1、专题四几何变换综合题类型一 图形的旋转变换 (5年3考) (2019德州中考)(1)如图1，菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且BAD60，请直接写出HDGCEB的结果(不必写计算过程)；(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HDGCEB；(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且ADABAHAE12，此时HDGCEB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程)；若无变化，请说明理由【分析】(1)连接AG，由菱形AEGH的顶点E，H在菱形ABCD的边上，且BAD60，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交
2、DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；(2)连接AG，AC，由ADC和AHG都是等腰三角形，易证DAHCAG与DAHBAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；(3)连接AG，AC，易证ADCAHG和ADHABE，利用相似三角形的性质可得结论【自主解答】1(2019德城区一模)阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即如图1，若PAPB，则点P在线段AB的垂直平分线上请根据阅读材料，解决下列问题：如图2，直线CD是等边ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点(
3、点E不与点C，D重合)，连接AE，BE，ABE经顺时针旋转后与CBF重合(1)旋转中心是点_，旋转了_度；(2)当点E从点D向点C移动时，连接AF，设AF与CD交于点P，在图2中将图形补全，并探究APC的大小是否保持不变？若不变，请求出APC的度数；若改变，请说出变化情况2(2019齐河二模)如图，在矩形ABCD中，ACB30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F.(1)当PEAB，PFBC时，如图1，则的值为_；(2)现将三角板绕点P逆时针旋转(060)角，如图2，求的
4、值；(3)在(2)的基础上继续旋转，当6090，且使APPC12时，如图3，的值是否变化？证明你的结论类型二 图形的翻折变换 (5年1考) (2017德州中考)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB3 cm，AD5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EFAB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离【分析】(1)由折叠的性质得出PBPE，BFEF，BPFEPF，由平行线的性质得出BP
5、FEFP，证出EPFEFP，得出EPEF，因此BPBFEFEP，即可得出结论；(2)由矩形的性质得出BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90，由对称的性质得出CEBC5 cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE4 cm，得出AEADDE1 cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP cm即可；当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由知，此时AE1 cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AEAB3 cm，即可得出答案【自主解答】3(2019乐陵模拟)如图1，在ABCD中，DHAB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB6，DH4，B
6、FFA15.(1)如图2，作FGAD于点G，交DH于点M，将DGM沿DC方向平移，得到CGM，连接MB.求四边形BHMM的面积；直线EF上有一动点N，求DNM周长的最小值；(2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QKAB，过CD边上的动点P作PKEF，并与QK交于点K，将PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K恰好落在直线AB上，求线段CP的长类型三 图形的相似变换 (5年0考) 【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点
7、G，H.求证：；【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上若，则的值为_；【联系拓展】(3)如图3，四边形ABCD中，ABC90，ABAD10，BCCD5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值【分析】(1)过点A作APEF，交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q，易证APEF，GHBQ，PDAQAB，然后运用相似三角形的性质就可以解决问题；(2)只需运用(1)中的结论，就可得到，就可以解决问题；(3)过D作AB的平行线，交BC的延长线于点E，作AFAB交直线DE于点F，易证得四边形ABEF是矩形，通过等量代换得到ADFDCE，根据相
8、似三角形的性质，得出线段DE，AF，DC，AD之间的关系，再通过设未知数及勾股定理求出AF，最后根据(1)中的结论，即可解决问题【自主解答】4已知在RtABC中，BAC90，ABAC，D，E分别为AC，BC边上的点(不包括端点)，且m，连接AE，过点D作DMAE，垂足为点M，延长DM交AB于点F.(1)如图1，过点E作EHAB于点H，连接DH.求证：四边形DHEC是平行四边形；若m，求证：AEDF；(2)如图2，若m，求的值参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)HDGCEB11.(2)如图，连接AG，AC，BD，AC，BD交于点O.四边形ABCD和四边形AEGH都是菱形，ADAB，AH
9、AE，DABHAE60，DAHHABBAEHAB，DAHBAE.在DAH和BAE中，DAHBAE，HDEB.四边形ABCD是菱形，DAB60，DAC30，ACBD，BD2OD，AC2OA，在RtAOD中，tanDAOtan 30，BDAC1.又DAB60，ADAB，ABD是等边三角形，ADBD，ADAC1.同理可得，AHAG1，ADACAHAG.又DACHAG，即DAHHACCAGHAC，DAHCAG，DAHCAG，HDGC1.又HDEB，HDGCEB11.(3)有变化HDGCEB12.跟踪训练1解：(1)B60(2)补全图形如图所示：结论：APC的大小保持不变理由如下：如图，设AF与BC交于
10、点Q.直线CD是等边ABC的对称轴，AEBE，DCBACDACB30.ABE经顺时针旋转后与CBF重合，BEBF，AECF，BFCF，点F在线段BC的垂直平分线上ACAB，点A在线段BC的垂直平分线上，AF垂直平分BC，即CQP90，CPAPCBCQP120.2解：(1)(2)如图，过点P作PQBC于点Q，PMAB于点M.四边形ABCD为矩形，ABC90，MPQ90.EPF90，122390，13.PMEPQF90，PMEPQF，.MPBC，ACB30，APM30，tanAPM，MPAM.APBP，PMAB，AMMBPQ，.(3)变化证明：如图，过点P作PNBC于点N，作PHAB于点H.四边形
11、ABCD为矩形，ABC90，HPN90.EPF90，122390，13.PHEPNF90，PHEPNF，.PHBC，APHPCN30，AHPPNC.APPC12，.APH30，tanAPH，PHAH.AHPN，PHPN，.类型二【例2】 (1)折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，点B与点E关于PQ对称，PBPE，BFEF，BPFEPF.又EFAB，BPFEFP，EPF EFP，EPEF，BPBFFEEP，四边形BFEP为菱形(2)如图1，图1四边形ABCD为矩形，BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90.点B与点E关于PQ对称，CEBC5 cm.在RtCDE中，DE2CE2CD2
12、，即DE25232，DE4 cm，AEADDE541(cm)在RtAPE中，AE1，AP3PB3PE，EP212(3EP)2，解得EP cm，菱形BFEP的边长为 cm.当点Q与点C重合时，如图1，点E离A点最近，由知，此时AE1 cm.当点P与点A重合时，如图2，点E离A点最远，此时四边形ABQE为正方形，图2AEAB3 cm，点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.跟踪训练3解：(1)在ABCD中，AB6，直线EF垂直平分CD，DEFH3.又BFFA15，BF1，FA5，AH2.RtAHDRtMHF，HM.根据平移的性质得MMCD6，如图，连接BM.S四边形BHMMSBMMSBHM64.如
13、图，连接CM交直线EF于点N，连接DN.直线EF垂直平分CD，CNDN.MH，DM.在RtCDM中，MC2DC2DM2，MC262()2，即MC.MNDNMNCNMC时，DNM的周长最小，DNM周长的最小值为9.(2)BFCE，QF2，PKPK6.如图，过点K作EFEF，分别交CD于点E，交QK于点F.当点P在线段CE上时，在RtPKE中，PE2PK2EK2，PE2.RtPEKRtKFQ，QF，PEPEEE2，CP.同理可得，如图，当点P在线段ED上时，CP.综上所述，CP的长为或.类型三【例3】 (1)如图，过点A作APEF，交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q，交AP于点T.四边形
14、ABCD是矩形，ABDC，ADBC，四边形AEFP和四边形BHGQ都是平行四边形，APEF，GHBQ.GHEF，APBQ，QATAQT90.四边形ABCD是矩形，DABD90，DAPDPA90，AQTDPA，PDAQAB，.(2).提示：EFGH，AMBN，由(1)结论可得，.(3)如图，过D作AB的平行线，交BC的延长线于E，作AFAB交ED延长线于点F.BAFBE90，四边形ABEF是矩形连接AC，由已知条件得ADCABC，ADCABC90，1290.又2390，13，ADFDCE，.设DEx，则AF2x，DF10x.在RtADF中，AF2DF2AD2，即(2x)2(10x)2100，解得
15、x14，x20(舍去)，AF2x8，.跟踪训练4(1)证明：EHAB，BAC90，EHCA，BHEBAC，.，HEDC.EHDC，四边形DHEC是平行四边形证明：，BAC90，ACAB.，HEDC，.BHE90，BHHE.HEDC，BHCD，AHAD.DMAE，EHAB，EHAAMF90，HAEHEAHAEAFM90，HEAAFD.EHAFAD90，HEAAFD，AEDF.(2)解：如图，过点E作EGAB于点G.CAAB，EGCA，EGBCAB，.，EGCD.设EGCD3x，AC3y，BE5x，BC5y，BG4x，AB4y.EGAAMF90，GEAEAGEAGAFM，AFMAEG.FADEGA90，FADEGA，.