1、专题七阅读理解新定义题类型一 几何新定义题型 (2017宁波)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，BD，CA，求B与C的度数之和；(2)如图2，锐角ABC内接于O，若边AB上存在一点D，使得BDBO，OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，AFE2EAF.求证：四边形DBCF是半对角四边形；(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DGOB于点H，交BC于点G，当DHBG时，求BGH与ABC的面积之比【分析】(1)根据题意得出BD，CA，代入ABCD360求出即可；(2)求出BEDBEO，根据全等得出BDEBOE，连结OC
2、，设EAF，则AFE2EAF2，求出EFC1802，AOC1802，即可得出答案；(3)过点O作OMBC于M，求出ABCACB120，求出OBCOCB30，根据直角三角形的性质得出BC2BMBOBD，求出DBGCBA，根据相似三角形的性质得出即可【自主解答】1(2017绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图1，等腰直角四边形ABCD，ABBC，ABC90，若ABCD1，ABCD，求对角线BD的长；若ACBD，求证：ADCD；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB5，BC9，点P是对角线BD上一点，且BP2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，
3、F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长类型二 代数新定义题型 (2019衢州)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点T(x，y)满足x，y，那么称点T是点A，B的融合点例如：A(1，8)，B(4，2)，当点T(x，y)满足x1，y 2时，则点T(1，2)是点A，B的融合点(1)已知点A(1，5)，B(7，7)，C(2，4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合点(2)如图，点D(3，0)，点E(t，2t3)是直线l上任意一点，点T(x，y)是点D，E的融合点试确定y与x的关系式若直线ET交x轴于点H.当DTH为直角三角形时，求点E的坐标【分析】(1)x(
4、17)2，y(57)4，即可求解；(2)由题意得：x(t3)，y(2t3)，即可求解；分DHT90，TDH90，HTD90三种情况，分别求解即可【自主解答】2(2017衢州)定义：如图1，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A，B两点不重合)，如果ABP的三边满足AP2BP2AB2，则称点P为抛物线yax2bxc(a0)的勾股点(1)直接写出抛物线yx21的勾股点的坐标(2)如图2，已知抛物线C：yax2bx(a0)与x轴交于A，B两点，点P(1，)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数解析式(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQSAB
5、P的Q点(异于点P)的坐标类型三 实践操作类 (2017台州)在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对于方程x25x20，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根(1)在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板
6、两条直角边的痕迹)；(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x25x20的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置若要以此方法找到一元二次方程ax2bxc0(a0，b24ac0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)，Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？【分析】(1)根据“第四步”的操作方法作出点D即可；(2)过点B作BDx轴于点D，根据AOCCDB，可得，进而得出，即m25m20，据此可得m是方程x25x20的实数根；(3)方程ax2b
7、xc0(a0)可化为x2x0，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；(4)先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到x2(m1m2)xm1m2n1n20，再根据ax2bxc0，可得x2x0，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系【自主解答】3(2019齐齐哈尔)综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，如图；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连结DN，MN，AN
8、，如图：(一)填一填，做一做：(1)图中，CMD_线段NF_(2)图中，试判断AND的形状，并给出证明剪一剪、折一折：将图中的AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A处，分别得到图、图.(二)填一填：(3)图中阴影部分的周长为_(4)图中，若AGN80，则AHD_.(5)图中的相似三角形(包括全等三角形)共有_对(6)如图，点A落在边ND上，若，则_(用含m，n的代数式表示)类型四 类比探究类 (2019河南)在ABC中，CACB，ACB.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连结AD，BD，CP.(1)观察猜想：如图1，当60时，的值
9、是_，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是_(2)类比探究：如图2，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由(3)解决问题：当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值【分析】相似形综合题，考查旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题(1)延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O.证明CAPBAD(SAS)，即可解决问题(2)如图2，设BD交
10、AC于点O，BD交PC于点E.证明DABPAC，即可解决问题(3)分两种情形：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明ADDC即可解决问题当点P在线段CD上时，同法可证：DADC解决问题【自主解答】4(2019金华)如图，在等腰RtABC中，ACB90，AB14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF.(1)如图1，若ADBD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O.求证：BD2DO.(2)已知点G为AF的中点如图2，若ADBD，CE2，求DG的长如图3，若AD6BD，是否存在点E，使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由
11、参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)在半对角四边形ABCD中，BD，CA.ABCD360，3B3C360，BC120，即B与C的度数和为120.(2)在BED和BEO中，BEDBEO(SAS)，BDEBOE.BCFBOE，BCFBDE.如图，连结OC.设EAF，则AFE2EAF2，EFC180AFE1802.OAOC，OACOCA，AOC180OACOCA1802，ABCAOCEFC，四边形DBCF是半对角四边形(3)如图，过点O作OGBC于G.四边形DBCF是半对角四边形，ABCACB120，BAC60，BOC2BAC120.OBOC，OBCOCB30，BC2BMBOBD.DGOB
12、，HGBBAC60.DBGCBA，DBGCBA，()2.DHBG，BG2HG，DG3HG，.跟踪训练1解：(1)ABCD1，ABCD，四边形ABCD是平行四边形ABBC，平行四边形ABCD是菱形ABC90，菱形ABCD是正方形，BDAC.如图1，连结AC，BD.ABBC，ACBD，ABDCBD.BDBD，ABDCBD，ADCD.(2)若EFBC，则四边形ABFE是矩形，AEBFBC6，AB5，AEAB，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件若EF与BC不垂直，当AEAB时，如图2，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AEAB5.当BFAB时，如图3，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，B
13、FAB5.DEBF，DEBFPDPB12，DE2.5，AE92.56.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.类型二【例2】 (1)x(17)2，y(57)4，故点C是点A，B的融合点(2)由题意得x(t3)，y(2t3)，则t3x3，则y(6x63)2x1.当DHT90时，如图1所示，图1设T(m，2m1)，则点E(m，2m3)，由点T是点D，E的融合点得m或2m1，解得m，即点E(，6)当TDH90时，如图2所示，图2则点T(3，5)，由点T是点D，E的融合点得点E(6，15)；当HTD90时，该情况不存在故点E(，6)或(6，15)跟踪训练2解：(1)抛物线yx21的勾股点的坐标为
14、(0，1)(2)抛物线yax2bx过原点，即点A(0，0)如图，作PGx轴于点G，点P的坐标为(1，)，AG1，PG，PA2.tanPAB，PAG60，在RtPAB中，AB4，点B的坐标为(4，0)，设yax(x4)，将点P(1，)代入得a，yx(x4)x2x.(3)当点Q在x轴上方时，由SABQSABP知点Q的纵坐标为，则有x2x，解得x13，x21(不符合题意，舍去)，点Q的坐标为(3，)当点Q在x轴下方时，由SABQSABP知点Q的纵坐标为，则有x2x，解得x12，x22，点Q的坐标为(2，)或(2，)综上，满足条件的点Q有3个，即为(3，)或(2，)或(2，)类型三【例3】 (1)如图
15、1所示，点D即为所求图1(2)如图2所示，过点B作BDx轴于点D，图2根据AOCCDB90，ACOCBD，可得AOCCDB，即，m(5m)2，m25m20，m是方程x25x20的实数根(3)方程ax2bxc0(a0)可化为x2x0，模仿研究小组作法可得A(0，1)，B(，)或A(0，)，B(，c)等(4)如图，P(m1，n1)，Q(m2，n2)，设方程的根为x，根据三角形相似可得，上式可化为x2(m1m2)xm1m2n1n20，又ax2bxc0，即x2x0，比较系数可得m1m2，m1m2n1n2.跟踪训练3解：(1)7542提示：由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，EFCD，DEF90，DE
16、AEAD.将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，DNCD2DE，MNCM，EDN60，CDMNDM15，ENDN2，CMD75，NFEFEN42.(2)AND是等边三角形证明如下：在AEN和DEN中，AENDEN(SAS)，ANDN，EDN60，AND是等边三角形(3)12提示：将图中的AND沿直线GH折叠，使点A落在点A处，AGAG，AHAH，图中阴影部分的周长ADN的周长3412.(4)40提示：将图中的AND沿直线GH折叠，使点A落在点A处，AGHAGH，AHGAHG.AGN80，AGH50，AHGAHG70，AHD180707040.(5)4提示：如图，ANDA
17、60，NMGAMP，APMDPH，NGMAPMDPH.AGHAGH，图中的相似三角形(包括全等三角形)共有4对(6)设a，则APam，ADan，NDAA60，PAGAGNPAGDAH120，AGNDAH，AGHHAD，设AGAGx，AHAHy，则GN4x，DH4y，解得：xy，.类型四【例4】 (1)160提示：如图1，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O.图1PADCAB60，CAPBAD.CABA，PADA，CAPBAD(SAS)，PCBD，ACPABD.AOCBOE，BEOCAO60，1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60.(2)如图2，设BD交AC于点O，BD交P
18、C于点E.图2PADCAB45，PACDAB.，DABPAC，PCADBA，.EOCAOB，CEOOAB45，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(3)如图31，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.图31CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45.PAO45，PAOOFH.POAFOH，HAPO.APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA.ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5.ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，设ADa，则DC
19、ADa，PDa，2.如图32，当点P在线段CD上时，同法可证：DADC，设ADa，则CDADa，PDa，图32PCaa，2.跟踪训练4(1)证明：如图1中，图1CACB，ACB90，BDAD，CDAB，CDADBD.CDCF，ADCF，ADCDCF90，ADCF，四边形ADFC是平行四边形，ODOC，BD2OD.(2)解：如图2中，作DTBC于点T，FHBC于H.图2由题意知，BDADCD7，BCBD14.DTBC，BTTC7.EC2，TE5.DTEEHFDEF90，DETTDE90，DETFEH90，TDEFEH.EDEF，DTEEHF(AAS)，FHET5.DBEDFE45，B，D，E，F
20、四点共圆，DBFDEF180，DBF90.DBE45，FBH45.BHF90，HBFHFB45，BHFH5，BF5.ADCABF90，DGBF.ADDB，AGGF，DGBF.解：如图31中，当DEG90时，F，E，G，A共线，作DTBC于点T，FHBC于H.设ECx.图31AD6BD，BDAB2.DTBC，DBT45，DTBT2.DTEEHF，EHDT2，BHFH12x.FHAC，即，整理得x212x280，解得x62.如图32中，当EDG90时，过点G，F分别作AC的垂直线，交射线AC于点N，M，过点E作EKFM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P.则PNHCBCHB12，图32
21、设GNt，则FM2t，PGPNGN12t.由DHEEKF可得：FK2.CEKM2t2，HEHCCE12(2t2)142t，EKHE142t，AMACCMACEK14142t282t，MNAM14t，NCMNCMt，PDt2，由GPDDHE可得：，由，解得t110，t210(舍去)CE2t2182.如图33中，当DGE90时，取AB的中点O，连结OG，CG，作DTBC于T，FHBC于H，EKCG于K.设ECx.图33DBEDFE45，D，B，F，E四点共圆，DBFDEF180.DEF90，DBF90.AOOB，AGGF，OGBF，AOGABF90，OGAB.OG垂直平分线段AB，CACB，O，G，C共线由DTEEHF，可得EHDTBT2，ETFH12x，BF(12x)，OGBF(12x)，CKEKx，GK7(12x)x，由OGDKEG，可得，解得x2.综上所述，满足条件的EC的值为62或182或2.