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浙江专用2020年中考数学二轮复习专题四:三角形与四边形中的证明与计算

1、专题四三角形与四边形中的证明与计算类型一 三角形中的证明与计算 (2018宁波)如图,在ABC中,ACB90,ACBC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连结DE交BC于点F,连结BE.(1)求证:ACDBCE;(2)当ADBF时,求BEF的度数【分析】(1)利用SAS定理证明ACDBCE;(2)利用全等三角形性质求角度【自主解答】1(2018台州)如图,在RtABC中,ACBC,ACB90,点D,E分别在AC,BC上,且CDCE.(1)如图1,求证:CAECBD;(2)如图2,F是BD的中点,求证:AECF;(3)如图3,F,

2、G分别是BD,AE的中点,若AC2,CE1,求CGF的面积类型二 四边形中的证明与计算 (2019余杭区二模)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,AB上,且DEDF,连结AC,分别交DE,DF于点M,N.(1)求证:ADFCDE;(2)设DMN和AFN的面积分别为S1和S2.若ADFEDF,求S2S1的值;若S22S1,求tanADF.【分析】(1)根据HL证明三角形全等即可(2)作NHAB于H.设FHa.利用参数表示S2,S1即可作NHAB于H.易证ADFHNF,设tanADFtanFNHk,设NHAHb,则FHkb,利用面积关系构建方程求出k即可解决问题【自主解答】2(2017宁

3、波)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题,某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解:如图,将矩形ABCD的四边BA,CB,DC,AD分别延长至E,F,G,H,使得AECG,BFDH,连结EF,FG,GH,HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且FEB45,tanAEH2,求AE的长3(2017绍兴)如图1,已知ABCD,ABx轴,AB6,点A的坐标为(1,4),点D的坐标为(3,4),点B在第四象限,点P是ABCD边上的一个动点(1)若点P在边BC上,PDCD,求点P的坐标(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q

4、落在直线yx1上,求点P的坐标(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案)参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)由题意可知,CDCE,DCE90,ACB90,ACDACBDCB,BCEDCEDCB,ACDBCE.在ACD和BCE中,ACDBCE(SAS)(2)ACB90,ACBC,A45.由(1)可知CBEA45.ADBF,BEBF,BEF67.5.跟踪训练1(1)证明:在ACE和BCD中,ACEBCD,CAECB

5、D.(2)证明:如图,设AE与CF交于点M.在RtBCD中,点F是BD的中点,CFBF,BCFCBF.由(1)知,CAECBD,BCFCAE,CAEACFBCFACFACB90,AMC90,AECF.(3)解:如图,AC2,BCAC2.CE1,CDCE1,在RtBCD中,根据勾股定理得BD3.点F是BD的中点,CFDFBD.同理EGAE.连结EF,过点F作FHBC,ACB90,点F是BD的中点,FHCD,SCEFCEFH1.由(2)知,AECF,SCEFCFMEMEME,ME,ME,GMEGME,SCFGCFGM.类型二【例2】 (1)四边形ABCD是正方形,ABBCCDAD,DAFDCEAD

6、C90.DFDE,RtADFRtCDE.(2)如图,作NHAB于H.设FHa.RtADFRtCDE,ADFCDE.又ADFEDF,ADFEDFCDE30,AFD60.NHF90,FNH30,HNa.NAH45,AHN90,NAHANH45,HAHNa,AF(1)a,ADAF(3)a,S2AFNH(1)aaa2.ADNCDM,ADDC,DANDCM45,ADNCDM,SADNSDCM,S1SADC2SADN(3)a22(3)aa3a2,.(3)如图,FHNFAD90,HNAD,ADFHNF.设tanADFtanFNHk,设NHAHb,则FHkb,AFbkb,ADb,S2(1k)b2,S1SADC

7、2SADN(b)22bb.S22S1,(1k)b22(b)22bb,整理得k22k20,解得k1或1(舍弃),tanADFk1.跟踪训练2(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,BADBCD90.BFDH,AHCF.在RtAEH中,EH,在RtCFG中,FG.AECG,EHFG.同理EFHG,四边形EFGH为平行四边形(2)解:在正方形ABCD中,ABAD1,设AEx,则BEx1,在RtBEF中,BEF45,BEBF.BFDH,DHBEx1,AHADDHx2.在RtAEH中,tanAEH2,AH2AE,2x2x,解得x2,AE2.3解:(1)CD6,点P与点C重合,点P坐标为(3,4)(2

8、)当点P在边AD上时,直线AD的解析式为y2x2,设P(a,2a2),且3a1,若点P关于x轴的对称点Q1(a,2a2)在直线yx1上,2a2a1,解得a3,此时P(3,4)若点P关于y轴的对称点Q2(a,2a2)在直线yx1上时,2a2a1,解得a1,此时P(1,0);当点P在边AB上时,设P(a,4)且1a7,若点P关于x轴的对称点Q3(a,4)在直线yx1上,4a1,解得a5,此时P(5,4)若点P关于y轴的对称点Q4(a,4)在直线yx1上,4a1,解得a3,此时P(3,4)综上所述,点P的坐标为(3,4)或(1,0)或(5,4)或(3,4)(3)点P坐标为(2,4)或(,3)或(,4)或(,4)