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2017-2018学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2017-2018学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合M1,2a,Na,b,若MN4,则MN()A0,2,4B1,2,4C0,1,2D0,1,2,42(5分)若函数f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(1,1)3(5分)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+)上是增函数的是()AyBy2x+2xCyx+Dyx3+x4(5分)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列命题

2、中正确的是()A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C函数f(x)在区间(1,8)内无零点D函数f(x)在区间2,8)内无零点5(5分)若a20.3,blog23,clog47,则a,b,c的大小关系为()AabcBbacCcabDacb6(5分)已知曲线ylnx的一条切线经过坐标原点,则此切线的斜率为()AeBeCD7(5分)若函数f(x)x33x+m的极小值为1,则函数f(x)的极大值为()A3B1CD28(5分)若yf(x)是函数y2x的反函数,则函数yf(x2+2x+3)的单调递增区间是()A(,1)B(3,1)C(1,1)D(1,+)

3、9(5分)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)f(x),当0x1时,f(x)lgx,则f()+lg5()A0B1C2D310(5分)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则该函数的解析式可能是()Af(x)lnxBf(x)xexCf(x)Df(x)11(5分)已知函数f(x),则函数g(x)f(x)+x3的零点个数为()A1B2C3D412(5分)设函数f(x)ex(x1),函数g(x)mxm(m0),若对任意的x12,2,总存在而x22,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是()A3e2,B,e2C,+)De2,+)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(

4、5分)已知函数f(x),若f(f(0)2,则实数a的值为 14(5分)幂函数在(0,+)上为增函数,则m 15(5分)已知函数f(x)满足:f(x)0,且f(x)f(y)f(x+y)+f(xy)(x,yR),若f(1)4,则f(8) 16(5分)已知函数f(x)是定义在(,0)(0,+)上的奇函数,且f(1)0若x0时不等式xf(x)f(x)0,则不等式f(x)0的解集为 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)设全集为R,函数的定义域为A,集合Bx|x2+a0(1)当a4时,求AB;(2)若ABB,求实数a的取值范围18(12分)已知二次

5、函数f(x)满足f(0)0,且对任意x恒有f(x+1)f(x)2x+2(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)f(x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数若对任意x0,1,函数yg(x)的图象恒在x轴上方,求实数的取值范围19(12分)已知函数f(x)loga(x+1)loga(1x)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求使f(x)0成立的x的取值范围20(12分)已知函数f(x)x3+ax2+bx+3,其中a,bR,且曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程为4x2y30(l)求a,b的值;(2)若曲线yf(x)与直线y2x+m有

6、三个不同的交点,求实数m的取值范围21(12分)某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元(1)写出y与x(x0,xN*)之间的函数关系式:(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润,22(12分)已知函数f(x)e

7、xax,其中aR,e为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0时,求函数f(x)在0,a上的最大值2017-2018学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合M1,2a,Na,b,若MN4,则MN()A0,2,4B1,2,4C0,1,2D0,1,2,4【分析】根据M与N的交集,得到4属于M,属于N,进而确定出a与b的值,即可求出两集合的并集【解答】解:M1,2a,N(a,b),且MN4,2a4,且a4或b4,解得:a2,b4,M1,4,

8、N2,4,则MN1,3,4故选:B【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键2(5分)若函数f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(1,1)【分析】根据函数f(x)的定义域得出x+1的取值范围,再求得x的取值范围即可【解答】解:函数f(x)的定义域为(0,1),令0x+11,解得1x0,f(x+1)的定义域为(1,0)故选:A【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题,是基础题3(5分)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+)上是增函数的是()AyBy2x+2xCyx+Dyx3+x【分析】根据题意,依次分析选项中函数

9、的奇偶性与单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y,其定义域为0,+),不是奇函数,不符合题意;对于By2x+2x,有f(x)f(x),函数f(x)为偶函数,不符合题意;对于C,yx+,在(0,+)上不是增函数,不符合题意;对于D,yx3+x,有f(x)f(x),是奇函数,且在(0,+)上,f(x)3x2+10,则函数f(x)在(0,+)上是增函数,符合题意;故选:D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性的判定方法4(5分)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列命题中正确的是()A函数f

10、(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C函数f(x)在区间(1,8)内无零点D函数f(x)在区间2,8)内无零点【分析】由已知得到函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,从而得到函数f(x)在区间2,8)内无零点【解答】解:函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8)、(0,4)、(0,2)内,函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,函数f(x)在区间2,8)内无零点故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意零点知识的合理运用5(5分)若a20.3,blog23,clog47,则a,b,c的大小关系为()Aa

11、bcBbacCcabDacb【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解:0a20.3201,blog23log49clog47log441,a,b,c的大小关系为acb故选:D【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题6(5分)已知曲线ylnx的一条切线经过坐标原点,则此切线的斜率为()AeBeCD【分析】设切点坐标为(a,lna),求函数的导数,可得切线的斜率,切线的方程,代入(0,0),求切点坐标,切线的斜率【解答】解:设切点坐标为(a,lna),ylnx,y,切线的斜率是,切线的方程为y+ln

12、a(xa),将(0,0)代入可得lna1,ae,切线的斜率是故选:D【点评】本题主要考查导数的几何意义,利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标7(5分)若函数f(x)x33x+m的极小值为1,则函数f(x)的极大值为()A3B1CD2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来,即可确定出在哪个点处取得极值,进而得到答案【解答】解:由题意函数f(x)x33x+m可得:f(x)3x23,令f(x)0,即3x230,解得:x11,x21,f(x)在(,1)递增,在(1,1)递减,在(1,+)递增,x11是极大值点,x21是极小值点,函数f(x)x33x+

13、m的极小值为1,可得13+m1,解得m1,函数的极大值为:f(1)1+3+13故选:A【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键,要先确定出导函数大于0时的实数x的范围,再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该函数的极值,体现了导数的工具作用8(5分)若yf(x)是函数y2x的反函数,则函数yf(x2+2x+3)的单调递增区间是()A(,1)B(3,1)C(1,1)D(1,+)【分析】由yf(x)是函数y2x的反函数,得yf(x)log2x,根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调增区间,注意函数的定义域【解答】解:由yf(x)是函数y2x的反函数,得yf(x)log2x,

14、则yf(x2+2x+3)log2(x2+2x+3),由x2+2x+30,解得1x3,所以函数yf(x2+2x+3)的定义域为(1,3)因为ylog2u单调递增,ux2+2x+3在(,1)上递增,所以ylog2(x2+2x3)的递增区间为(1,1);故选:C【点评】本题考查复合函数的单调性、反函数的定义,属于基础题9(5分)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)f(x),当0x1时,f(x)lgx,则f()+lg5()A0B1C2D3【分析】推导出f()+lg5f()+lg5f()+lg5lg+lg5lg2+lg5,由此能求出结果【解答】解:定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)f(x)

15、,当0x1时,f(x)lgx,f()+lg5f()+lg5f()+lg5lg+lg5lg2+lg5lg101故选:B【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题10(5分)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则该函数的解析式可能是()Af(x)lnxBf(x)xexCf(x)Df(x)【分析】根据函数的定义域,单调性分别进行判断排除即可【解答】解:函数的定义域为(0,+),则排除B,D,函数在定义域上不是单调递增函数,排除A,故选:C【点评】本题主要考查函数图象的判断,结合函数图象的性质是解决本题的关键11(5分)已知函数f(x),则函数

16、g(x)f(x)+x3的零点个数为()A1B2C3D4【分析】问题转化为函数f(x)和yx+3的图象的交点个数问题,结合图象读出即可【解答】解:令g(x)0,得:f(x)x+3,画出函数f(x)和yx+3的图象,如图示:,函数g(x)的零点个数即f(x)和yx+3的交点个数,结合图象有2个交点,故函数g(x)有2个零点,故选:B【点评】本题考查了一次函数以及指数函数,对数函数的性质,考查函数的零点问题,考查转化思想,数形结合思想,是一道常规题12(5分)设函数f(x)ex(x1),函数g(x)mxm(m0),若对任意的x12,2,总存在而x22,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围

17、是()A3e2,B,e2C,+)De2,+)【分析】由题意可得f(x)在2,2的值域包含于g(x)的值域,运用导数和函数的单调性,即可得到所求范围【解答】解:f(x)ex(x1)的导数为f(x)xex,当x0时,f(x)递增;x0时,f(x)递减,即x0时,f(x)取得极小值,且为最小值1;由f(2)3e2,f(2)e2,可得f(x)在2,2的值域为1,e2,由g(x)mxm(m0)在2,2递增,可得g(x)的值域为3m,m,由对任意的x12,2,总存在而x22,2,使得f(x1)g(x2),可得1,e23m,m,即为3m1e2m,解得me2,故选:D【点评】本题考查任意存在性问题解法,注意运

18、用转化思想,考查函数的值域的求法,以及运算能力和推理能力,属于中档题二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)已知函数f(x),若f(f(0)2,则实数a的值为1【分析】利用分段函数求出f(0),然后求解方程得到a的值【解答】解:函数f(x),f(0)2,f(f(0)2,即f(2)2,可得4a22,解得a1故答案为:1【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查转化思想以及计算能力14(5分)幂函数在(0,+)上为增函数,则m2【分析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值,再根据单调性进行排除,可得答案【解答】解:函数是幂函数可得m2m11解得m1或2,当m

19、1时,函数为yx3在区间(0,+)上单调递减,不满足题意;当m2时,函数为yx3在(0,+)上单调递增,满足条件故答案为:2【点评】本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性15(5分)已知函数f(x)满足:f(x)0,且f(x)f(y)f(x+y)+f(xy)(x,yR),若f(1)4,则f(8)4【分析】由已知条件利用递推思想依次能推导出函数f(0)8,f(2)4后,令xy2可求得f(4)4,同理可得f(8)的值,由此能求出结果【解答】解:函数f(x)满足:f(x)0,且f(x)f(y)f(x+y)+f(xy)(x,yR),f(1)4,取x1,y0代入f(x)f(y)f(x+y)+f(

20、xy),得f(1)f(0)f(1)+f(1)2f(1),解得f(0)8,则当x1,y1时,f(1)f(1)f(2)+f(0),解得f(2)4,当x2,y2时,f(2)f(2)f(4)+f(0),解得f(4)4,当x4,y4时,f(4)f(4)f(8)+f(0),解得f(8)4故答案为:4【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题16(5分)已知函数f(x)是定义在(,0)(0,+)上的奇函数,且f(1)0若x0时不等式xf(x)f(x)0,则不等式f(x)0的解集为(0,1)(,1)【分析】构造函数g(x),求函数的导数,判断函数的单调

21、性,结合函数单调性和奇偶性的关系,将不等式进行转化进行求解即可【解答】解:设g(x),则g(x),x0时不等式xf(x)f(x)0,此时g(x)0,x0,即此时函数g(x)为增函数,f(x)是定义在(,0)(0,+)上的奇函数,g(x)是偶函数,则当x0时,g(x)为减函数,f(1)0,g(1)0,g(1)0,当x0时,不等式f(x)0等价为0,即g(x)f(1)0,则0x1;当x0时,等式f(x)0等价为0,由g(x)f(1)0,得x1则不等式f(x)0的解集是(0,1)(,1)故答案为:(0,1)(,1)【点评】本题主要考查不等式的求解,结合条件构造函数,判断函数的单调性,结合函数单调性和

22、奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)设全集为R,函数的定义域为A,集合Bx|x2+a0(1)当a4时,求AB;(2)若ABB,求实数a的取值范围【分析】(1)求定义域得出集合A,求不等式的解集得出集合B,再求AB;(2)由ABB知BA,讨论B和B时,求出a的取值范围【解答】解:(1)由题意知2x2+5x+30,解得;令x240,解得时2x2;于是,Bx|2x2,所以ABx|2x3;(2)因为ABB,所以BA;当a0时,B时,满足题意;当a0时,令x2+a0,解得;当BA时,解得;综上所述,a的取值范

23、围是94或a0【点评】本题考查了求定义域和不等式解集的应用问题,也考查了集合的基本运算问题,是基础题18(12分)已知二次函数f(x)满足f(0)0,且对任意x恒有f(x+1)f(x)2x+2(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)f(x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数若对任意x0,1,函数yg(x)的图象恒在x轴上方,求实数的取值范围【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)求解g(x)的解析式,根据任意x0,1,函数yg(x)的图象恒在x轴上方,最小值大于0,即可求解实数的取值范围【解答】解:(1)由题意f(x)是二次函数,f(0)0,c0设f(x)ax2+bxf(x+1

24、)f(x)a(x+1)2+b(x+1)ax2bx2x+2解得:a1,b3f(x)的解析式:f(x)x23x(2)g(x)f(x)f(x)x23x(2x3)x2(3+2)x+3函数yg(x)的图象恒在x轴上方:即x0,1,x2(3+2)x+30结合根的分布,可得或解得:2故得实数的取值范围(2,+)【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解,二次函数恒成立的问题属于基础题19(12分)已知函数f(x)loga(x+1)loga(1x)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求使f(x)0成立的x的取值范围【分析】(1)根据对数的真数大于0,可

25、得x的范围,即定义域;(2)利用定义即可判断奇偶性;(3)运用对数的运算法则化简,对底数a讨论,求解f(x)0的x的取值范围即可,注意考虑定义域范围【解答】解:(1)要使f(x)有意义,必须1+x0且1x0,解得1x1所以f(c)的定义域为(1,1)(2)f(x)是奇函数证明如下:由(1)知f(x)的定义域为(1,1),关于原点对称,f(x)loga(x+1)loga(1+x)loga(x+1)loga(1x)f(x)f(x)为奇函数(3)由f(x)0,得loga(x+1)loga(1x)当a1时,ylogax为增函数,x+11x0,解得:0x1当0a1时,ylogax为减函数,0x+11x,

26、解得1x0综上可知,当a1时,x的取值范围为(0,1);0a1时,x的取值范围为(1,0)【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,难度不大,属于基础题20(12分)已知函数f(x)x3+ax2+bx+3,其中a,bR,且曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程为4x2y30(l)求a,b的值;(2)若曲线yf(x)与直线y2x+m有三个不同的交点,求实数m的取值范围【分析】(1)求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,解a,b的方程组,可得a,b的值;(2)由题意可得x3x2+x+32x+m有三个不等实根,即有m3x3x2x有三个不等实根,求得yx3x2x的导数和单调性,可得极值

27、,令m3介于极小值和极大值之间,解不等式即可得到所求范围【解答】解:(1)函数f(x)x3+ax2+bx+3的导数为f(x)x2+2ax+b,曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线斜率为9+6a+b,且f(3)9+9a+3b+33,9+6a+b2,解得a,b1;(2)曲线yf(x)与直线y2x+m有三个不同的交点,可得x3x2+x+32x+m有三个不等实根,即有m3x3x2x有三个不等实根,由yx3x2x的导数为yx2x1,可得x3或x时,函数y递增;x3时,函数y递减;则x3处,y取得极小值6;x处,y取得极大值可得6m3,即有3m,实数m的取值范围为(3,)【点评】本题考查导数的运用:求

28、切线的斜率和单调性、极值,考查转化思想、方程思想和运算能力,属于中档题21(12分)某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元(1)写出y与x(x0,xN*)之间的函数关系式:(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利

29、润,【分析】(1)设旅行团的人数为x人,旅行社获得的机票利润为y,根据条件建立函数关系;(2)利用分段函数,结合一元二次函数的性质即可得到结论【解答】解:(1)设参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元,当1x30且xN时,y850,y800x12000当30x60且xN时,y85010(x30)115010x,y,(2)当1x30且xN时,Q850x12000,ymax850301200013500元当30x60且xN时,Q1150x10x212000,其对称轴为x57.5,故当x56或58时,ymax21060元所以当公司参加培训的员工为56或58时,培训机构

30、可获得最大利润,最大利润21060元【点评】本题考查函数的应用问题,考查函数的最大值的应用,根据条件建立函数关系,利用一元二次函数的最值性质是解决本题的关键22(12分)已知函数f(x)exax,其中aR,e为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0时,求函数f(x)在0,a上的最大值【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)通过讨论a的范围,结合函数的单调性求出函数的最值即可【解答】解:f(x)的定义域是R,(1)f(x)exa,a0时,令f(x)0,解得:xlna,令f(x)0,解得:xlna,故f(x)在(,lna)递减,在(lna,+)递增;a0时,f(x)0,f(x)在R递增;(2)由(1)a0时,f(x)在(,lna)递减,在(lna,+)递增;lna0即0a1时,f(x)在0,a递增,f(x)maxf(a)eaa2,0lnaa即1aea时,f(x)在0,lna)递减,在(lna,a递增,故f(x)maxf(0)1或f(a)eaa2,lnaa即aea时,f(x)在0,a递减,f(x)maxf(0)1【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道常规题