1、第6讲一元二次方程(参考用时:45分钟)A层(基础)1.一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是(B)(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)只有一个实数根(D)没有实数根解析:a=2,b=-5,c=-2,=b2-4ac=(-5)2-42(-2)=25+16=410,一元二次方程2x2-5x-2=0有两个不相等的实数根.故选B.2.(2019兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b等于(A)(A)-2 (B)-3 (C)-1 (D)-6解析:把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,a+2b=-1,2a+4b=2(a+2b)=2
2、(-1)=-2.故选A.3.(2019安阳一模)已知关于x的一元二次方程x2-x-a+34=0有两个不相等的实数根,则满足条件的最小整数a的值为(D)(A)-1 (B)0 (C)2 (D)1解析:由题意可知0,1-4(-a+34)0,解得a12,故满足条件的最小整数a的值是1,故选D.4.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,若设道路的宽为 x m,则下面所列方程正确的是(A)(A)(32-2x)(20-x)=570(B)3x+220x=3220-570(C)(32-x)(20-x)=3220-570
3、(D)32x+220x-2x2=570解析:将两条纵向的道路向左平移,水平方向的道路向下平移,即可得草坪的长为(32-2x)m,宽为(20-x)m,根据草坪面积为长与宽的乘积,即可列出方程(32-2x)(20-x)=570.故选A.5.(2019内江三模)关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是(B)(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)2解析:依题意得0,即(3a+1)2-8a(a+1)0,化简得a2-2a+10,(a-1)20,a1.x1-x1x2+x2=1-a,x1+x2-x1x2=1-a,且x1
4、+x2=3a+1a,x1x2=2a+2a,3a+1a-2a+2a=1-a,解得a=1,又a1,a=-1.故选B.6.(2019天水)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20 000元,到2018年人均年收入达到39 200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为40%.(用百分数表示)解析:设该地区居民年人均收入平均增长率为x,根据题意,得20 000(1+x)2=39 200,解得,x1=0.4,x2=-2.4(舍去),该地区居民年人均收入平均增长率为40%.7.(2019泸州)已知x1,x2是一元二次方程x2-x-4=0的两实根,则(x1+4
5、)(x2+4)的值是16.解析:x1,x2是一元二次方程x2-x-4=0的两实根,x1+x2=1,x1x2=-4,(x1+4)(x2+4)=x1x2+4x1+4x2+16=x1x2+4(x1+x2)+16=-4+41+16=-4+4+16=16.8.(2019连云港)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1a+c的值等于2.解析:根据题意,得=4-4a(2-c)=0,整理得4ac-8a=-4,4a(c-2)=-4,方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,a0,等式两边同时除以4a,得c-2=-1a,即1a+c=2.9.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是
6、方程x2-6x+8=0的解,则此三角形的周长是13.解析:解x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4.根据三角形三边关系,x1+36,2不能为三角形的第三边,x2=4为三角形的第三边,此三角形的周长为3+4+6=13.10.(2019成都)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且x12+x22-x1x2=13,则k的值为-2.解析:方程有两个实数根,=b2-4ac0,即22-4(k-1)0,解得k2.由根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1x2=k-1,x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=4-3(k-1)=13,解得k=-2.经检验,k=
7、-2满足条件.11.(2019南充)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-3=0有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)当m=2时,方程的根为x1,x2,求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.解:(1)=(2m-1)2-4(m2-3)=-4m+13,由题意得0,-4m+130,解得m134.(2)当m=2时,方程为x2+3x+1=0,x1+x2=-3,x1x2=1,方程的根为x1,x2,x12+3x1+1=0,x22+3x2+1=0,(x12+2x1)(x22+4x2+2)=(x12+3x1-x1)(x22+3x2+x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)=
8、(-1-x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2=3-2=1.12.某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少 10个;定价每减少 1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2 000元,则应进货多少个?定价为多少元?解:设每个商品的定价是x元,根据题意,得(x-40)180-10(x-52)=2 000.解这个方程,得x1=50,x2=60.当x=50时,进货180-10(x-52)=200,不符合题意,舍去.当x=60时,进货180-10(x-
9、52)=100,符合题意.答:该商店应进货100个,定价为60元/个.B层(能力)13.已知,m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn1,则mn+n+1n的值为3.解析:由n2+2n-1=0可知n0,1+2n-1n2=0,1n2-2n-1=0,又m2-2m-1=0,且mn1,即m1n.m,1n是方程x2-2x-1=0的两根,m+1n=2,mn+n+1n=m+1+1n=2+1=3.14.(1)根据要求,解答下列问题.方程x2-2x+1=0的解为;方程x2-3x+2=0的解为;方程x2-4x+3=0的解为;(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:方程x2-9x+8=0的解为;关于x的方程的
10、解为x1=1,x2=n.(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.解:(1)x1=1,x2=1.x1=1,x2=2.x1=1,x2=3.(2)x1=1,x2=8.x2-(1+n)x+n=0.(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,x2-9x+814=-8+814,(x-92)2=494,x-92=72.x1=1,x2=8.15.(2019乐山)已知关于x的一元二次方程x2-(k+4)x+4k=0.(1)求证:无论k为任何实数,此方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,满足1x1+1x2=34,求k的值;(3)若RtABC的斜边为5,另外两条边的长恰
11、好是方程的两个根x1,x2,求RtABC的内切圆半径.(1)证明:=(k+4)2-16k=k2-8k+16=(k-4)20,无论k为任何实数,此方程总有两个实数根.(2)解:由题意得x1+x2=k+4,x1x2=4k,1x1+1x2=34,x1+x2x1x2=34,即k+44k=34,解得k=2.(3)解:解方程x2-(k+4)x+4k=0,得x1=4,x2=k,根据题意,得42+k2=52,解得k=3,设直角三角形ABC的内切圆半径为r,如图,由切线长定理可得(3-r)+(4-r)=5,直角三角形ABC的内切圆半径r=3+4-52=1.16.阅读探索:“任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形
12、B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?”(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:设所求矩形的两边长分别是x和y,由题意得方程组x+y=72,xy=3,消去y化简得2x2-7x+6=0,=49-48=1,x=714,x1=,x2=,满足要求的矩形B存在;(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1,请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B;(3)如果矩形A的边长为m和n,请你研究满足什么条件时,矩形B存在?解:(1)由题可知x1=2,x2=32.(2)设所求矩形的两边长分别是x和y,由题意得x+y=32,xy=1.消去y化简得2x2-3x+2=0.=9-160,不存在满足要求的矩形B.(3)设所求矩形的两边长分别是x和y,由题意得x+y=m+n2,xy=mn2.消去y化简得2x2-(m+n)x+mn=0,=(m+n)2-8mn0,即(m+n)2-8mn0时,满足要求的矩形B存在.