完成，第一步：在4个不同的盒子选2个不同盒子共6（种）选法，第二
21、步：将4个不同的小球分成2组，共+7（种）分法，第三步：将不同的2组小球放到2个不同盒子中共2（种）放法，即恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为共67284（种），故答案为：84【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题及平均分组问题，属中档题16（4分）已知函数f（x）cos2（），g（x）sin2x设xx0是函数yf（x）图象的一条对称轴，则g（x0）的值等于【分析】先将f（x）的解析式进行降幂，再由xx0是函数yf（x）图象的一条对称轴可得到x0的关系式，将x0的关系式代入即可得到答案【解答】解：由题设知f（x）1+cos（x）因为xx0是函数yf（x）图象的一条对称轴，所以k，即2x
22、02k+（kZ）所以g（x0）sin2x0sin（2k+）故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称轴问题三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）已知数列an的前n项和（）求an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和【分析】（）求出a1S14通过当n2时，anSnSn1，转化求解数列的通项公式即可（）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：（）a1S14当n2时，anSnSn1又a14符合n2时an的形式，所以an的通项公式为an3n+1（）由（）知数列bn的前n项和为【点评】本题考查数列的递推关系式以及
23、数列求和，考查计算能力18（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casinCccosA（1）求A；（2）若a2，ABC的面积为，求b，c【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c【解答】解：（1）casinCccosA，由正弦定理有：sinAsinCsinCcosAsinC0，即sinC（sinAcosA1）0，又，sinC0，所以sinAcosA10，即2sin（A）1，所以A；（2）SABCbcsinA，所以bc4，a2，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即4b2+c2
24、bc，即有，解得bc2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式19（12分）中华人民共和国道路交通安全法第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，中华人民共和国道路交通安全法第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少
25、与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下22列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22830驾龄1年以上81220合计302050能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：，.（其中na+b+c+d）P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）利用所给数据计算、，求出回归系数
26、，写出回归直线方程；（2）由（1）中的回归直线方程计算x7时的值即可；（3）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论【解答】解：（1）利用所给数据，计算（1+2+3+4+5）3，（120+105+100+90+85）100；8.5，100（8.5）3125.5；y与x之间的回归直线方程8.5x+125.5；（2）由（1）中的回归直线方程，计算x7时，8.57+125.566，即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人；（3）由列联表中数据，计算K25.5565.024，由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关【点评】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题
27、，是基础题20（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EFAC，AB，CEEF1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE【分析】（）证明平面BDE外的直线AF平行平面BDE内的直线GE，即可证明AF平面BDE；（）证明CF垂直平面BDF内的两条相交直线：BD、EG，即可证明求CF平面BDF；【解答】证明：（）设AC于BD交于点G因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE（）连接FG因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以平行四边形CEFG为菱形所以CFEG因为四边形A
28、BCD为正方形，所以BDAC又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF所以CFBD又BDEGG，所以CF平面BDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题21（13分）已知函数f（x）+cx+d有极值（）求实数c的取值范围；（）若f（x）在x2处取得极值，且当x0时，f（x）+2d恒成立，求实数d的取值范围【分析】（I）求出导函数f（x）的解析式，然后根据函数有极值，方程f（x）x2x+c0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；（）若f（x）在x2处取得极值，则f（2
29、）0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）的单调性，进而分析出当x0时，函数的最大值，又由当x0时，f（x）d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围【解答】解（）f（x）x3x2+cx+d，f（x）x2x+c，要使f（x）有极值，则方程f（x）x2x+c0有两个实数解，从而14c0，c（）f（x）在x2处取得极值，f（2）42+c0，c2f（x）x3x22x+d，f（x）x2x2（x2）（x+1），当x（，1时，f（x）0，函数单调递增，当x（1，2时，f（x）0，函数单调递减x0时，f（x）在x1处取得最大值+d，x0时，f（x）d2+2d恒成立，
30、+dd2+2d，即（d+7）（d1）0，d7或d1，即d的取值范围是（，7）（1，+）【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键22（13分）椭圆C：+1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2过点F1的直线l交椭圆于A、B两点（1）求椭圆C的方程（2）当F2AB的面积为时，求l的方程【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程（2）由（1）知F1（1，0），直线l方程为yk（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2120，设A（x1，y1），B（x
31、2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程【解答】解：（1）椭圆过点，（1分）离心率为，（2分）又a2b2+c2（3分）解得a24，b23（4分）椭圆（6分）（2）由（1）得F1（1，0）当l的倾斜角是时，l的方程为x1，焦点此时，不合题意（7分）当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为yk（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2120，设A（x1，y1），B（x2，y2），则（9分）（10分） 又已知，（k21）（17k2+18）0，k210，解得k1，故直线l的方程为y1（x+1），即xy+10或x+y+10（13分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用