1、2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（）A15B14C13D122（5分）（12x）8展开式中第5项的二项式系数为（）A56B70C1120D11203（5分）自2020年起，山东夏季高考成绩由“3+3”组成，其中第一个“3“指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科
2、中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（）A6B7C8D94（5分）已知随机变量X服从正态分布N（4，1），且P（x5）0.1587，则P（3x4）（）A0.6826B0.1587C0.1588D0.34135（5分）设随机变量X的分布列为P（Xk）（k1，3，5，7）则D（X）（）A3B4C5D66（5分）下列关于正态分布N（，2）（0）的命题：正态曲线关于y轴对称；当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；设随机变量X：N（2，4），则D（）的值等于2；当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿x轴平移其中正确的是（）ABCD7（5分）已知
3、函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则函数y（）A在区间（1，2）上是减函数B在区间（）上是减函数C在区间（）上是减函数D在区间（1，1）上是减函数8（5分）可以整除26n3+32n1其中（nN*）的是（）A9B10C11D129（5分）下列关于独立性检验的叙述：常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；独立性检验依据小概率原理；样本不同，独立性检验的结论可能有差异；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，X与Y，有关系的把握程度就越大；其中正确的个数为（）A1B2C3D410（5分）在（1+x）2+（1+x）3+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数为（）A45B55C120
4、D16511（5分）设函数f（x）lnxbx，若x1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（，0）D（，012（5分）已知定义在R上的函数f（x）无极值点，且对任意xR都有f（f（x）x3）2，若函数g（x）f（x）kx在1，2上与函数f（x）具有相同的单调性，则实数k的取值范围为（）A（，0B（，1C0，+）D1，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为 14（5分）加工某种零件需要两道工序，第一道工序山废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道
5、工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为 15（5分）NBA总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为 16（5分）已知函数f（x）（3x2）ex，给出以下结论：曲线yf（x）在点（0，3）处的切线方程为3xy+10；在曲线yf（x）上任一点处的切线中有且只有两条与x轴平行；若方程f（x）m恰有一个实数根，则m6e3若方程f（x）m恰有两个不同实数根，则0m2e或m6e3其中所有正确结论的序号为： 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知（1+2x）2na0+a1x+a2x2+a2nx2n（nN*）（1）求a0+a2+a4+.+a2n的值；（2）当n5时，求ak（k0，1，2，2n）的最大值；18（12分）食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：男女总计看保质期822不看保质期414总计（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断：能否有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？（2）从被询问的14名不看保质期的中学
7、生中，随机抽取3名，求抽到女生人数的分布列和数学期望附：K2临界值表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况；某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：年龄x152535455565骑乘人数y958065403515（1）求y关于x的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过APP向每位骑乘
8、者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，且每次获得骑行券的面额相互独立若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为X，求X的分布列和数学期望参考公式：，参考数据：xiyi10400，1135020（12分）已知函数f（x）（ax2+x+1）ex2（e是自然对数的底数）（1）当a1时，求函数在3，2上的最大值和最小值；（2）当a0时，讨论函数f（x）的单调性21（12分）“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走
9、的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的PK或点赞现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：步数/步02000200150005001800080011000010000以上男性人数/人16954女性人数/人03642规定：用户一天行走的步数超8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率，从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X为“运动型”用户的人数，求P（X3）和X的数学期望；（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“
10、懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为Y，求Y的分布列和数学期望22（12分）已知函数f（x）lnx+x+（aR）（1）若函数f（x）在1，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）若函数g（x）xf（x）（a+1）x2x有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1x2，证明：x1x22e3（e为自然对数的底数）2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）现有党员6名，
11、从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（）A15B14C13D12【分析】利用组合数，结合题目转化求解即可、【解答】解：从党员6名，从中任选2名参加党员活动，方法共有15种，故选：A【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题2（5分）（12x）8展开式中第5项的二项式系数为（）A56B70C1120D1120【分析】直接写出二项展开式的第5项得答案【解答】解：由，可得（12x）8展开式中第5项的二项式系数为故选：C【点评】本题考查二项式系数，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题3（5分）自2020年起，山东夏季高考成绩由“3+3”组成，其中第一
12、个“3“指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（）A6B7C8D9【分析】从物理、化学、生物3科中任选两科，有C323种，从政治、历史、地理3科中任选1科有C313种，根据分步计数原理可得【解答】解：从物理、化学、生物3科中任选两科，有C323种，从政治、历史、地理3科中任选1科有C313种，根据分步计数原理可得共有339种，故选：D【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题4（5分）已知随机变量X服
13、从正态分布N（4，1），且P（x5）0.1587，则P（3x4）（）A0.6826B0.1587C0.1588D0.3413【分析】由已知求得正态分布的对称轴是x4，结合P（x5）0.1587，可得P（3x4）12P（x5），则答案可求【解答】解：随机变量X服从正态分布N（4，1），正态分布的对称轴是x4，P（x5）0.1587，P（3x4）12P（x5）（120.1587）0.3413故选：D【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题，是基础题5（5分）设随机变量X的分布列为P（Xk）（k1，3，5，7）则D（X）（）A3B4C5D6【分析】由
14、已知得E（X），求出E（X2），由DXE（X2）（EX）2，能求出D（X）【解答】解：P（Xk）（k1，3，5，7），E（X）（1+3+5+7）4，E（X2）（12+32+52+72）21，DXE（X2）（EX）221425故选：C【点评】本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用6（5分）下列关于正态分布N（，2）（0）的命题：正态曲线关于y轴对称；当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；设随机变量X：N（2，4），则D（）的值等于2；当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿x轴平移其中正确的是（）ABCD【分
15、析】根据正态分布曲线的定义与性质，判断选项的正误；根据方差的性质，计算即可判断否正确【解答】解：关于正态分布N（，2）（0）的命题：正态曲线关于直线x对称，故错误；当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”，故正确；设随机变量X：N（2，4），则D（）D（X）41，故错误；当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿x轴平移，故正确故选：C【点评】本题考查了正态曲线的定义与性质，也考查了方差的性质，属于基础题7（5分）已知函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则函数y（）A在区间（1，2）上是减函数B在区间（）上是减函数C在区间（）上是减函数D在区间（1，1）上是减函数【
16、分析】求函数y的导数，利用函数单调性与导数之间的关系转化为函数值的大小关系即可【解答】解：函数y的导数yg（x），若函数y为减函数，则f（x）f（x）0，即f（x）f（x），由图象知函数f（x）在（，1）上为增函数，则1，1为减函数，则1，+）为增函数，由图象知在区间（）上f（x）f（x），此时函数是减函数，故选：B【点评】本题主要考查函数单调性与导数的之间的关系，求函数的导数转化为函数值之间的关系是解决本题的关键8（5分）可以整除26n3+32n1其中（nN*）的是（）A9B10C11D12【分析】26n3+32n182n1+32n1（113）2n1+32n1，利用二项式定理将（113）2n
17、1展开，即可判断出可以整除的数字【解答】解：26n3+32n182n1+32n1（113）2n1+32n1+32n1+，因为26n3+32n1的每一项都能被11整除，故可以整除26n3+32n1的是11故选：C【点评】本题考查了二项式定理的运用，关键要将26n3+32n1进行转换，属于中档题9（5分）下列关于独立性检验的叙述：常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；独立性检验依据小概率原理；样本不同，独立性检验的结论可能有差异；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，X与Y，有关系的把握程度就越大；其中正确的个数为（）A1B2C3D4【分析】独立性检验中，常用等高条形图展示列联表
18、数据的频率特征；独立性检验是依据小概率原理，用样本统计计算统计量的；样本不同时，观测值的统计量不一定相同，独立性检验的结论可能有差异；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，X与Y有关系的把握程度就越小【解答】解：对于，独立性检验的应用中，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，正确；对于，独立性检验是依据小概率原理，用样本统计计算统计量的，正确；对于，样本不同时，观测值的统计量不一定相同，独立性检验的结论可能有差异，正确；对于，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，X与Y有关系的把握程度就越小，错误；综上，正确的命题序号是，有3个故选：C【点评】本题考查了独立性
19、检验的原理与应用问题，是基础题10（5分）在（1+x）2+（1+x）3+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数为（）A45B55C120D165【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含x2项的系数【解答】解：（1+x）2+（1+x）3+（1+x）10的展开式中，含x2项的系数为+165，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，属于基础题11（5分）设函数f（x）lnxbx，若x1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（，0）D（，0【分析】f（x）的定义域为（0，+），f（x）+axb，由f（1）0，得b1+a求出f（
20、x），由此能求出a的取值范围【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）+axb，由f（1）0，得b1+a所以f（x），若a0，由f（x）0，得x1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，此时f（x）单调递减所以x1是f（x）的极大值点若a0，由f（x）0，得x1，或x因为x1是f（x）的极大值点，所以1，解得：0a1，综合：a的取值范围是a1故选：A【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化12（5分）已知定义在R上的函数f（x）无极值点，且对任意xR都有f（f（x）x3）2，若函数g（x）f（x）k
21、x在1，2上与函数f（x）具有相同的单调性，则实数k的取值范围为（）A（，0B（，1C0，+）D1，+）【分析】易得函数f（x）是单调函数，令f（x）x3t，则f（x）t+x3，（t为常数），求出f（x）的单调性，从而求出g（x）在1，2的单调性，得到k3x2在1，2恒成立，求出k的范围即可【解答】解：定义在R上的函数f（x）的函数f（x）无极值点，函数f（x）是单调函数，令f（x）x3t，则f（x）t+x3，f（x）3x20在1，2恒成立，故f（x）在1，2递增，结合题意g（x）x3+tkx在1，2递增，故g（x）3x2k0在1，2恒成立，故k3x2在1，2恒成立，故k0，故选：A【点评】本
22、题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为136【分析】由题意，末尾是0或5，分类讨论，即可得出结论【解答】解：由题意，末尾是0或5末尾是0时，没有重复数字且被5整除的三位数有A9272，末尾是5时，没有重复数字且被5整除的三位数有8864，用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字且被5整除的三位数有72+64136，故答案为：136【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础14（5分）加工某种零件需要两道工序，第一道工序
23、山废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为0.5【分析】设第一道工序出废品为事件A，第二道工序出废品为事件B，则P（A）0.4，P（AB）0.2，由此利用条件概率计算公式能求出在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率【解答】解：加工某种零件需要两道工序，设第一道工序出废品为事件A，第二道工序出废品为事件B，第一道工序山废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，P（A）0.4，P（AB）0.2，在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为：P（B|A）0.5在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又
24、出废品的概率为0.5故答案为：0.5【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）NBA总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为0.3108【分析】恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，由此能求出恰好5场比赛决出总冠军的概率【解答】解：恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，另一
25、种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，恰好5场比赛决出总冠军的概率为：p+0.3108故答案为：0.3108【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（5分）已知函数f（x）（3x2）ex，给出以下结论：曲线yf（x）在点（0，3）处的切线方程为3xy+10；在曲线yf（x）上任一点处的切线中有且只有两条与x轴平行；若方程f（x）m恰有一个实数根，则m6e3若方程f（x）m恰有两个不同实数根，则0m2e或m6e3其中所有正确结论的序号为：【分析】利用导数求出函数f（x）在点（0，3）处的
26、切线方程；令f（x）0求得x的值，判断在曲线yf（x）上任一点处的切线与x轴平行的条数；画出yf（x）的大致图象，结合图象得出方程f（x）m恰有一实数根时m的取值范围；结合图象得出方程f（x）m恰有两个不同实数根时m的取值范围【解答】解：函数f（x）（3x2）ex，f（x）（32xx2）ex，且f（0）3，f（0）3，曲线yf（x）在点（0，3）处的切线方程为y33（x0），即为3xy+30，错误；令f（x）0，得32xx20，解得x3或x1；在曲线yf（x）上任一点处的切线中，有且只有两条与x轴平行，正确；x3时f（x）0，f（x）是减函数，3x1时f（x）0，f（x）是增函数，x1时f（x
27、）0，f（x）是减函数；x3时f（x）取得极小值f（3）6e3，x1时f（x）取得极大值为f（1）2e；画出yf（x）的大致图象，如图所示：若方程f（x）m恰有一个实数根，则m6e3或m2e，错误；若方程f（x）m恰有两个不同实数根，则0m2e或m6e3，正确；综上，正确的结论序号是故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知（1+2x）2na0+a1x+a2x2+a2nx2n（nN*）（1）求a0+a2+a4+.+a2n的值；（2
28、）当n5时，求ak（k0，1，2，2n）的最大值；【分析】（1）令x1可得，求出a0+a1+a2n，令x1求出a0a1+a2a3+a2n，以上两个等式相加可求a0+a2+a2n（2）当n5时，可得ak，若ak最大，则，解不等式可求k的范围即可【解答】解（1）：令x1可得，32na0+a1+a2n，令x1可得，1a0a1+a2a3+a2n，+可得，32n+12（a0+a2+a4+a2n），a0+a2+a2n（2）当n5时，ak，若ak最大，则，化简可得，解不等式可得，kN*，k7，【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力18（12分）食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的
29、食品安全更是社会关注的焦点某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：男女总计看保质期822不看保质期414总计（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断：能否有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数的分布列和数学期望附：K2临界值表：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）将列联表填写完整，求出
30、K24.2083.841，从而有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，抽到女生人数的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出抽到女生人数的分布列和数学期望E【解答】解：（1）将列联表填写完整如下表：女男总计看保质期81422不看保质期10414总计181836K24.2083.841，故有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，抽到女生人数的可能取值为0，1，2，3，P（0），P（1），P（2），P（3），抽到女生人数的分布列为： 0 1 2 3 P
31、 数学期望E【点评】本题考查独立性检验的应用，考离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况；某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：年龄x152535455565骑乘人数y958065403515（1）求y关于x的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过APP向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元
32、的骑行券已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，且每次获得骑行券的面额相互独立若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为X，求X的分布列和数学期望参考公式：，参考数据：xiyi10400，11350【分析】（1）由表中数据计算平均数，求出回归系数，写出回归方程；（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，分别求出相应的概率，计算X的分布列和数学期望【解答】解：（1）由表中数据，计算（15+25+35+45+55+65）40，（95+80+65+40+35+15）55，1.6，55（1.6）40119，y关于x的线性回归方程为1.6x+119；（
33、2）由题意知，随机变量X的所有可能取值分别为2，3，4，5，6；计算P（X2），P（X3）2，P（X4）+2，P（X5）2，P（X6），X的分布列为：X23456PX的数学期望为EX2+3+4+5+6（元）【点评】本题考查了线性回归方程与离散型随机变量的分布列及数学期望的求法和应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题20（12分）已知函数f（x）（ax2+x+1）ex2（e是自然对数的底数）（1）当a1时，求函数在3，2上的最大值和最小值；（2）当a0时，讨论函数f（x）的单调性【分析】（1）借助导数工具，通过分析f（x）的正负，研究函数的单调性，从而求得最值（2）借助导数工具，将函数f（x）
34、的单调性的问题转化为做导函数的图象的问题，利用导函数中的部分函数的图象，从而轻松判断f（x）的正负，从而知道f（x）的单调性【解答】（1）函数的定义域为（，+），当a1时，f（x）（x2+x+1）ex2，f（x）（2x+1）ex+（x2+x+1）exex（x2x+2）e（x2+x2）ex（x+2）（x1）由于ex0恒成立，借助函数y（x+2）（x1）的图象可知，当x（3，2）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（2，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（1，2）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；又由于f（3）（93+1）e3211e32，f（2）（42+1）e225e22，
35、f（1）（1+1+1）e12e2，f（2）（4+2+1）e22e22，通过估算可知，x3，2时，f（x）maxf（1）e2；（2）f（x）（2ax+1）ex+（ax2+x+1）exexax2+（2a+1）x+2ex（x+2）（ax+1），由于a0，令f（x）0可知x2或以下可以借助函数y（x+2）（ax+1）的图象分析f（x）的正负，当时，即时，x（，2）时，f（x）0，函数f（x）单调递增，时，f（x）0，函数f（x）单调递减，时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当时，即时，f（x）0在R上恒成立，故f（x）单调递增；当时，即时，时，f（x）0，函数f（x）单调递增，时，f（x）0，函数f
36、（x）单调递减，x（2，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；综上所述，当时，函数的单调递增区间是和x（2，+），单调递减区间是；当时，f（x）只有单调递增区间（，+）；当时，函数的单调递增区间是（，2）和，单调递减区间是；【点评】注意恒有ex0，故函数f（x）e（x2+x2）ex（x+2）（x1）的图象，就可以简单利用二次函数y（x+2）（x1）的图象判断f（x）的正负在这里我们关心的是f（x）正负，而不是f（x）的增减同上，当求导后转化为含有参数的不等式的问题时，我们同样借助含参函数y（x+2）（ax+1）的动态图象解决问题第二问中的分类标准的选择是依据两个根的大小关系来确定的21（1
37、2分）“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的PK或点赞现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：步数/步02000200150005001800080011000010000以上男性人数/人16954女性人数/人03642规定：用户一天行走的步数超8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率，从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X为“运动型”用户
38、的人数，求P（X3）和X的数学期望；（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为Y，求Y的分布列和数学期望【分析】（1）随机抽取1人为“运动型”用户的概率p，从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X为“运动型”用户的人数，则XB（4，），由此能求出P（X3）和X的数学期望E（X）（2）Y的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望【解答】解：（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“
39、运动型”用户的概率，随机抽取1人为“运动型”用户的概率p，从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X为“运动型”用户的人数，则XB（4，），P（X3）1P（X3）P（X4）1X的数学期望E（X）4（2）从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为Y，则Y的可能取值为2，3，4，5，P（Y2），P（Y3），P（Y4），P（Y5），Y的分布列为：Y 2 3 45 P Y的数学期望EY【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望
40、的求法，考查二项分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）已知函数f（x）lnx+x+（aR）（1）若函数f（x）在1，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）若函数g（x）xf（x）（a+1）x2x有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1x2，证明：x1x22e3（e为自然对数的底数）【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a（x2+x）min，求出a的范围即可；（2）原不等式等价于a，由lnx12ax1，lnx22ax2，可得ln2a（x2x1），则a，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）由题可知，函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）
41、，因为函数f（x）在区间1，+）上为增函数，所以f（x）0在区间1，+）上恒成立，等价于a（x2+x）min，即a2，所以a的取值范围是（，2（4分）（2）由题得，g（x）xlnxax2+ax，则g（x）lnx2ax，因为g（x）有两个极值点x1，x2，所以lnx12ax1，lnx22ax2，欲证x1e3等价于证ln（x1）lne33，即lnx1+2lnx23，所以ax1+2ax2，因为0x1x2，所以原不等式等价于a，由lnx12ax1，lnx22ax2，可得ln2a（x2x1），则a，由可知，原不等式等价于，即ln，设t，则t1，则上式等价于lnt（t1），令h（t）lnt（t1），则h（t），因为t1，所以h（t）0，所以h（t）在区间（1，+）上单调递增，所以当t1时，h（t）h（1）+0，即lnt，所以原不等式成立，即x1x22e3（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以