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浙江专用2020年中考数学二轮复习专题五:反比例函数的综合

1、专题五反比例函数的综合类型一 反比例函数与一次函数的综合 (2019椒江区一模)如图,已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(4,1)和B(a,2)(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标(2)根据图象回答,当x在什么范围内时,一次函数的值大于反比例函数的值?【分析】(1)根据反比例函数图象经过点A(4,1),可以求得反比例函数的解析式,再根据点B在反比例函数图象上,即可求得点B的坐标;(2)根据函数图象可以直接写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于反比例函数的值【自主解答】1(2017嘉兴)如图,一次函数yk1xb(k10)与反比例函数y(k20)的图象交于点A(1,2),B(m,1)(1)

2、求这两个函数的解析式;(2)在x轴上是否存在点P(n,0)(n0),使ABP为等腰三角形?若存在,求n的值;若不存在,说明理由类型二 反比例函数与几何图形相结合 (2019舟山)如图,在直角坐标系中,已知点B(4,0),等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y的图象上(1)求反比例函数的解析式(2)把OAB向右平移a个单位长度,对应得到OAB,当这个函数图象经过OAB一边的中点时,求a的值【分析】(1)过点A作ACOB于点C,根据等边三角形的性质得出点A的坐标,用待定系数法求得反比例函数的解析式即可;(2)分两种情况讨论:反比例函数图象过AB的中点;反比例函数图象过AO的中点分别过中点作x轴的垂

3、线,再根据30角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标,代入反比例函数的解析式得出中点坐标,再根据平移的法则得出a的值即可【自主解答】2(2019鼎城区模拟)如图,直线y2x与双曲线y交于点A,E,直线AB交双曲线于另一点B(2m,m),连结EB并延长交x轴于点F.(1)求直线AB的解析式;(2)求EOF的面积;(3)若点P为坐标平面内一点,且以A,B,E,P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有满足条件的点P的坐标类型三 反比例函数与相似相结合 (2019黄州区模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2),OA,OC分别落在x轴和y轴上,OB是矩形的对角线将O

4、AB绕点O逆时针旋转,使点B落在y轴上,得到ODE,OD与CB相交于点F,反比例函数y(x0)的图象经过点F,交AB于点G.(1)求k的值和点G的坐标;(2)连结FG,则图中是否存在与BFG相似的三角形?若存在,请把它们一一找出来,并选其中一种进行证明;若不存在,请说明理由;(3)在线段OA上存在这样的点P,使得PFG是等腰三角形请直接写出点P的坐标【分析】考查的是反比例函数的综合运用,涉及三角形相似、等腰三角形的性质等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏(1)证明COFAOB,则,求得点F的坐标为(1,2),即可求解;(2)COFBFG;AOBBFG;DOEBFG;CBOBFG.证AOBB

5、FG:,即可求解;(3)分GFPF,PFPG,GFPG三种情况,分别求解即可【自主解答】3如图,矩形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上,AD2AB,直线AB的解析式为y2x4,双曲线y(x0)经过点D,与BC边相交于点E.(1)填空:k_;(2)连结AE,DE,试求ADE的面积;(3)在x轴上有两点P,Q,其中点P可以使PCPD的值最小,而点Q可以使|QCQD|的值最大,请直接写出P,Q两点的坐标以及线段PQ的长类型四 反比例函数与几何变换 (2019莲都区模拟)平面直角坐标系中,横坐标为2的点A在反比例函数y(k0)的图象上,过点A作ABx轴于点B,.(1)求k的值;(2)在x轴的负半轴

6、上找点P,将点A绕点P顺时针旋转90,其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上,求点P的坐标;(3)直线yxn(n0)与AB的延长线交于点C,与反比例函数图象交于点E,若点E到直线AB的距离等于AC,求n的值【分析】(1),设OAa,则AB2a,OB2,由勾股定理,即可求解;(2)证明PABAPG(AAS),确定点A的坐标为(a4,a2),即可求解;(3)分当直线与双曲线交点为E、直线与双曲线交点为E两种情况,分别求解即可【自主解答】4(2019鹿城区模拟)如图,矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C在y轴正半轴上,点B的坐标为(4,m)(5m7),反比例函数y(x0)的图象交边AB于点

7、D.(1)用m的代数式表示BD的长;(2)设点P在该函数图象上,且它的横坐标为m,连结PB,PD.记矩形OABC面积与PBD面积之差为S,求当m为何值时,S取到最大值;将点D绕点P逆时针旋转90得到点E,当点E恰好落在x轴上时,求m的值参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)设反比例函数的解析式为y,反比例函数图象经过点A(4,1),1,解得k4,反比例函数的解析式为y.B(a,2)在y的图象上,2,解得a2,点B的坐标为B(2,2)(2)由图象得,当x2或4x0时,一次函数的值大于反比例函数的值跟踪训练1解:(1)把A(1,2)代入y,得k22,反比例函数的解析式为y.B(m,1)在y

8、的图象上,m2,由题意解得一次函数的解析式为yx1.(2)A(1,2),B(2,1),AB3.当PAPB时,(n1)24(n2)21,n0.n0,n0不合题意舍去当APAB时,22(n1)2(3)2.n0,n1.当BPBA时,12(n2)2(3)2.n0,n2.综上所述,n1或2.类型二【例2】 (1)如图1,过点A作ACOB于点C.OAB是等边三角形,AOB60,OCOB.B(4,0),OBOA4,OC2,AC2.把点A(2,2)代入y得k4.反比例函数的解析式为y.(2)分两种情况讨论:如图2,点D是AB的中点,过点D作DEx轴于点E.由题意得AB4,ABE60,在RtDEB中,BD2,D

9、E,BE1,OE3.把y代入y得x4,OE4,aOO1.如图3,点F是AO的中点,过点F作FHx轴于点H.由题意得AO4,AOB60,在RtFOH中,FH,OH1.把y代入y得x4,OH4,aOO3.综上所述,a的值为1或3.跟踪训练2解:(1)联立直线AE及双曲线的解析式构成方程组得解得点A的坐标为(2,4),点E的坐标为(2,4)点B(2m,m)在双曲线y(x0)上,2mm8,解得m2或m2(舍去),点B的坐标为(4,2)设直线AB的解析式为ykxb(k0),将A(2,4),B(4,2)分别代入ykxb得解得直线AB的解析式为yx2.(2)点B的坐标为(4,2),点E的坐标为(2,4),直

10、线BE的解析式为yx6(可利用待定系数法求出)当y0时,x60,解得x6,点F的坐标为(6,0),SEOFOFyE6412.(3)点P的坐标为(4,2),(0,6)或(8,10)类型三【例3】 (1)四边形OABC为矩形,点B的坐标为(4,2),OCBOABABC90,OCAB2,OABC4.ODE是由OAB旋转得到的,ODEOAB,COFAOB,COFAOB,即,CF1,点F的坐标为(1,2)y(x0)的图象经过点F,2,解得k2.点G在边AB上,点G的横坐标为4,对于y,当x4时,得y,点G的坐标为(4,)(2)COFBFG;AOBBFG;DOEBFG;CBOBFG.下面对AOBBFG进行

11、证明:点G的坐标为(4,),AG.BCOA4,CF1,AB2,BFBCCF3,BGABAG,.OABFBG90,AOBBFG.(3)点P的坐标为(4,0)或(,0)或(,0)跟踪训练3解:(1)40提示:如图,过点D作DHx轴于点H.直线AB的解析式为y2x4,当x0时,y4,则OB4,点B的坐标为(0,4),当y0时,x2,则OA2,点A的坐标为(2,0)OABDAH90,ADHDAH90,BAOADH.又BOAAHD,AOBDHA,即,解得DH4,AH8,D(10,4),则k10440.(2)由(1)得,AO2,OB4,则AB2.AD2AB,AD4,S矩形BACDSAED2420.(3)P

12、(,0),Q(12,0),PQ.类型四【例4】 (1),设OAa,则AB2a,OB2,由勾股定理得(a)2(2a)24,解得a2,则点A(2,4),则k248.(2)点A绕点P顺时针旋转90,点A对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上如图1,过点A作AGx轴交于点G,设点P(a,0)图1PABBPA90,BPAAPG90,APGPAB,ABPAGP90,PAPA,PABAPG,PGAB4,GAPB2a,则点A的坐标为(a4,a2),则(a4)(a2)8,解得a1(正值已舍去),故点P的坐标为(1,0)(3)设直线yxn(n0)与AB和双曲线分别交于点C,点E(E)如图2,过点E作EFAB于点

13、F,过点E作EFAB于点F.图2当直线与双曲线的交点为E时,则点C(2,1n),AC41n3n,将直线解析式与反比例函数解析式联立并整理得x22nx160,解得xn,则xEn,则EFn2,E到直线AB的距离为FE等于AC,则n23n,解得n3(正值已舍去)当直线与双曲线交点为E时,同理可得n.故n的值为3或.跟踪训练4解:(1)四边形OABC是矩形,ABx轴点B(4,m),点D的横坐标为4.点D在反比例函数y图象上,D(4,4),BDm4.(2)如图1,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),S矩形OABC4m.由(1)知,D(4,4),SPBD(m4)(m4)(m4)2,SS矩形OABCSPBD4m(m4)2(m8)224,抛物线的对称轴为直线m8.a0,5m7,当m7时,S取到最大值如图2,连结DP,过点P作PFx轴于F,过点D作DGFP交FP的延长线于G,DGPPFE90,DPGPDG90,由旋转知,PDPE,DPE90,DPGEPF90,PDGEPF,PDGEPF,DGPF.DGAFm4,P(m,m4)点P在反比例函数y图象上,m(m4)16,解得m22或m22(舍)