1、第22讲 与圆有关的位置关系,点与圆的位置关系(设圆的半径为r,点到圆心的距离为d),点在圆外d r; 点在圆上d r; 点在圆内d r.,=,直线与圆的位置关系,1.几种位置关系的区别,0,1,2,=,2.圆的切线的性质和判定 (1)性质:圆的切线 于经过切点的半径. (2)判定:圆心到直线的距离等于圆的半径,则这条直线是圆的 . 经过半径的外端且 于这条半径的直线是圆的切线. 和圆只有 个公共点的直线是圆的切线. 3.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线,它们的切线长 .这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角.,垂直,切线,垂直,一,相等,平分,三角形的内切圆,1.与三角形各边都 的圆叫
2、做这个三角形的内切圆. 2.三角形的外心与内心的区别,相切,垂直平分线,角平分线,直线与圆的位置关系,例1 已知O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与O的位置关系是( ) (A)相切 (B)相离 (C)相离或相切 (D)相切或相交,D,思路点拨:分OP垂直于直线l,OP不垂直于直线l两种情况讨论.,解析:设O的半径为r,当OP垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2=r, O与l相切; 当OP不垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d2=r,O与直线l相交.故直线l与O的位置关系是相切或相交.故选D.,根据直线上的点与圆心的距离判断直线与圆的位置关系,一定要分清这个点与圆心
3、的距离是不是圆心到直线的垂直距离.,切线的性质,例2 (2019聊城)如图,ABC内接于O,AB为直径,作ODAB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.,(1)求证:EC=ED;,思路点拨:(1)连结OC,根据切线的性质得到OCCE,欲证EC=ED,只需得出CDE=DCE即可,欲证CDE=DCE,只需证明它们的余角A与OCA相等即可.,(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.,思路点拨:(2)先得出DE=EC=EF=3,再用勾股定理求出OE,进而求出OD和AD,再根据AODACB,列出比例式求解.,“圆的切线垂直于经过切点的半径”,直接利用此性质或连结切
4、点与圆心构造直角三角形是证明和计算与圆切线有关问题的常用方法.,切线的判定,例3 (2019宜宾)如图,线段AB经过O的圆心O,交O于A,C两点,BC=1,AD为O的弦,连结BD,BAD=ABD=30,连结DO并延长交O于点E,连结BE交O于点M.,(1)求证:直线BD是O的切线;,思路点拨:(1)根据已知条件求出ODB=90,即可结论得证.,(1)证明:BAD=ABD=30, DOB=2BAD=60, ODB=180-DOB-ABD=90, OD是半径, BD是O的切线.,(2)求O的半径OD的长;,(3)求线段BM的长.,思路点拨:(3)连结DM,在RtBDE中应用勾股定理求出BE,证出D
5、BMEBD,再根据对应边成比例列式计算.,判定圆的切线的两种方法 (1)若已知直线与圆有公共点,则连结过这点的半径,证明这条半径与直线垂直.巧记为有切点,连半径,证垂直. (2)若未知直线与圆有公共点,则过圆心作直线的垂线,证明垂线段的长等于半径.巧记为无切点,作垂直,证半径.,三角形的内切圆及内心,例4 如图,在扇形CAB中,CDAB,垂足为D,E是ACD的内切圆,连结AE, BE,则AEB的度数为 .,思路点拨:连结EC,首先求出AEC=135,再证明EACEAB即可.,135,若I是ABC的内心,则有 (1)I到ABC三边的距离相等; (2)AI平分BAC,BI平分ABC,CI平分ACB
6、;,1.(2018眉山)如图所示,AB是O的直径,PA切O于点A,线段PO交O于点C,连结BC,若P=36,则B等于( ) (A)27(B)32 (C)36 (D)54,A,2.(2016攀枝花)如图,ABC中,C=90,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上 一点O为圆心的O和AB,BC均相切,则O的半径为 .,4.(2019资阳)如图,AC是O的直径,PA切O于点A,PB切O于点B,且APB=60.,(1)求BAC的度数;,解:(1)PA切O于点A,PB切O于点B, PA=PB,PAC=90, APB=60, APB是等边三角形, BAP=60, BAC=90-BAP=30.,(2)若PA=1,求点O到弦AB的距离.,5.(2019乐山)如图,直线l与O相离,OAl于点A,与O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连结CP并延长交O于另一点B,且AB=AC.,(1)求证:AB是O的切线;,(2)若O的半径为3,求线段BP的长.,点击进入 实战演练,