1、专题五反比例函数的综合类型一 反比例函数与一次函数的综合 (2019椒江区一模)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(4，1)和B(a，2)(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标(2)根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？【分析】(1)根据反比例函数图象经过点A(4，1)，可以求得反比例函数的解析式，再根据点B在反比例函数图象上，即可求得点B的坐标；(2)根据函数图象可以直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值【自主解答】1(2017嘉兴)如图，一次函数yk1xb(k10)与反比例函数y(k20)的图象交于点A(1，2)，B(m，1)(1)
2、求这两个函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P(n，0)(n0)，使ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由类型二 反比例函数与几何图形相结合 (2019舟山)如图，在直角坐标系中，已知点B(4，0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y的图象上(1)求反比例函数的解析式(2)把OAB向右平移a个单位长度，对应得到OAB，当这个函数图象经过OAB一边的中点时，求a的值【分析】(1)过点A作ACOB于点C，根据等边三角形的性质得出点A的坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；(2)分两种情况讨论：反比例函数图象过AB的中点；反比例函数图象过AO的中点分别过中点作x轴的垂
3、线，再根据30角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可【自主解答】2(2019鼎城区模拟)如图，直线y2x与双曲线y交于点A，E，直线AB交双曲线于另一点B(2m，m)，连结EB并延长交x轴于点F.(1)求直线AB的解析式；(2)求EOF的面积；(3)若点P为坐标平面内一点，且以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标类型三 反比例函数与相似相结合 (2019黄州区模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线将O
4、AB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y(x0)的图象经过点F，交AB于点G.(1)求k的值和点G的坐标；(2)连结FG，则图中是否存在与BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；(3)在线段OA上存在这样的点P，使得PFG是等腰三角形请直接写出点P的坐标【分析】考查的是反比例函数的综合运用，涉及三角形相似、等腰三角形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏(1)证明COFAOB，则，求得点F的坐标为(1，2)，即可求解；(2)COFBFG；AOBBFG；DOEBFG；CBOBFG.证AOBB
5、FG：，即可求解；(3)分GFPF，PFPG，GFPG三种情况，分别求解即可【自主解答】3如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，AD2AB，直线AB的解析式为y2x4，双曲线y(x0)经过点D，与BC边相交于点E.(1)填空：k_；(2)连结AE，DE，试求ADE的面积；(3)在x轴上有两点P，Q，其中点P可以使PCPD的值最小，而点Q可以使|QCQD|的值最大，请直接写出P，Q两点的坐标以及线段PQ的长类型四 反比例函数与几何变换 (2019莲都区模拟)平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数y(k0)的图象上，过点A作ABx轴于点B，.(1)求k的值；(2)在x轴的负半轴
6、上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90，其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标；(3)直线yxn(n0)与AB的延长线交于点C，与反比例函数图象交于点E，若点E到直线AB的距离等于AC，求n的值【分析】(1)，设OAa，则AB2a，OB2，由勾股定理，即可求解；(2)证明PABAPG(AAS)，确定点A的坐标为(a4，a2)，即可求解；(3)分当直线与双曲线交点为E、直线与双曲线交点为E两种情况，分别求解即可【自主解答】4(2019鹿城区模拟)如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为(4，m)(5m7)，反比例函数y(x0)的图象交边AB于点
7、D.(1)用m的代数式表示BD的长；(2)设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD.记矩形OABC面积与PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；将点D绕点P逆时针旋转90得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)设反比例函数的解析式为y，反比例函数图象经过点A(4，1)，1，解得k4，反比例函数的解析式为y.B(a，2)在y的图象上，2，解得a2，点B的坐标为B(2，2)(2)由图象得，当x2或4x0时，一次函数的值大于反比例函数的值跟踪训练1解：(1)把A(1，2)代入y，得k22，反比例函数的解析式为y.B(m，1)在y
8、的图象上，m2，由题意解得一次函数的解析式为yx1.(2)A(1，2)，B(2，1)，AB3.当PAPB时，(n1)24(n2)21，n0.n0，n0不合题意舍去当APAB时，22(n1)2(3)2.n0，n1.当BPBA时，12(n2)2(3)2.n0，n2.综上所述，n1或2.类型二【例2】 (1)如图1，过点A作ACOB于点C.OAB是等边三角形，AOB60，OCOB.B(4，0)，OBOA4，OC2，AC2.把点A(2，2)代入y得k4.反比例函数的解析式为y.(2)分两种情况讨论：如图2，点D是AB的中点，过点D作DEx轴于点E.由题意得AB4，ABE60，在RtDEB中，BD2，D
9、E，BE1，OE3.把y代入y得x4，OE4，aOO1.如图3，点F是AO的中点，过点F作FHx轴于点H.由题意得AO4，AOB60，在RtFOH中，FH，OH1.把y代入y得x4，OH4，aOO3.综上所述，a的值为1或3.跟踪训练2解：(1)联立直线AE及双曲线的解析式构成方程组得解得点A的坐标为(2，4)，点E的坐标为(2，4)点B(2m，m)在双曲线y(x0)上，2mm8，解得m2或m2(舍去)，点B的坐标为(4，2)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，将A(2，4)，B(4，2)分别代入ykxb得解得直线AB的解析式为yx2.(2)点B的坐标为(4，2)，点E的坐标为(2，4)，直
10、线BE的解析式为yx6(可利用待定系数法求出)当y0时，x60，解得x6，点F的坐标为(6，0)，SEOFOFyE6412.(3)点P的坐标为(4，2)，(0，6)或(8，10)类型三【例3】 (1)四边形OABC为矩形，点B的坐标为(4，2)，OCBOABABC90，OCAB2，OABC4.ODE是由OAB旋转得到的，ODEOAB，COFAOB，COFAOB，即，CF1，点F的坐标为(1，2)y(x0)的图象经过点F，2，解得k2.点G在边AB上，点G的横坐标为4，对于y，当x4时，得y，点G的坐标为(4，)(2)COFBFG；AOBBFG；DOEBFG；CBOBFG.下面对AOBBFG进行
11、证明：点G的坐标为(4，)，AG.BCOA4，CF1，AB2，BFBCCF3，BGABAG，.OABFBG90，AOBBFG.(3)点P的坐标为(4，0)或(，0)或(，0)跟踪训练3解：(1)40提示：如图，过点D作DHx轴于点H.直线AB的解析式为y2x4，当x0时，y4，则OB4，点B的坐标为(0，4)，当y0时，x2，则OA2，点A的坐标为(2，0)OABDAH90，ADHDAH90，BAOADH.又BOAAHD，AOBDHA，即，解得DH4，AH8，D(10，4)，则k10440.(2)由(1)得，AO2，OB4，则AB2.AD2AB，AD4，S矩形BACDSAED2420.(3)P
12、(，0)，Q(12，0)，PQ.类型四【例4】 (1)，设OAa，则AB2a，OB2，由勾股定理得(a)2(2a)24，解得a2，则点A(2，4)，则k248.(2)点A绕点P顺时针旋转90，点A对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上如图1，过点A作AGx轴交于点G，设点P(a，0)图1PABBPA90，BPAAPG90，APGPAB，ABPAGP90，PAPA，PABAPG，PGAB4，GAPB2a，则点A的坐标为(a4，a2)，则(a4)(a2)8，解得a1(正值已舍去)，故点P的坐标为(1，0)(3)设直线yxn(n0)与AB和双曲线分别交于点C，点E(E)如图2，过点E作EFAB于点
13、F，过点E作EFAB于点F.图2当直线与双曲线的交点为E时，则点C(2，1n)，AC41n3n，将直线解析式与反比例函数解析式联立并整理得x22nx160，解得xn，则xEn，则EFn2，E到直线AB的距离为FE等于AC，则n23n，解得n3(正值已舍去)当直线与双曲线交点为E时，同理可得n.故n的值为3或.跟踪训练4解：(1)四边形OABC是矩形，ABx轴点B(4，m)，点D的横坐标为4.点D在反比例函数y图象上，D(4，4)，BDm4.(2)如图1，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，m)，S矩形OABC4m.由(1)知，D(4，4)，SPBD(m4)(m4)(m4)2，SS矩形OABCSPBD4m(m4)2(m8)224，抛物线的对称轴为直线m8.a0，5m7，当m7时，S取到最大值如图2，连结DP，过点P作PFx轴于F，过点D作DGFP交FP的延长线于G，DGPPFE90，DPGPDG90，由旋转知，PDPE，DPE90，DPGEPF90，PDGEPF，PDGEPF，DGPF.DGAFm4，P(m，m4)点P在反比例函数y图象上，m(m4)16，解得m22或m22(舍)