1、微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明姓名：_班级：_用时：_分钟1(2019娄底)如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且满足AECG，AHCF.(1)求证：AEHCGF；(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由；(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由2(2019济宁)如图1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD边上一点，连结AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE的长；(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点
2、(与端点不重合)，且DMNDAM，设AMx，DNy.写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由3(2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB10 cm，E为对角线BD上一动点，连结AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止设BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒(1)求证：CEEF；(2)求y与x之间关系的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)求BEF面积的最大值4(2018绥化)如图，在矩形ABCD中，A
3、D5，CD4，点E是BC边上的点，BE3，连结AE，DFAE交于点F.(1)求证：ABEDFA；(2)连结CF，求sin DCF的值；(3)连结AC交DF于点G，求的值5(2018南通)如图，正方形ABCD中，AB2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE2，连结DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连结AE，CF.(1)求证：AECF；(2)若A，E，O三点共线，连结OF，求线段OF的长；(3)求线段OF长的最小值6(2018海南)已知，如图1，在ABCD中，点E是AB的中点，连结DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：ADEBFE；(2)如图2，点G是边BC上任意一点(点
4、G不与点B，C重合)，连结AG交DF于点H，连结HC，过点A作AKHC，交DF于点K.求证：HC2AK；当点G是边BC中点时，恰有HDnHK(n为正整数)，求n的值参考答案【基础训练】1证明：(1)四边形ABCD是矩形，AC.在AEH与CGF中，AEHCGF(SAS)(2)解：由(1)知，AEHCGF，则EHGF，同理证得EBFGDH，则EFGH，四边形EFGH是平行四边形(3)解：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度理由如下：作G关于BC的对称点G，连结EG，可得EG的长度就是EFFG的最小值连结AC，CGCGAE，ABCG，四边形AEGC为平行四边形，EGAC.在E
5、FG中，EFFGEGAC，四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度2解：(1)如图1中，图1四边形ABCD是矩形，ADBC10，ABCD8，BBCD90.由翻折可知ADAF10，DEEF，设ECx，则DEEF8x.在RtABF中，BF6，CFBCBF1064.在RtEFC中，则有(8x)2x242，x3，CE3.(2)如图2中，图2ADCG，CG6，BGBCCG16.在RtABG中，AG8，在RtDCG中，DG10.ADDG10，DAGAGD.DMGDMNNMGDAMADM，DMNDAM，ADMNMG，ADMGMN，yx2x10.当x4时，y有最小值，最小值为2.存在有两种
6、情形：如图，当MNMD时，MDNGDM，DMNDGM，DMNDGM，.MNDM，DGGM10，xAM810.当MNDN时，如图，作MHDG于H.MNDN，MDNDMN.DMNDGM，MDGMGD，MDMG.MHDG，DHGH5.由GHMGBA，可得，MG，xAM8.综上所述，满足条件的x的值为810或.3(1)证明：如图1，过E作MNAB，交AD于M，交BC于N.图1四边形ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，AMEFNE90NFEFEN.AEEF，AEFAEMFEN90，AEMNFE.DBC45，BNE90，BNENAM，在AEM和EFN中，AEMEFN(AAS)，AEE
7、F.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE.又DEDE，ADECDE(SAS)，AECE，CEEF.(2)解：在RtBCD中，由勾股定理得BD10.0x5.由题意得BE2x，BNENx.由(1)知AEEFEC.分两种情况：当0x时，如图1，ABMN10，MEFN10x，BFFNBN10xx102x，yBFEN(102x)x2x25x.当x5时，如图2，过E作ENBC于N.ENBNx，FNCN10x，BFBC2CN102(10x)2x10，yBFEN(2x10)x2x25x.综上，y与x之间关系的函数解析式为y图2(3)解：当0x时，y2x25x2(x)2.20，当x时，y有最大值是.当
8、x5时，y2x25x2(x)2.20，当x时，y随x的增大而增大，当x5时，y有最大值是50.综上，BEF面积的最大值是50.4(1)证明：四边形ABCD是矩形，B90，ADBC，5，AEBDAF.在ABE和AFD中，ABEDFA.(2)解：如图1，连结DE交CF于点H.ABEDFA，DFABCD4，AFBE3，EFCE2，DECF，DCHHDCDECHDC90，DCHDEC.在RtDCE中，CD4，CE2，DE2，sin DCFsin DEC.(3)解：如图2，过点C作CKAE交AE的延长线于点K.CKDF，.在RtCEK中，EKCEcosCEKCEcosAEB2.FKFEEK，.5(1)证
9、明：由旋转得EDF90，EDDF.四边形ABCD是正方形，ADC90，ADCD，ADCEDF，即ADEEDCEDCCDF，ADECDF.在ADE和CDF中，ADECDF(SAS)，AECF.(2)解：如图1，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P.O是BC的中点，且ABBC2，又A，E，O三点共线，OB.由勾股定理得AO5.OE2，AE523.由(1)知，ADECDF，DAEDCF，CFAE3.BADDCP，OABPCF.ABOP90，ABOCPF，2，CP2PF.设PFx，则CP2x，由勾股定理得32x2(2x)2，x或(舍去)，FP，OP.由勾股定理得OF.(3)解：如图2，由于OE2，所以
10、E点可以看作在以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得APOC，连结PE，AECF，PAEOCF，PAEOCF，PEOF，当PE最小时，为O，E，P三点共线，OP5，PEOFOPOE52，OF长的最小值是52.6(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADEBFE，AFBE.点E是AB的中点，AEBE.在ADE和BFE中，ADEBFE.(2)解：如图，作BNHC交EF于N.ADEBFE，BFADBC，BNHC.由(1)的方法可知，AEKBEN，AKBN，HC2AK.如图，作GMDF交HC于M.点G是边BC的中点，CGCF.GMDF，CMGCHF，.ADFC，AHDGHF，.AKHC，GMDF，AHKHGM，即HD4HK，n4.