1、模块六 圆 第21讲 圆的有关概念及性质,圆的基本元素,1.半径与直径 如图,线段OA,OB,OC都是圆的 ,通过圆心O的线段 为直径.,半径,AC,2.弦、劣弧、优弧、等弧 如图,线段AB,BC,AC都是O中的 ,像弧BC这样 半圆周的圆弧叫做劣弧,像弧BAC这样 半圆周的圆弧叫做优弧.在同圆或等圆中,能够 的弧叫做等弧. 3.圆心角 如图,AOB,BOC叫O的 ,圆心O是圆心角的顶点.,弦,小于,大于,互相重合,圆心角,圆的对称性,1.圆是旋转对称图形,对称中心即为其 ;圆是轴对称图形,它的任意一条 都是它的对称轴. 2.圆心角、弧、弦之间的关系 在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对
2、的 相等,所对的 相等. 在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的 相等,所对的 相等. 在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的 相等,所对的 相等. 3.垂径定理及其推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径 这条弦,并且 这条弦所对的两条弧. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径 这条弦,并且 这条弦所对的两条弧. 平分弧的直径 这条弧所对的弦.,圆心,直径所在的直线,弧,弦,圆心角,弦,圆心角,弧,平分,平分,垂直于,平分,垂直平分,圆周角定理及其推论,1.半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于 . 2.圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于该弧所对的圆心角的 ;相等的圆
3、周角所对的弧 . 3.圆周角定理推论 推论1:90的圆周角所对的弦是 . 推论2:圆内接四边形的对角互补.,圆内接多边形,如果一个圆经过一个多边形的 ,这个圆就叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形.,90(直角),相等,一半,相等,直径,各个顶点,三角形的外接圆,1.确定圆的条件:不在 上的三点确定一个圆. 2.三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆,就是这个三角形的外接圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三条边的 的交点,叫做三角形的外心.它到三角形三个顶点的距离 .,同一条直线,垂直平分线,相等,垂径定理及其推论,例1 (2019衢州)一块圆形宣传标志牌
4、如图所示,点A,B,C在O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为( ),(A)6 dm (B)5 dm (C)4 dm (D)3 dm,B,思路点拨:由CD垂直平分AB及垂径定理可知CD过圆心,连结OA,延长CD到点O,设OA=r,则OD=r-2,根据CD垂直平分AB求得AD的长,在RtAOD中根据勾股定理列方程求解.,(1)用垂径定理进行计算或证明,作圆心到弦的垂线段(即弦心距)是常用的辅助线.由半径,弦的一半,弦心距组成直角三角形,利用勾股定理或借助方程求解. (2)对没有给出图形的圆的计算问题,有时要分类讨论,不可漏解.,弧、弦、圆心角的关
5、系,例2 (2019南京)如图,O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.,在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则其余各组量也分别相等.,圆周角定理及其推论,25,(1)解决与圆有关的角度计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半关系求解. (2)在圆中,如果有直径,那么直径所对的圆周角是直角,常用此结论构造直角三角形.,三角形的外接圆,例4 如图,已知O是等边三角形ABC的外接圆,点D在圆上,在CD的延长线上有一点F,使DF=DA,AEBC交CF于点E.,
6、(1)求证:EA是O的切线;,思路点拨:(1)连结AO,并延长AO交BC于点M.由O是等边三角形ABC的外接圆得到AMBC,又由AEBC证得OAAE,得出结论;,(2)求证:BD=CF.,思路点拨:(2)先证ADF为等边三角形,根据S.A.S.证明BADCAF,得出结论.,证明:(2)ABC为等边三角形, BDC=BDA=BCA=60,AB=AC, ADF=60, DA=DF, ADF为等边三角形, DAF=60,AD=AF, BAD=CAF, BADCAF, BD=CF.,1.(2019眉山)如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,CAO=22.5, OC=6,则CD的长为( ),A,2
7、.(2018巴中)如图,O中,半径OC弦AB于点D,点E在O上,E=22.5, AB=4,则半径OB等于( ),C,B,(A)5 (B)6 (C)7 (D)8,4.(2018乐山)九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆柱形木材的直径是多少?”,如图所示,请根据所学知识计算:圆柱形木材的直径AC是( ) (A)13寸 (B)20寸 (C)26寸 (D)28寸,C,解析:设O的半径为r,则OD=r-1, 在RtADO中,根据勾股定理,得r2=52+(r-1)2, 解得r=13, O的直径为26寸.故选C.,4,6.(2018内江)如图,以AB为直径的O的圆心O到直线l的距离OE=3,O的半径r=2,直线AB不垂直于直线l,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为点D,C,则四边形ABCD的面积的最大值为 .,12,点击进入 实战演练,