1、2017-2018学年青海省西宁二十一中高二（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）1（5分）圆柱内有一内切球，圆柱的底面积为，则球的体积为（）AB4CD162（5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD3（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能4（5分）若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）AlmBl与m异面Cl与m相交Dl与m没有公共点5（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后
2、面，那么这个正方体的前面是（）A定B有C收D获6（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D都不对7（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A12B57C45D818（5分）在下列四个正方体中，能得出ABCD的是（）ABCD9（5分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）ABCD10（5分）如图长方体中，ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为（）A30B45C60D9011（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1
3、D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCD12（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）AA1C1ADBD1C1ABCAC1与DC成45角DA1C1与B1C成60角二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 14（5分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确的个数有 15（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC
4、1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 16（5分）如图，ABC是直角三角形，ACB90，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形三、解答题（本大题共6小题，17（10分），其余各题每题12分，共70分）17（10分）三棱柱ABCA1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点求证：MN平面A1C1D18（12分）如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD19（12分）在正四面体ABCD（棱长都相等的四面体）中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值20（12分）在正三
5、棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，求BC1与侧面ACC1A1所成的角21（12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点，（）求证：A1C1BC1；（）求证：AC1平面CDB122（12分）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点（1）证明：SO平面ABC；（2）（理科）求二面角ASCB的余弦值（文科）若AB2，求三棱锥ASBC的体积2017-2018学年青海省西宁二十一中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）1（5分）
6、圆柱内有一内切球，圆柱的底面积为，则球的体积为（）AB4CD16【分析】由已知可得球的半径等于圆柱的底面半径，由圆柱的底面积为，可得R1，代入球体积公式，可得答案【解答】解：圆柱内有一内切球，故球的半径等于圆柱的底面半径，由圆柱的底面积为，可得R1，故球的体积为V，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积公式，根据已知得到球的半径，是解答的关键2（5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD【分析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的
7、视图形状，即可得到答案【解答】解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确故选：A【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键3（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断【解答】解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面故选
8、：D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系4（5分）若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）AlmBl与m异面Cl与m相交Dl与m没有公共点【分析】由线面平行的定义可判断l与无公共点，直线m在平面内，故lm，或l与m异面【解答】解：直线l平面，由线面平行的定义知l与无公共点，又直线m在平面内，lm，或l与m异面，故选：D【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答5（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A定B有C收D获【分析】利用正
9、方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”故选：B【点评】本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题6（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D都不对【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后
10、求出球的表面积【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：50故选：B【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力7（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A12B57C45D81【分析】由三视图可知：该几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱【解答】解：由三视图可知：该几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱它的表面积32+235+45故选：C
11、【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）在下列四个正方体中，能得出ABCD的是（）ABCD【分析】在图A中作出经过AB的对角面，发现它与CD垂直，故ABCD成立；在图B中作出正方体过AB的等边三角形截面，可得CD、AB成60的角；而在图C、D中，不难将直线CD进行平移，得到CD与AB所成角为锐角由此可得正确答案【解答】解：对于A，作出过AB的对角面如图，可得直线CD与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，ABCD成立；对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于60；对于C、D，将CD平移至经过
12、B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角故选：A【点评】本题以正方体中的异面直线为例，要我们找出异面垂直的直线，着重考查了空间两直线的位置关系和直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于基础題9（5分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）ABCD【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：剩下的凸多面体的体积是1故选：D【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力
13、10（5分）如图长方体中，ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为（）A30B45C60D90【分析】取BD的中点E，连接C1E，CE，根据已知中ABAD2，CC1，我们易得C1BD及CBD均为等腰三角形，进而得到C1EBD，CEBD，则C1EC即为二面角 C1BDC的平面角，解C1EC即可求也二面角 C1BDC的大小【解答】解：取BD的中点E，连接C1E，CE由已知中ABAD2，CC1，易得CBCD2，C1BC1D根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得C1EBD，CEBD则C1EC即为二面角 C1BDC的平面角在C1EC中，C1E2，CC1，CE故C1EC30故二面角 C1BDC的大小
14、为30故选：A【点评】本题考查的知识点是二面角平面角及求法，其中根据三垂线定理找出二面角的平面角是解答本题的关键11（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCD【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则EB1F为直线AM与CN所成角棱长为1，则B1EB1F，EF，cosEB1F，故选：D【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题1
15、2（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）AA1C1ADBD1C1ABCAC1与DC成45角DA1C1与B1C成60角【分析】由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可【解答】解：由题意画出如下图形：A因为ADA1D1，所以C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而C1A1D145，所以A错；B因为D1C1CD，利平行公理4可以知道：ABCDC1D1，所以B错；C因为DCAB所以C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D因为A1C1AC，所以B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形B1CA中，B1CA60，所以D正确故选：D【点评】
16、此题考查了正方体的特征，还考查了异面直线的夹角的定义即找异面直线所成的角往往平移直线然后把角放入同一个平面内利用三角形求解二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2所以体积故答案为：【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力14（5分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线
17、平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确的个数有2【分析】（1）反例为：把一支笔放在打开的课本之间，一支笔平行于两平面的交线；（2）利用平行平面的传递性即可判断出；（3）反例：正方体的棱长所在的直线可能平行、相交或为异面直线；（4）根据线面垂直的性质可得：垂直于同一平面的两直线平行【解答】解：（1）不正确，反例：把一支笔放在打开的课本之间，一支笔平行于两平面的交线；（2）正确，此结论为平行平面的传递性；（3）不正确，反例：正方体的棱长所在的直线可能平行、相交或为异面直线；（4）根据线面垂直的性质可得：垂直于同一平面的两直线平行，因此正确综上可知：只有（2）（4）正确；故答案为2【点评】熟
18、练空间中的线线、线面、面面的位置关系是解题的关键15（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为【分析】由题意连接A1C1，则AC1A1为所求的角，在AC1A1计算出此角的正弦值即可【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1B1C1D1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角在AC1A1中，sinAC1A1故答案为：【点评】本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系，属于中档题16（5分）如图，ABC是直角三角形，ACB90，PA平面ABC，此图形中有4个直角
19、三角形【分析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC平面PAC问题就迎刃而解了【解答】解：由PA平面ABC，则PAC，PAB是直角三角形，又由已知ABC是直角三角形，ACB90所以BCAC，从而易得BC平面PAC，所以BCPC，所以PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：PAC，PAB，ABC，PCB故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键三、解答题（本大题共6小题，17（10分），其余各题每题12分，共70分）17（10分）三棱柱ABCA1B1C1中，若D为B
20、B1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点求证：MN平面A1C1D【分析】证明MNA1C1，利用线面平行的判定定理证明MN平面A1C1D；【解答】证明：三棱柱ABCA1B1C1中，M为AB的中点，N为BC的中点，MNAC，又ACA1C1，MNA1C1，又MN面A1C1D，A1C1面A1C1D，MN面A1C1D【点评】本题考查了线面平行的判定定理的应用问题，是基础题18（12分）如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中
21、位线可知EFAD，EF面ACD，AD面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，满足定理所需条件【解答】证明：（1）E，F分别是AB，BD的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CBCD，F是BD的中点，CFBD又EFCFF，BD面EFC，BD面BCD，面EFC面BCD【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力19（12分）在正四面体AB
22、CD（棱长都相等的四面体）中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值【分析】设正四面体ABCD棱长为2，取CD中点F，连结EF，AF，则AEF是AE与BD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE和BD所成角的余弦值【解答】解：设正四面体ABCD棱长为2，取CD中点F，连结EF，AF，E是棱BC的中点，EFBD，AEF是AE与BD所成角（或所成角的补角），AEAF，EF1，cosAEF异面直线AE和BD所成角的余弦值为【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想20（12分）在正三棱
23、柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，求BC1与侧面ACC1A1所成的角【分析】取AC中点O，连结BO，C1O，则BOAC，BOAA1，从而BO平面ACC1A1，进而BC1O是BC1与侧面ACC1A1所成的角，由此能求出BC1与侧面ACC1A1所成的角【解答】解：取AC中点O，连结BO，C1O，正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，BOAC，BOAA1，ACAA1A，BO平面ACC1A1，BC1O是BC1与侧面ACC1A1所成的角，BO，C1O，tanBC1O，BC1O30，BC1与侧面ACC1A1所成的角为30【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考
24、查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题21（12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点，（）求证：A1C1BC1；（）求证：AC1平面CDB1【分析】（）先证ACBC1，可通过证出AC平面BCC1实现由已知，易证ACBC，ACC1C，可得AC平面BCC1成立，进而可证A1C1BC1；（）令BC1交CB1于点E，连接ED，可知E、D是AC1B的中位线，得出DEAC1，利用线面平行的判定定理证出AC1平面CDB1；【解答】解：（） 易知A1C1BC，A1C1CC1，
25、且BC1CC1C1，可得A1C1面BCC1B1，故ACBC1；又A1C1AC，A1C1BC1；（）设CB1与C1B交于E，连接DE，由于E、D分别是BC1和AB的中点，可得DEAC1，而AC1平面CDB1，故AC1平面CDB1【点评】本题考查空间直线和直线、平面位置关系的判断，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力，属于中档题22（12分）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点（1）证明：SO平面ABC；（2）（理科）求二面角ASCB的余弦值（文科）若AB2，求三棱锥ASBC的体积【分析】（1）由题设知ABACSBSCSA，连结OA，推导出
26、SOBC，SOAO，由此能证明SO平面ABC（2）（理科）几何法：取SC的中点M，连结AM，OM，则OMSC，AMSC，OMA为二面角ASCB的平面角，由此能求出二面角ASCB的余弦值向量法：以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ASCB的余弦值（2）（文科）三棱锥ASBC的体积VASBCVSABC【解答】证明：（1）由题设知ABACSBSCSA，连结OA，ABC为等腰直角三角形，OAOBOCSA，且AOBC，又SBC为等腰三角形，故SOBC，且SOSA，从而OA2+SO2SA2SOA为直角三角形，SOAO又AOBOOSO平面ABC解：（2）
27、（理科）（法一：几何法）：取SC的中点M，连结AM，OM，由（1）知SOOC，SAAC得OMSC，AMSCOMA为二面角ASCB的平面角由AOBC，AOSO，SOBCO得AO平面SBCAOOM又AMSA，故sinAMO，cosAMO，二面角ASCB的余弦值为（法二：向量法）：以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则A（0，0），B（，0，0），C（，0，0），S（0，0，），（0，），（），（），设平面SAB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设平面SBC的法向量（0，1，0），设二面角ASCB的平面角为，则cos二面角ASCB的余弦值为（2）（文科）AB2，2，SOSA，三棱锥ASBC的体积：VASBCVSABC【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题