1、2019-2020学年山东省临沂市平邑县、沂水县高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：1（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+2i）z4+3i，则复数z对应的点位于复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）命题“xR，x22x+10”的否定是（）AxR，x22x+10BXR，x22x+10CxR，x22x+10DxR，x22x+103（5分）若a，b为非零实数，且ab0，则下列结论正确的是（）Aa2b2BCa3b2a2b3Dac2bc24（5分）抛物线yax2的焦点是直线x+4y10与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（）ABx1CDy15（5分）“a0”是“关于x
2、的方程x2+ax+a0（aR）有实数解”的（）A既不充分也不必要条件B充要条件C必要不充分条件D充分不必要条件6（5分）已知向量（1，1，0），（1，0，2）且k+与2互相垂直，则k的值是（）A1BCD7（5分）已知直线l和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M，设直线l的斜率为k1（k10），直线OM的斜率为k2（O为坐标原点），则k1k2（）ABCD8（5分）已知Sn为等差数列an的前n项和，且30，则3a5a7（）A6B12C24D48二、多项选择题9（5分）已知三个数1，a，4成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）ABCD10（5分）在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，
3、初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则下列说法正确的是（）A此人第三天走了四十八里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第二天走的路程占全程的D此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍11（5分）已知斜率为的直线l经过抛物线C：y22px（p0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AB|8，则以下结论正确的是（）AB|AF|6C|BD|2|BF|DF为AD中点12（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（）AB
4、C向量与的夹角是60DBD1与AC所成角的余弦值为三、填空题13（5分）设复数za+bi（a，bR，i是虚数单位），且z22i，则a+b 14（5分）一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10，最小内角为100，则边数n 15（5分）已知正数x，y满足x+y1，则的最小值等于 ；的最小值等于 16（5分）设F是双曲线C：（a0，b0）的一个焦点，A1，A2是C的两个顶点，C上存在一点M，使得MF1与以A1A2为直径的圆相切于点N，且N是线段MF1的中点则C的浙近线方程为 四、解答题17（10分）已知p：，q：（xk1）（xk+3）0，若q是p的必要条件，求实数k的取值范围18（12分）已
5、知复数z1+mi（mR，i为虚数单位），且（1i）z为实数（1）求复数z；（2）设复数z1x+yi（x，yR）满足，求|z1|的最小值19（12分）已知递增等比数列an的前三项之积为729，且a1+1，2a2，a3+5构成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn32log3an，求数列anbn的前n项和Tn20（12分）如图，已知矩形花坛ABCD中，AB4.5米，AD3米，现要将小矩形花坛扩建成大型直角三角形花坛AMN，使点B在AM上，点D在AN上，且斜边MN过点C求直角三角形NDC与直角三角形MBC面积之和的最小值21（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直
6、，AF1，M是线段EF的中点，二面角ADFB的大小为60（1）求证：AM平面BDE；（2）试在线段AC上找一点P，使得PF与CD所成的角是6022（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，点在椭圆C上，直线l过F交椭圆于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当F2AB90时，点A在x轴上方时，求点A，B的坐标；（3）若直线AF2交y轴于点M，直线BF2交y轴于点N，是否存在直线l，使得ABF2与MNF1的面积满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由2019-2020学年山东省临沂市平邑县、沂水县高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：
7、1（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+2i）z4+3i，则复数z对应的点位于复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z对应的点的坐标得答案【解答】解：由（1+2i）z4+3i，得2i，则复数z对应的点的坐标为（2，1），位于复平面内的第四象限故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）命题“xR，x22x+10”的否定是（）AxR，x22x+10BXR，x22x+10CxR，x22x+10DxR，x22x+10【分析】因为命题“xR，x22x
8、+10”为全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，“改为“”即可【解答】解：命题“xR，x22x+10”为全称命题，命题的否定为：xR，x22x+10，故选：C【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题3（5分）若a，b为非零实数，且ab0，则下列结论正确的是（）Aa2b2BCa3b2a2b3Dac2bc2【分析】根据不等式的性质解答即可【解答】解：Aab0，ab0，（a）2（b）2，即a2b2，故本选项不符合题意Bab0，ab0，ba0，0，即成立，故本选项符合题意Cab0，a2b0，a3b2a2b3，故本选项不符合
9、题意D、当c0时，ac2bc2不成立故本选项不符合题意故选：B【点评】本题考查了不等式的性质、考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）抛物线yax2的焦点是直线x+4y10与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（）ABx1CDy1【分析】根据题意，分析抛物线焦点的位置，由直线的方程可得直线与y轴的交点坐标，即可得抛物线的焦点坐标，结合抛物线的几何性质分析可得答案【解答】解：根据题意，抛物线yax2的标准方程为x2y，其焦点在y轴上，又由直线x+4y10，令x0可得：y，即直线与y轴的交点为（0，），即抛物线的焦点坐标为（0，），则其准线方程为y；故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程，
10、注意分析抛物线的焦点位置，属于基础题5（5分）“a0”是“关于x的方程x2+ax+a0（aR）有实数解”的（）A既不充分也不必要条件B充要条件C必要不充分条件D充分不必要条件【分析】先利用0解出关于a的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：由关于x的方程x2+ax+a0（aR）有实数解得：a24a0，解得：a0或a4，“a0”是“a0或a4“的充分不必要条件，故选：D【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题6（5分）已知向量（1，1，0），（1，0，2）且k+与2互相垂直，则k的值是（）A1BCD【分析】由向量（1，1，0），（1，0，2），求得k+与2
11、的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值【解答】解：（1，1，0），（1，0，2），k+k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），22（1，1，0）（1，0，2）（3，2，2），又k+与2互相垂直，3（k1）+2k40，解得：k故选：D【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题7（5分）已知直线l和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M，设直线l的斜率为k1（k10），直线OM的斜率为k2（O为坐标原点），则k1k2（）ABCD【分析】设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段AB的中点为M，即可得到结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2
12、），M（x，y），则x1+x22x，y1+y22y，两式相减可得：，（x1x2）2x（y1y2）2y0，直线l的斜率为k1（k10），直线OM的斜率为k2，k1k2故选：C【点评】本题考查双曲线方程的性质和应用，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题8（5分）已知Sn为等差数列an的前n项和，且30，则3a5a7（）A6B12C24D48【分析】由已知结合等差数列的求和公式及通项公式可求a4，然后结合等差数列的性质对所求式子进行化简可得3a5a7a5+a5+a5a7a5+a32a4，代入可求【解答】解：因为30，所以a1+3d+4a430，故a46，则3a5a7a5+a5+a5a7a
13、5+a32a412故选：B【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式，通项公式及性质的简单应用，属于基础试题二、多项选择题9（5分）已知三个数1，a，4成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）ABCD【分析】直接利用圆锥曲线的定义和离心率的应用求出结果【解答】解：三个数1，a，4成等比数列，所以a24，解得a2或2当a2时，圆锥曲线为椭圆，所以离心率为e当a2时，圆锥曲线为双曲线所以离心率为e故选：AD【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10（5分）在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，
14、如此六日过其关”则下列说法正确的是（）A此人第三天走了四十八里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第二天走的路程占全程的D此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【分析】直接利用等比数列的定义和前n项和公式的应用求出结果【解答】解：根据题意，设第一天走x，所以连续走的6天构成一个等比数列，所以，整理得，解得x192，所以第一天走192，第二天走96，第三天走48，第四天走24，第五天走12，第六天走6，所以A正确第一天走192，后五天走的路程是96+48+24+12+6186，所以1921866，故选项B正确964384378，故选项C错误前三天走的路程为：192+96+48
15、336，后三天走的路程为：24+12+642，此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，故选项D正确故选：ABD【点评】本题考查的知识要点：等比数列的定义和性质的应用，等比数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型11（5分）已知斜率为的直线l经过抛物线C：y22px（p0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AB|8，则以下结论正确的是（）AB|AF|6C|BD|2|BF|DF为AD中点【分析】方法一：由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值
16、，逐一判断四个选项得答案；方法二：利用抛物线的焦点弦公式，即可分别判断答案【解答】解：方法一：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y（x），联立，得12x220px+3p20解得：xA，xB由|AB|AF|+|BF|xA+xB+p8，得p3所以抛物线方程为y26x则|AF|xA+2p6，故B正确；所以|BF|2，|BD|4，|BD|2|BF|，故C正确；所以|AF|DF|6，则F为AD中点，故A错误，方法二：设直线AB的倾斜角为利用抛物线的焦点弦的性质，由8，则p3，6，2，在RtDBB中，cos，所以|BD|4，因此F为AD中点故选：BCD【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，直线
17、与抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦的性质，熟练掌握抛物线焦点弦的几何性质，在平常的练习中起到重要作用，同学们可以在练习中自己推导并熟练掌握，属于中档题12（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（）ABC向量与的夹角是60DBD1与AC所成角的余弦值为【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项逐一进行判断【解答】解：因为以A为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60，不妨设棱长为a，对于A，（）2（）23a2+32a26a2，因为（）2（）22a2+2a23a2，则2
18、（）26a2，所以，故A正确；对于B，因为（）（）+2+20，故B正确；对于C，因为，显然AA1D为等边三角形，则AA1D60，所以向量与的夹角为120，向量与的夹角为120，故C不正确；对于D，因为，则|a，所以（）（）a，所以cos，故D不正确故选：AB【点评】本题考查命题真假性的判断，考查空间向量的计算，用向量求夹角等，属于中档题三、填空题13（5分）设复数za+bi（a，bR，i是虚数单位），且z22i，则a+b2【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算可得a2b2+2abi2i，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【解答】解：za+bi（a，bR），且z22i，（a+
19、bi）2a2b2+2abi2i，得，解得或a+b2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题14（5分）一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10，最小内角为100，则边数n8【分析】由等差数列的求和公式和多边形的内角和公式可得n的方程，解方程组验证可得【解答】解：由等差数列的求和公式和多边形的内角和公式可得100n+10（n2）180，化简可得n217n+720，即（n8）（n9）0解得n8或n9当n9时，最大内角为100+810180，不满足多边形为凸n边形，应舍去，故答案为：8【点评】本题考查等差数列的求和公式和多边形的内角和公式，属基础题15
20、（5分）已知正数x，y满足x+y1，则的最小值等于9；的最小值等于3【分析】由（）（x+y）5+，利用基本不等式即可求解；，利用基本不等式即可求解【解答】解：因为正数x，y满足x+y1，则（）（x+y）5+5+49，当且仅当且x+y1即x，y时取等号，此时取得最小值9，3，当且仅当且x+y1即xy时取等号，此时取得最小值3故答案为：9，3【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑16（5分）设F是双曲线C：（a0，b0）的一个焦点，A1，A2是C的两个顶点，C上存在一点M，使得MF1与以A1A2为直径的圆相切于点N，且N是线段MF1的中点则C的浙近线方程为y2x【
21、分析】运用中位线定理，可得OMPF2，|OM|MF2|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求【解答】解：由于O为F1F2的中点，N为线段MF1的中点，则由中位线定理可得ONMF2，|ON|MF2|，由MF1与以线段A1A2为直径的圆相切于点N，则|ON|a，|MF2|2a，由双曲线的定义可得，|MF1|MF2|2a，即有|MF1|4a，由ONMF1，由勾股定理可得a2+（2a）2c2，即5a2a2+b2，则4a2b2，即C的渐近线方程为yx2x故答案为：y2x【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及
22、中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题四、解答题17（10分）已知p：，q：（xk1）（xk+3）0，若q是p的必要条件，求实数k的取值范围【分析】先求出p，q对应的集合，再根据充分必要故选得到结合间的包含关系，从而求出k的取值范围【解答】解：由，解得Ax|1x3，Bx|（xk1）（xk+3）0，解得Bx|k3xk+1，若q是p的必要条件，即：p是q的充分条件，ARBx|xk3或xk+1 ，k33或k+11，解得k6或k2，所以，实数k的取值范围是k|k2或k6【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题18（12分）已知复数z1+mi（mR，i为虚数单位），且（
23、1i）z为实数（1）求复数z；（2）设复数z1x+yi（x，yR）满足，求|z1|的最小值【分析】（1）根据复数是实数的条件进行求解即可（2）结合复数模长的几何意义进行转化求解即可【解答】解：（1）由z1+mi（mR），得（1i）z（1i）（1+mi）（1+m）+（m1）i，（1i）z为实数，m10，m1z1+i（2）设z1x+yi（x，yR），|（x+yi）（1i）|1，即|（x1）+（y+1）i|1，（x1）2+（y+1）21，即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以（1，1）为圆心，以1为半径的圆|z1|的最小值为【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的运算，结合复数的几何意义进行转化
24、是解决本题的关键难度中等19（12分）已知递增等比数列an的前三项之积为729，且a1+1，2a2，a3+5构成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn32log3an，求数列anbn的前n项和Tn【分析】本题第（1）题由题意可列出方程组，代入等比数列通项公式，解得两组a1与q的值，根据等比数列an是递增数列可排除其中一组，从而可得数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列anbn的通项公式，然后根据通项公式的特点可采用错位相减法求前n项和Tn【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q（q0），则由题意，可得：，解得，或等比数列an是递增数列，只有符合题意数列an的
25、通项公式为，nN*（2）由（1），得bn32log3an32log33n32n，nN*则，得，nN*【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用，以及错位相减法求和，本题属中档题20（12分）如图，已知矩形花坛ABCD中，AB4.5米，AD3米，现要将小矩形花坛扩建成大型直角三角形花坛AMN，使点B在AM上，点D在AN上，且斜边MN过点C求直角三角形NDC与直角三角形MBC面积之和的最小值【分析】设AMx，ANy，（x4.5，y3），运用三角形的相似的性质和三角形的面积和矩形的面积公式，可得所求面积之和的函数式，结合基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：设AMx，A
26、Ny，（x4.5，y3），直角三角形NDC与直角三角形MBC面积之和为S，NDCNAM，即SSAMNS矩形ABCDxy4.53，（y3），当y3时，当且仅当即y6时，等号成立，解得x9直角三角形NDC与直角三角形MBC面积之和的最小值为【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，考查基本不等式的运用：求最值，化简运算能力，属于中档题21（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF1，M是线段EF的中点，二面角ADFB的大小为60（1）求证：AM平面BDE；（2）试在线段AC上找一点P，使得PF与CD所成的角是60【分析】（1）设ACBDN，连接NE，可得四边形AMEN为
27、平行四边形即可证明AM平面BDE（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设ABt，求得平面BDF的法向量为n1（1，1，t），由二面角ADFB的大小为60求得t，再由PF与CD所成的角是60求得P【解答】解：（1）证明：设ACBDN，连接NE，ACEF，ACEF，M是线段EF的中点，N是线段AC的中点，ANEM，ANME，四边形AMEN为平行四边形，AMEN，又EN平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设ABt，则A（t，t，0），B（0，t，0），D（t，0，0），F（t，t，1），AFAB，ABAD，AFADA，AB平面ADF，为平面DAF的法向量，设平
28、面BDF的法向量为n（x，y，z），令x1，则平面BDF的一个法向量为n1（1，1，t）设二面角ADFB的大小为，则，解得，设P（a，a，0），则，解得或（舍去），所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60【点评】本题考查了空间线面平行的判定，二面角、线线角的求解，属于中档题22（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，点在椭圆C上，直线l过F交椭圆于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当F2AB90时，点A在x轴上方时，求点A，B的坐标；（3）若直线AF2交y轴于点M，直线BF2交y轴于点N，是否存在直线l，使得ABF2与MNF1的面积满足，
29、若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据题意F1AF290，根据向量的坐标运算，求得A点坐标，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标；（3）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程，代入椭圆方程，根据AF2，BF2的方程分别求得M和N点坐标，分别表示出ABF2与MNF1的面积，根据，即可求得直线l的方程【解答】解：（1）由题意可知，a2b2c2，又，联立方程组可解得：a28，b24，所以椭圆C的方程为（2）设A（x，y），依题意，F1（2，0），F2（2，0），因为F2AB
30、90，所以F1AF290，即，又A在椭圆上，满足，即，解得x10，即A（0，2），直线AB：yx+2，联立方程组，解得（3）存在直线l：或，使得ABF2与MNF1的面积满足，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：xmy2（斜率不存在时不满足题意），则，联立方程组，整理得（m2+2）y24my40则，由直线AF2的方程：，得M纵坐标由直线BF2的方程：，得N纵坐标，由，得|y1y2|y3y4|所以，所以|（my14）（my24）|8，|m2y1y24m（y1+y2）+16|8，代入根与系数的关系式，得，解得存在直线或满足题意【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量坐标运算，三角形面积的综合应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题