1、第18讲解直角三角形(参考用时:45分钟)A层(基础)1.(2019广州)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是BAC,若tanBAC=25,则此斜坡的水平距离AC为(A)(A)75 m (B)50 m (C)30 m (D)12 m解析:BCA=90,tanBAC=25,BC=30 m,tanBAC=25=BCAC=30AC,解得AC=75 m.故选A.2.在ABC中,若|sin A-32|+(1-tan B)2=0,则C的度数是(C)(A)45 (B)60 (C)75 (D)105解析:|sin A-32|+(1-tan B)2=0,sin A-32=0,1-
2、tan B=0,sin A=32,tan B=1.A=60,B=45.C=180-60-45=75.故选C.3.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O的圆心O在格点上,则BED的正切值等于(D)(A)255 (B)55 (C)2 (D)12解析:如图,在RtABC中,AB=2,BC=1,tanBAC=BCAB=12.BED=BAC,tanBED=12.故选D.4.(2019凉山)如图,在ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为(D)(A)102(B)153(C)64(D)104解析:过点A作ADBC,垂足为D,如图所示.在RtACD中,CD=CAcos C=1
3、,AD=AC2-CD2=15.在RtABD中,BD=CB-CD=3,AD=15,AB=BD2+AD2=26,sin B=ADAB=104.故选D.5.(2019长沙)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向,距离灯塔60海里的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是(D)(A)303海里 (B)60海里(C)120海里 (D)(30+303)海里解析:过C作CDAB于D点,ACD=30,BCD=45,AC=60.在RtACD中,cosACD=CDAC,CD=ACcosACD=6032=303.在RtDCB中,BCD=B=45,C
4、D=BD=303,AB=AD+BD=(30+303)海里.故选D.6.已知为锐角,且满足3tan (+10)=1,则为20度.解析:3tan (+10)=1,tan (+10)=33,+10=30,=20.7.(2019柳州)如图,在ABC中,sin B=13,tan C=22,AB=3,则AC的长为3.解析:过点A作ADBC,在RtABD中,sin B=13,AB=3,AD=ABsin B=1,在RtACD中,tan C=22,ADCD=22,即CD=2,根据勾股定理,得AC=AD2+CD2=1+2=3.8.如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=
5、8米,MAD=45,MBC=30,则警示牌的高CD为2.9米(结果精确到 0.1 米,参考数据:21.41,31.73).解析:由题意可得AM=4米,MAD=45,DM=4 米,AM=4米,AB=8米,MB=12米,MBC=30,BC=2MC,MC2+MB2=(2MC)2,MC2+122=(2MC)2,MC=43米,则DC=43-42.9(米).9.(2019孝感)如图,在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60,点C的仰角为45,点P到建筑物的距离为PD=20米,则BC=(203-20)米.解析:在RtPBD中,tanBPD=BDPD,则BD=PDtanBPD=203,在RtPC
6、D中,CPD=45,CD=PD=20,BC=BD-CD=(203-20)米.10.(2019泸州)如图,海中有两个小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上,且相距202 n mile,该渔船自西向东航行一段时间到达点B处,此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上,且相距 50 n mile,又测得点B与小岛D相距 205 n mile.(1)求sinABD的值;(2)求小岛C,D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).解:(1)过点D作DEAB于E,在RtAED中,AD=202,DAE=45,DE=202sin 45=20,在RtBED中,BD=205,sinABD=EDBD=20
7、205=55.(2)过D作DFBC于F,在RtBED中,DE=20,BD=205,BE=BD2-DE2=40,四边形BFDE是矩形,DF=EB=40,BF=DE=20,CF=BC-BF=30,在RtCDF中,CD=DF2+CF2=402+302=50,小岛C,D之间的距离为50 n mile.B层(能力)11.如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,DC=BC.在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角AEF为27(点A,B,C,D,E在同一平面内)
8、.斜坡CD的坡度(或坡比)i=12.4,那么建筑物AB的高度约为(B)(参考数据sin 270.45,cos 270.89,tan 270.51)(A)65.8米(B)71.8米(C)73.8米(D)119.8米解析:过点E作EMAB于点M,延长ED交BC于G,斜坡CD的坡度(或坡比)i=12.4,BC=CD=52米,设DG=x,则CG=2.4x.在RtCDG中,DG2+CG2=DC2,即x2+(2.4x)2=522,解得x=20,DG=20米,CG=48米,EG=20+0.8=20.8(米),BG=52+48=100(米).EMAB,ABBG,EGBG,四边形EGBM是矩形,EM=BG=10
9、0米,BM=EG=20.8米.在RtAEM中,AEM=27,AM=EMtan 271000.51=51(米),AB=AM+BM=51+20.8=71.8(米).故选B.12.(2019自贡)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,如图所示,则cos(+)=217.解析:连结DE,如图所示.在ABC中,ABC=120,BA=BC,=30.同理,可得出CDE=CED=30=.又AEC=60,AED=AEC+CED=90.设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=2sin 60a=3a,AD=AE2+DE2=7a,cos(+)=DEAD=217.13.(2019乐山市市中区模拟)如图,B
10、地在A地的北偏东56方向上,C地在B地的北偏西19方向上,原来从A地到C地的路线为ABC,现在沿A地北偏东26方向新修了一条直达C地的公路,路程比原来少了20千米.求从A地直达C地的路程(结果保留整数.参考数据:21.4,31.7).解:如图,过点B作BDAC,垂足为D,设BD=x,在RtABD中,BAD=56-26=30,AB=BDsin30=2x,AD=BDtan30=3x,在RtBCD中,C=26+19=45,BC=BDsin45=2x,CD=BDtan45=x,AC=3x+x,由题意得AB+BC-AC=20,2x+2x-(3x+x)=20,解得x=202-3+128.6,AC2.728
11、.6=77.2277(千米).从A地直达C地的路程约为77千米.14.为加快城乡对接,建设全城美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,A=45,B=30.(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:21.41,31.73)解:(1)如图,过点C作AB的垂线CD,垂足为D,ABCD,sin 30=CDBC,BC=80千米,CD=BCsin 30=8012=40(千米),AC=CDsin45=4022=402(千米),AC+BC=80+40280+401.41=136.4(千米),答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米.(2)cos 30=BDBC,BC=80千米,BD=BCcos 30=8032=403千米,tan 45=CDAD,CD=40(千米),AD=CDtan45=40(千米),AB=AD+BD=40+40340+401.73=109.2(千米),汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.