1、第13讲二次函数(二)(参考用时:60分钟)A层(基础)1.(2019济宁)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线表达式是(D)(A)y=(x-4)2-6(B)y=(x-1)2-3(C)y=(x-2)2-2(D)y=(x-4)2-2解析:y=x2-6x+5=(x-3)2-4,即抛物线的顶点坐标为(3,-4),把点(3,-4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),平移后得到的抛物线表达式为y=(x-4)2-2.故选D.2.已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是(A)(A)m5(B)
2、m2(C)m2解析:二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,=(-1)2-41(14m-1)0,解得m5.故选A.3.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点(B)(A)(-3,-6)(B)(-3,0)(C)(-3,-5)(D)(-3,-1)解析:某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,该定弦抛物线过点(0,0),(2,0).4+2a+b=0,-a2=1.解得a=-2,b=0.y=x2-2x=(x-1)2-1.将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3
3、个单位,得到新抛物线的表达式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.当x=-3时,y=(-3+1)2-4=0,得到的新抛物线过点(-3,0).故选B.4.(2019泸州)已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是(D)(A)a-1(C)-1a2(D)-1a2解析:y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,抛物线与x轴没有公共点,=(-2a)2-4(a2-3a+6)0,解得a2,抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a,抛物线开口向上,且当x-1时,y
4、随x的增大而减小,a-1,实数a的取值范围是-1a2.故选D.5.(2019广安)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线 x=1,下列结论:abc0;b0时,-1x3.其中正确的结论有(D)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:对称轴位于y轴的右侧,则a,b异号,即ab0,abc0,故正确;抛物线开口向下,a0.抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,b=-2a.x=-1时,y=0,a-b+c=0,而b=-2a,c=-3a,b-c=-2a+3a=a0,即b0时,-1x0)个单位后,表达式为y=(x-3+a)2-2,平移后经过点A(2,2
5、),则2=(2-3+a)2-2,解得a=3或a=-1(不合题意,舍去),故将抛物线y=(x-3)2-2向左平移3个单位后经过点A(2,2).7.(2019凉山)当0x3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是-3a1.解析:法一直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则有a=(x-1)2-3,整理得x2-2x-2-a=0,=b2-4ac=4+4(2+a)0,解得a-3,0x3,对称轴为直线x=1,当x=3时,y最大=(3-1)2-3=1,a1,即-3a1.法二由题意可知,抛物线的顶点为(1,-3),而0x3,抛物线y的取值为-3y1,y=a,则直线y与x轴平行,
6、要使直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,抛物线y的取值为-3y1即为a的取值范围,-3a1.8.(2019乐山市市中区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:3a+b0;-1a-23;对于任意实数m,a+bam2+bm总成立;关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中正确结论为.(只填序号)解析:抛物线开口向下,a0,而抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,即b=-2a,3a+b=3a-2a=a0,x=1+7或x=2,C(1+7,3)或(2,-3).10
7、.(2019潍坊)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当PAB的周长最小时,SPAB=125.解析:解方程组y=x+1,y=x2-4x+5,得x=1,y=2或x=4,y=5,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),作点A关于y轴的对称点A,连结AB与y轴交于点P,则此时PAB的周长最小,设直线AB的函数表达式为y=kx+b,代入点A(-1,2),点B(4,5),得-k+b=2,4k+b=5,解得k=35,b=135,直线AB的函数表达式为y=35x+135,当x=0时,y=135,即点P的坐标为(0,135),SPAB=122(5-2)
8、-122(135-2)=125.11.(2019泸州节选)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),C(0,-6),其对称轴为直线x=2.(1)求该二次函数的表达式;(2)若直线y=-13x+m将AOC的面积分成相等的两部分,求m的值.解:(1)二次函数的图象过点A(-2,0),C(0,-6),且对称轴为直线x=2,4a-2b+c=0,c=-6,-b2a=2,解得a=12,b=-2,c=-6,故二次函数的表达式为y=12x2-2x-6.(2)设直线AC的表达式为y=kx+b,把C(0,-6),A(-2,0)代入,得b=-6,-2k+b=0,解得
9、k=-3,b=-6.直线AC的表达式为y=-3x-6.联立y=-3x-6,y=-13x+m,解得x=-38(m+6),直线y=-13x+m与y轴的交点为(0,m),SAOC=1226=6,由题意得1238(m+6)(m+6)=3,解得m1=-2,m2=-10(舍去),m=-2.12.(2019天水)天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元
10、)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(10,30),(16,24)代入,得10k+b=30,16k+b=24,解得k=-1,b=40,y与x的函数关系式为y=-x+40(10x16).(2)根据题意知,W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,a=-10,当x25时,W随x的增大而增大,10x16,当x=16时,W取得最大值,最大值为144.答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.B层(能力)13.
11、(2019达州)如图,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B,抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;若点M(-2,y1),点N(12,y2),点P(2,y3)在该函数图象上,则y1y2y3;将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线表达式为y=-(x+1)2+m;点A关于直线x=1的对称点为C,点D,E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为34+2.其中正确判断的序号是.解析:把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中,得x2-2x+1=0,=4-4=0,此方程有两个相等的实
12、数根,则抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,故正确;抛物线的对称轴为x=1,点P(2,y3)关于x=1的对称点为P(0,y3),a=-10,当x1时,y随x增大而增大,又-2012,y1y3y2,故错误;将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,抛物线的表达式为y=-(x+2)2+2(x+2)+m+1-2,即y=-(x+1)2+m,故正确;当m=1时,抛物线的表达式为y=-x2+2x+2,A(0,2),C(2,2),B(1,3),作点B关于y轴的对称点 B(-1,3),作C点关于x轴的对称点C(2,-2),连结 BC,与x轴、y轴分别交于D,E点,如图,则BE
13、+ED+CD+BC=BE+ED+CD+BC=BC+BC,根据两点之间线段最短,知BC最短,而BC的长度一定,此时,四边形BCDE周长的最小值为BC+BC=BM2+CM2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2,故正确.正确的结论为.14.如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADMN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.解:(1)设AD=x米,则AB=100-x2米,根据题意,得x(100-x)2
14、=450,解得x1=10,x2=90,a=20,xa,x2=90不合题意,舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD=x米,则0xa,S=12x(100-x)=-12(x-50)2+1 250.当a50时,则x=50时,S的最大值为1 250;当0a50时,则当0xa时,S随x的增大而增大,当x=a时,S的最大值为50a-12a2.综上所述,当a50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是1 250平方米;当0a50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是(50a-12a2)平方米.15.(2019武威节选)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于 A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点
15、C,连结AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式;(2)过点P作PMx轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)将A(-3,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4,得9a-3b+4=0,16a+4b+4=0,解得a=-13,b=13,则抛物线的表达式为y=-13x2+13x+4.(2)存在.由题意知,点C的坐标为(0,4),设直线BC的表达式为y=kx+4,把B(4,0)代入,得k=-1,直线BC的表
16、达式为y=-x+4,设Q(m,-m+4)(0m4),当CQ=AC时,过点Q作QECO,垂足为E,CQ2=EQ2+CE2=m2+(4+m-4)2,AC2=OA2+OC2=32+42=52,m2+(4+m-4)2=52,解得m=522或m=-522(舍去),此时点Q的坐标为(522,8-522);当AQ=AC时,AQ2=AM2+QM2=(m+3)2+(-m+4)2,AC2=52,(m+3)2+(-m+4)2=52,解得m=1或m=0(舍去),此时点Q的坐标为(1,3);当AQ=CQ时,即AQ2=CQ2,有(m+3)2+(-m+4)2=m2+(4+m-4)2,解得m=252(舍去).综上可得,点Q的坐标为(1,3)或(522,8-522).