1、第17讲等腰三角形与直角三角形(参考用时:60分钟)A层(基础)1.(2019益阳)已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连结AC,BC,则ABC一定是(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形解析:如图所示,由作图可得,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,AC2+BC2=AB2,ABC是直角三角形,且ACB=90.故选B.2.(2019德州)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC=40,则ADC的度数是(B)(A)130(
2、B)140(C)150(D)160解析:法一连结OA,OD,则OB=OA=OD=OC,B=BAO=40,OAD=ODA,ODC=C,AOC=B+BAO=80,ADC=ADO+CDO=12(180-AOD)+12(180-COD)=12(360-AOC)=12(360-80)=140.法二点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,OA=OB=OC=OD,点A,B,C,D在以O为圆心,OB为半径的圆上,如图所示,ABC+ADC=180,ABC=40,ADC=140.故选B.3.(2019湖州)如图,已知在四边形ABCD中,BCD=90,BD平分ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边
3、形ABCD的面积是(B)(A)24 (B)30 (C)36 (D)42解析:过D作DHAB交BA的延长线于H,BD平分ABC,BCD=90,DH=CD=4,S四边形ABCD=SABD+SBCD=12ABDH+12BCCD=1264+1294=30.故选B.4.如图,ABC中,E为BC边的中点,CDAB,AB=2,AC=1,DE=32,则CDE+ACD等于(C)(A)60(B)75(C)90(D)105解析:E为BC边的中点,CDAB,DE=32,BE=CE=DE=32,即CDE=DCE,BC=CE+BE=32+32=3.在ABC中,AC2+BC2=1+(3)2=4=AB2,ABC为直角三角形,
4、ACB=90,DCE+ACD=90,即CDE+ACD=90.故选C.5.(2019青岛)如图,BD是ABC的角平分线,AEBD,垂足为F.若ABC=35,C=50,则CDE的度数为(C)(A)35(B)40(C)45(D)50解析:BD是ABC的角平分线,AEBD,ABD=EBD=12ABC,AFB=EFB=90,BAF=BEF,AB=BE,AF=EF,AD=ED,DAF=DEF,BAC=180-ABC-C=95,BED=BAD=95,CDE=95-50=45.故选C.6.(2019绥化)如图,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则A=36度.解析:设A=x,AD=BD,
5、ABD=A=x,BDC=ABD+A=2x,BD=BC,C=BDC=2x,在ABC中,x+2x+2x=180,解得x=36,A=36.7.(2019北京)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA=45(点A,B,P是网格线交点).解析:延长AP交格点于D,连结BD,则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,PD2+DB2=PB2,PDB=90,DPB=PAB+PBA=45.8.如图,把等边ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC,若BP=4 cm,则EC=(2+23)cm.解析:根据“30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得D
6、P=43.根据折叠的性质可以得到DPE=A=60,DP=DA=43,易得EPC=30,PEC=90,EC=12PC=12(8+43-4)=(2+23)cm.9.(2019威海)如图,在四边形ABCD中,ABCD,连结AC,BD.若ACB=90,AC=BC,AB=BD,则ADC=105.解析:作DEAB于E,CFAB于F,如图所示.ABCD,DE=CF,CFAB,ACB=90,AC=BC,CF=AF=BF=12AB,AB=BD,DE=CF=12AB=12BD,BAD=BDA,ABD=30,BAD=BDA=75,ABCD,ADC+BAD=180,ADC=105.10.(2019鄂州)如图,已知线段
7、AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,1=60,P点是直线l上一点,当APB为直角三角形时,则BP=2或 23 或27.解析:如图,以AB为直径作圆,交直线l于P1,P2,则此时AP1B与AP2B为直角三角形,且AP1B=AP2B=90,1=60,AO=OB=OP1=2,OBP1是等边三角形,BP1=OB=2,BP2=AP1=23,分别过点A,B作AP3,BP4垂直于AB,交直线l于P3,P4,连结BP3,AP4.则AP3B与AP4B是直角三角形,在RtOAP3中,AP3=3OA=23,BP3=AB2+AP32=27,在RtOBP4中,BP4=3OB=23.综上可得,BP的值为2或23或2
8、7.11.(2019黄石)如图,在ABC中,BAC=90,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EFAE,过点A作AFBC,且AF,EF相交于点F.(1)求证:C=BAD;(2)求证:AC=EF.证明:(1)AB=AE,D为线段BE的中点,ADBC,C+DAC=90,BAC=90,BAD+DAC=90,C=BAD.(2)AFBC,FAE=AEB,AB=AE,B=AEB,B=FAE,在ABC和EAF中,B=FAE,AB=EA,BAC=AEF=90,ABCEAF(A.S.A.),AC=EF.12.如图有4张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方
9、格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:(1)画一个直角边长为4,面积为6的直角三角形;(2)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形;(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;(4)画一个一边长为22,面积为6的等腰三角形.解:(1)如图(1),画两条直角边是4,3的直角三角形.(2)如图(2),画底边是4,底边上的高是4的等腰三角形.(3)如图(3),画两直角边都是10的等腰直角三角形.(4)如图(4),画底边是22,底边上的高是32的等腰三角形.B层(能力)13.(2019内江三模)如图,BAC与CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与C
10、E交于点H,PGAD交BC于F,交AB于G,下列结论:GA=GP;SPACSPAB=ACAB;BP垂直平分CE;FP=FC.其中正确的判断有(D)(A)只有 (B)只有(C)只有(D)解析:AP平分BAC,CAP=BAP,PGAD,APG=CAP,APG=BAP,GA=GP,故正确;AP平分BAC,P到AC,AB的距离相等,SPACSPAB=ACAB,故正确;BE=BC,BP平分CBE,BP垂直平分CE(三线合一),故正确;BAC与CBE的平分线相交于点P,点P也在BCD的平分线上,DCP=BCP,又PGAD,FPC=DCP,BCP=FPC,FP=FC,故正确.故选D.14.已知ABC中,AB
11、=10,AC=27,B=30,则ABC的面积等于153或103.解析:作ADBC交BC(或BC延长线)于点D,如图1,当AB,AC位于AD异侧时,在RtABD中,B=30,AB=10,AD=5,BD=53.在RtACD中,CD=AC2-AD2=(27)2-52=3,BC=BD+CD=63,SABC=12BCAD=12635=153.如图2,当AB,AC在AD的同侧时,由知,BD=53,CD=3,BC=BD-CD=43,SABC=12BCAD=12435=103.综上所述,ABC的面积是153或103.15.如图,四边形ABCD中,C=90,ADDB,点E为AB的中点,DEBC.(1)求证:BD
12、平分ABC;(2)连结EC,若A=30,DC=3,求EC的长.(1)证明:ADDB,点E为AB的中点,DE=BE=12AB.1=2.DEBC,2=3.1=3.BD平分ABC.(2)解:ADDB,A=30,1=60.3=2=60.BCD=90,4=30.CDE=2+4=90.在RtBCD中,4=30,DC=3,DB=2.2=1=60,BDE是等边三角形,DE=DB=2.EC=DE2+DC2=4+3=7.16.(2019安阳一模)(1)问题发现:如图1,在等边ABC中,点D为BC边上一动点,DEAB交AC于点E,将AD绕点D顺时针旋转60得到DF,连结CF.则AE与FC的数量关系是 ;ACF的度数
13、为.(2)拓展探究:如图2,在RtABC中,ABC=90,ACB=60,点D为BC边上一动点,DEAB交AC于点E,当ADF=ACF=90时,求AEFC的值;(3)解决问题:如图3,在ABC中,BCAB=m,点D为BC的延长线上一点,过点D作DEAB,交AC的延长线于点E,直接写出当ADF=ACF=ABC时,AEFC的值.解:(1)DEAB,ABC=EDC=60,BAC=DEC=60,DEC是等边三角形,AED=120,DE=DC,将AD绕点D顺时针旋转60得到DF,ADF=60=EDC,AD=DF,ADE=FDC,且DE=DC,AD=FD,ADEFDC(S.A.S.),AE=CF,AED=D
14、CF=120,ACF=60.(2)ABC=90,ACB=60,tanACB=ABBC=3,DEAB,EDC=ABC=90,ADF=90,ADE=FDC,ACF=90,AED=EDC+ACB,FCD=ACF+ACB,AED=FCD,且ADE=FDC,DAEDFC,AEFC=DEDC,DEAB,EDCABC,DEDC=ABBC,AEFC=ABBC=3.(3)AEFC=1m.解法提示:ABDE,ABC=BDE=ADF,BAC=E,BDE+ADB=ADF+ADB,ADE=CDF,ACD=ABC+BAC=ACF+DCF,且ACF=ABC,BAC=DCF=E,且ADE=CDF,ADEFDC,AEFC=DECD,ABDE,ABCEDC,DECD=ABBC,且BCAB=m,AEFC=ABBC=1m.