1、第26讲图形的相似(参考用时:45分钟)A层(基础)1.(2019重庆B卷)下列命题是真命题的是(B)(A)如果两个三角形相似,相似比为49,那么这两个三角形的周长比为23(B)如果两个三角形相似,相似比为49,那么这两个三角形的周长比为49(C)如果两个三角形相似,相似比为49,那么这两个三角形的面积比为23(D)如果两个三角形相似,相似比为49,那么这两个三角形的面积比为49解析:如果两个三角形相似,相似比为49,那么这两个三角形的周长比为49,故A错误,B正确;如果两个三角形相似,相似比为49,那么这两个三角形的面积比为1681,故C,D错误.故选B.2.(2019杭州)如图,在ABC中
2、,点D,E分别在边AB和AC上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连结AM交DE于点N,则下列结论正确的是(C)(A)ADAN=ANAE(B)BDMN=MNCE(C)DNBM=NEMC(D)DNMC=NEBM解析:DNBM,ADNABM,DNBM=ANAM,NEMC,ANEAMC,NEMC=ANAM,DNBM=NEMC.故选C.3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点O为位似中心,相似比为13,把ABO缩小,则点A的对应点A的坐标是(D)(A)(-1,2)(B)(-9,18)(C)(-9,18)或(9,-18)(D)(-1,2)或(1,-2)解
3、析:A(-3,6),B(-9,-3),以原点O为位似中心,相似比为13,把ABO缩小,点A的对应点A的坐标为(-313,613)或(-3(-13),6(-13),即A点的坐标为(-1,2)或(1,-2).故选D.4.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是(B)(A)9.3 m(B)10.5 m(C)12.4 m(D)14 m解析:由题意知BECD,ABEACD,BECD=ABAC,即1.2CD=1.61.6+12.4,解得CD=10.5(m).5.(2019淄博)如图,在ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边
4、上的一点,且CAD=B.若ADC的面积为a,则ABD的面积为(C)(A)2a(B)52a(C)3a(D)72a解析:CAD=B,ACD=BCA,ACDBCA,SACDSBCA=(ACBC)2=242=14,SABC=4SADC=4a,SABD=SABC-SADC=4a-a=3a.故选C.6.(2019郴州)若x+yx=32,则yx=12.解析:x+yx=32,2x+2y=3x,化简得x=2y,yx=12.7.(2019凉山)在ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为23的两部分,连结BE,AC相交于F,则SAEFSCBF等于425或925.解析:当AEED=23时,四边形ABCD是平行四边
5、形,ADBC,AEBC=25,AEFCBF,SAEFSCBF=(25)2=425;当AEED=32时,同理可得,SAEFSCBF=(35)2=925.8.(2019自贡)如图,在RtABC中,ACB=90,AB=10,BC=6,CDAB,ABC的平分线BD交AC于点E,DE=955.解析:ACB=90,AB=10,BC=6,AC=8,BD平分ABC,ABE=CBE,CDAB,D=ABE,D=CBE,CD=BC=6,CDAB,AEBCED,AEEC=BEED=ABCD=106=53,CE=38AC=388=3,BE=BC2+CE2=62+32=35,DE=35BE=3535=955.9.已知:A
6、BC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-5,-4),C(-1,-5).(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将ABC放大为原来的2倍,得到A2B2C2,请在现有的网格中画出A2B2C2,并写出点B2的坐标.解:(1)如图所示,A1B1C1即为所求.(2)如图所示,A2B2C2即为所求,点B2的坐标为(10,8).10.如图,在ABC中,ADBC,BEAC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:ACDBFD;(2)当tanABD=1,AC=3时,求BF的长.(1)证明:ADBC,BEAC,BDF=ADC=BEC=90,C+DBF=90,C+DA
7、C=90,DBF=DAC,ACDBFD.(2)解:tanABD=1,ADB=90,ADBD=1,即AD=BD,ACDBFD,ACBF=ADBD=1,BF=AC=3.B层(能力)11.(2019遂宁)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,BPC是等边三角形,连结DP并延长交CB的延长线于点H,连结BD交PC于点Q,下列结论:BPD=135;BDPHDB;DQBQ=12;SBDP=3-14.其中正确的有(D)(A)(B)(C)(D)解析:PBC是等边三角形,四边形ABCD是正方形,PCB=CPB=60,PCD=30,BC=PC=CD,CPD=CDP=75,BPD=BPC+CPD=60+75=13
8、5,故正确;CBD=CDB=45,DBH=DPB=135,又PDB=BDH,BDPHDB,故正确;如图,过点Q作QECD于E,设QE=DE=x,则CE=3QE=3x,QEBC,DQBQ=DECE=x3x=1312,故错误;过点P作PNCD于N,PMBC于M,PCM=60,PCN=30,PC=1,PM=PCsin 60=32,PN=PCsin 30=12,SBDP=SPBC+SPCD-SBCD=12132+12112-1211=3-14,故正确.故选D.12.(2019安徽)如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=BC,P为ABC内部一点,且APB=BPC=135.(1)求证:PABPBC
9、;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2h3.证明:(1)ACB=90,AB=BC,ABC=45=PBA+PBC,又APB=135,PAB+PBA=45,PAB=PBC,又APB=BPC=135,PABPBC.(2)PABPBC,PAPB=PBPC=ABBC,在RtABC中,AB=2BC,ABBC=2,PB=2PC,PA=2PB,PA=2PC.(3)如图,过点P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分别为D,E,F,PF=h1,PD=h2,PE=h3,CPB+APB=135+135=270,APC=90,EAP+ACP=
10、90,又ACB=ACP+PCD=90,EAP=PCD,RtAEPRtCDP,PEDP=APPC=2,即h3h2=2,h3=2h2,PABPBC,h1h2=ABBC=2,h1=2h2,h12=2h22=2h2h2=h2h3.即h12=h2h3.13.(2019乐山)在ABC中,已知D是BC边的中点,G是ABC的重心,过G点的直线分别交AB,AC于点E,F.(1)如图1,当EFBC时,求证:BEAE+CFAF=1;(2)如图2,当EF和BC不平行,且点E,F分别在线段AB,AC上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.(3)如图3,当点E在AB的延长线上或点F在A
11、C的延长线上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.(1)证明:G是ABC的重心,DGAG=12,又EFBC,BEAE=DGAG=12,CFAF=DGAG=12,则BEAE+CFAF=12+12=1.(2)解:(1)中结论成立,理由如下:如图,过点A作ANBC交EF的延长线于点N,FE,CB的延长线相交于点M,则BMEANE,CMFANF,BEAE=BMAN,CFAF=CMAN,BEAE+CFAF=BMAN+CMAN=BM+CMAN,又BM+CM=BM+CD+DM,而D是BC的中点,即BD=CD,BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,BEAE+CFAF=2DMAN,又DMAN=DGAG=12,BEAE+CFAF=212=1,故结论成立.(3)解:(1)中结论不成立,理由如下:当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE,点F在AC的延长线上时,BEAE,BEAE1,则BEAE+CFAF1,同理:当点E在AB的延长线上时,BEAE+CFAF1,结论不成立.