1、模块六圆第21讲圆的有关概念及性质(参考用时:45分钟)A层(基础)1.下列说法正确的是(B)(A)平分弦的直径垂直于弦(B)半圆(或直径)所对的圆周角是直角(C)相等的圆心角所对的弧相等(D)任意三个点可以确定一个圆解析:选项A应为平分不是直径的弦的直径垂直于弦;选项C需在同圆或等圆中;选项D应为不在同一条直线上的三点可以确定一个圆.故选B.2.如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD,垂足为E,连结CO,AD,BAD=20,则下列说法中正确的是(D)(A)AD=2OB(B)CE=EO(C)OCE=40(D)BOC=2BAD解析:ABCD,BC=BD,CE=DE,BOC=2BAD=40,
2、OCE=90-40=50.故选D.3.(2019成都)如图,正五边形ABCDE内接于O,P为DE上的一点(点P不与点D重合),则CPD的度数为(B)(A)30(B)36(C)60(D)72解析:如图,连结OC,OD.五边形ABCDE是正五边形,COD=3605=72,CPD=12COD=36.故选B.4.(2019天水)如图,四边形ABCD是菱形,O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若D=80,则EAC的度数为(C)(A)20(B)25(C)30(D)35解析:四边形ABCD是菱形,D=80,ACB=12DCB=12(180-D)=50,四边形AECD是圆内接四边形,AEB=
3、D=80,EAC=AEB-ACE=30.故选C.5.(2019自贡)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(C)(A)45(B)34(C)23(D)12解析:如图,连结AC,设正方形的边长为a,四边形ABCD是正方形,B=90,AC为圆的直径,AC=2AB=2a,则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为a2(22a)2=223.故选C.6.(2019凉山)如图所示,AB是O的直径,弦CDAB于H,A=30,CD=23,则O的半径是2.解析:连结BC,如图所示.
4、AB是O的直径,弦CDAB于H,ACB=90,CH=DH=12CD=3,A=30,AC=2CH=23,在RtABC中,A=30,AC=3BC=23,AB=2BC,BC=2,AB=4,OA=2,即O的半径是2.7.如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-1,-2).解析:根据垂径定理,借助网格,找到两条弦AC,AB的垂直平分线的交点,即为圆心,其坐标为(-1,-2).8.(2019株洲)如图所示,AB为O的直径,点C在O上,且OCAB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E
5、,满足AEC=65,连结AD,则BAD=20度.解析:连结OD,如图.OCAB,COE=90,AEC=65,OCE=90-65=25,OC=OD,ODC=OCE=25,BOD=OEC-ODC=40,BAD=12BOD=20.9.已知O的半径为10 cm,AB,CD是O的两条弦,ABCD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.解析:当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,过点O作OEAB于点E,延长OE交CD于点F.ABCD,OFCD.AE=12AB=1216=8,CF=12CD=1212=6.OA=OC=10,在RtAEO,RtCFO中,由勾股定理,得OE=O
6、A2-AE2=102-82=6,OF=OC2-CF2=102-62=8,EF=OF-OE=8-6=2(cm);当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,由知,OE=6 cm,OF=8 cm,EF=OF+OE=8+6=14(cm).综合上述,AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.10.(2019嘉兴)如图,在O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CDOC交O于点D,则CD的最大值为12.解析:连结OD,如图,CDOC,DCO=90,CD=OD2-OC2=r2-OC2,当OC的值最小时,CD的值最大,而OCAB时,OC最小,此时OC=r2-(12AB)2,CD的最大值为r2-(r2
7、-14AB2)=12AB=121=12.11.如图,AB是O的直径,C,D两点在O上,若C=45,(1)求ABD的度数;(2)若CDB=30,BC=3,求O的半径.解:(1)AB是O的直径,ADB=90.A=C=45,ABD=90-A=90-45=45.(2)如图,连结AC,AB是O的直径,ACB=90.CAB=CDB=30,BC=3,AB=6.OA=12AB=126=3,O的半径为3.12.已知O的直径为10,点A,点B,点C在O上,CAB的平分线交O于点D.(1)如图,若BC为O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;(2)如图,若CAB=60,求BD的长.解:(1)如题图,BC是O的直
8、径,CAB=BDC=90.在直角CAB中,BC=10,AB=6,由勾股定理得AC=BC2-AB2=102-62=8.AD平分CAB,CD=BD,CD=BD.在直角BDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2,BD=CD=52.(2)如图所示,连结OB,OD.AD平分CAB,且CAB=60,DAB=12CAB=30,DOB=2DAB=60.又OB=OD,OBD是等边三角形,BD=OB=OD.O的直径为10,则OB=5,BD=5.B层(能力)13.在半径为1的O中,弦AB,AC的长分别为1和2,则BAC的度数为15或105.解析:过点O分别作ODAB,OEAC,垂足分别是点D,E.OEAC,ODA
9、B,AE=12AC=22,AD=12AB=12,sinAOE=AEAO=22,sinAOD=ADAO=12,AOE=45,AOD=30,BAO=60,CAO=90-45=45,BAC=45+60=105或BAC=60-45=15.BAC=15或105.14.(2019绵阳)如图,AB是O的直径,点C为BD的中点,CF为O的弦,且CFAB,垂足为点E,连结BD交CF于点G,连结CD,AD,BF.(1)求证:BFGCDG;(2)若AD=BE=2,求BF的长.(1)证明:点C是BD的中点,CD=BC,AB是O的直径,且CFAB,BC=BF,CD=BF,CD=BF,在BFG和CDG中,F=CDG,FG
10、B=DGC,BF=CD,BFGCDG(A.A.S.).(2)解:法一如图,连结OF,设O的半径为r,RtADB中,BD2=AB2-AD2,即BD2=(2r)2-22,RtOEF中,OF2=OE2+EF2,即EF2=r2-(r-2)2,CD=BC=BF,BD=CF,BD=CF,BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,即(2r)2-22=4r2-(r-2)2,解得r=1(舍去)或r=3,BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12,BF=23.法二如图,连结OC,交BD于H,C是BD的中点,OCBD,DH=BH,OA=OB,ADB=90,OH=12AD=1,OC=OB,COE=BOH,O
11、HB=OEC=90,COEBOH(A.A.S.),OH=OE=1,OB=OC=1+2=3,CE=EF=32-12=22,BF=BE2+EF2=22+(22)2=23.15.(2019内江市资中县一模)如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径COAO,点M是AB上的动点,且不与点A,C,B重合,直线AM交直线OC于点D,连结OM与CM.(1)若半圆的半径为10.当AOM=60时,求DM的长;当AM=12时,求DM的长.(2)探究:在点M运动的过程中,DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解:(1)当AOM=60时,OM=OA,AMO是等边三角形,A=MOA=60,MOD=30,D=30,DM=OM=10.过点M作MFOA于点F,设AF=x,OF=10-x,AM=12,OA=OM=10,由勾股定理可得122-x2=102-(10-x)2,解得x=365,AF=365,MFOD,AMFADO,AMAD=AFOA,即12AD=36510,AD=503,DM=AD-AM=143.(2)DMC的大小为定值45.当点M位于AC上时,连结BC,C是AB的中点,B=45,四边形AMCB是圆内接四边形,CMD=B=45;当点M位于BC上时,连结BC,由圆周角定理可知CMD=B=45.综上所述,在点M运动的过程中,DMC的大小为45,为定值.