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2019-2020学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)命题“xR,exx2”的否定是()A不存在 xR,使 exx2Bx0R,使 Cx0R,使 x02DxR,使exx22(5分)若双曲线的离心率为2,则其实轴长为()ABCD3(5分)等比数列an的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则an的公比q等于()A1B2CD4(5分)已知椭圆C:+1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为()A+1B+y21C

2、+1D+15(5分)已知(2,3,1),(2,0,4),(4,6,2),则下列结论正确的是()ABCD6(5分)已知Sn为数列an的前n项和,a12,an+1Sn,那么a5()A4B8C16D327(5分)如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AC与BD交于点M,设,则()ABCD8(5分)已知点A是抛物线x24y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()AB+1CD1二、多项选择:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分

3、选对的得3分,有选错的得0分9(5分)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中正确的是()A若ab,cd,则acbdB若ac2bc2,则abC若ab,则D若ab,cd,则adbc10(5分)已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量(,不重合),那么下列选项中,正确的是()ABClDl11(5分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,若a312,S120,S130,则下列结论正确的是()A数列an是递增数列BS560CDS1,S2,S12中最大的是S612(5分)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()Ap:3m7;q:方程的曲线是椭圆Bp:a8;q:对x1,3不等式x2a0恒

4、成立C设an是首项为正数的等比数列,p:公比小于0;q:对任意的正整数n,a2n1+a2n0D已知空间向量(0,1,1),(x,0,1),p:x1;q:向量与的夹角是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 14(5分)设Sn是数列an的前n项和且a12,an+1SnSn+1,则Sn 15(5分)已知M为抛物线y22px(p0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若MFO120,N(2,0),则p ,MNF的面积为 16(5分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD平面PAD,

5、M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是 四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(10分)已知m,nR,证明:m4n42n2+1成立的充要条件是m2n2118(12分)已知不等式mx2mx10(1)若当xR时不等式恒成立,求实数m的取值范围(2)若x1,3时不等式恒成立,求实数m的取值范围19(12分)在a35,a2+a56b2;b22,a3+a43b3;S39,a4+a58b2,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答已知等差数列an的公差为d(d1),前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,且a1b1,dq, (1)

6、求数列an,bn的通项公式(2)记,求数列cn的前n项和Tn20(12分)如图所示,AE平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BCAD,BAAD,AEAD2AB2BC4(1)求证:CF平面ADE;(2)求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值21(12分)某工厂生产并销售某高科技产品,已知每年生产该产品的固定成本是800万元,生产成本e(单位;万元)与生产的产品件数x(单位:万件)的平方成正比;该产品单价p(单位:元)与生产的产品件数x满足px+b(b为常数),已知当该产品的单价为300元时,生产成本是1800万元,当单价为320元时,生产成本是200万元,且工厂生产的产品都可以销售完(1

7、)每年生产该产品多少万件时,平均成本最低,最低为多少?(2)若该工厂希望年利润不低于8200万元,则每年大约应该生产多少万件该产品?22(12分)设椭圆为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为4,焦距为2c,且bc,BF1F2的面积为()求椭圆C的方程()设动直线l:ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线x4相交于点N试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标,若不存在请说明理由2019-2020学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

8、的1(5分)命题“xR,exx2”的否定是()A不存在 xR,使 exx2Bx0R,使 Cx0R,使 x02DxR,使exx2【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以:命题“xR,exx2”的否定是x0R,使 x02故选:C【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查2(5分)若双曲线的离心率为2,则其实轴长为()ABCD【分析】利用双曲线的离心率,求出a,即可得到实轴长【解答】解:双曲线的离心率为2,e,解得a,则其实轴长为:故选:D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力3(5分)等

9、比数列an的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则an的公比q等于()A1B2CD【分析】由等差数列的中项性质可得2S3S1+S2,再由等比数列的通项公式解方程可得q【解答】解:S1,S3,S2成等差数列,可得2S3S1+S2,即为2(a1+a2+a3)a1+a1+a2,即有2a1(1+q+q2)a1(2+q),化为2q2+q0,解得q(q0舍去),故选:D【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题4(5分)已知椭圆C:+1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为(

10、)A+1B+y21C+1D+1【分析】利用AF1B的周长为4,求出a,根据离心率为,可得c1,求出b,即可得出椭圆的方程【解答】解:AF1B的周长为4,AF1B的周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a,4a4,a,离心率为,c1,b,椭圆C的方程为+1故选:A【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题5(5分)已知(2,3,1),(2,0,4),(4,6,2),则下列结论正确的是()ABCD【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件,对各项逐个加以判别,即可得到本题答案【解答】解:,又,则(2,3,1)(2,0,

11、4)22+(3)0+140,故选:B【点评】本题给出两个向量的坐标,判断几个式子的正确性,着重考查了向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识,属于基础题6(5分)已知Sn为数列an的前n项和,a12,an+1Sn,那么a5()A4B8C16D32【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出【解答】解:n2时,an+1Sn,anSn1,可得:an+1anan,化为an+12ann1时,a2a12数列an从第二项起为等比数列,公比为2,首项为2那么a522316故选:C【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7(5分)如图,平行六面

12、体ABCDA1B1C1D1中,AC与BD交于点M,设,则()ABCD【分析】由于+,代入化简即可得出【解答】解:+,+,故选:D【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8(5分)已知点A是抛物线x24y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()AB+1CD1【分析】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合|PA|m|PB|,可得,设PA的倾斜角为,则当m取得最大值时,sin最小,此时直线PA与抛物线相切,求出

13、P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论【解答】解:过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|PB|,|PA|m|PB|,|PA|m|PN|,设PA的倾斜角为,则sin,当m取得最大值时,sin最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为ykx1,代入x24y,可得x24(kx1),即x24kx+40,16k2160,k1,P(2,1),双曲线的实轴长为PAPB2(1),双曲线的离心率为+1故选:B【点评】本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,当m取得最大值时,sin最小,此时直线PA与抛物线相切,是解题的关键二、多项选择:本题共4小题

14、,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分9(5分)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中正确的是()A若ab,cd,则acbdB若ac2bc2,则abC若ab,则D若ab,cd,则adbc【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误【解答】解:A不一定成立;B由ac2bc2,则c20,可得:abC不一定成立,例如a2,b1Dab,cd,即dc,则adbc,成立故选:BD【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10(5分)已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量(,不重合),那么下

15、列选项中,正确的是()ABClDl【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量的性质即可判断出正误【解答】解:为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量(,不重合),则,l,l或l因此AB正确故选:AB【点评】本题考查了平面的法向量、直线的方向向量的性质、线面面面位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11(5分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,若a312,S120,S130,则下列结论正确的是()A数列an是递增数列BS560CDS1,S2,S12中最大的是S6【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论【解答】解:依题意,有S1212a1+d0,S1313a1+d

16、0,化为:2a1+11d0,a1+6d0,即a6+a70,a70,a60由a312,得a1122d,联立解得d3等差数列an是单调递减的S1,S2,S12中最大的是S6S55a360综上可得:BCD正确故选:BCD【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()Ap:3m7;q:方程的曲线是椭圆Bp:a8;q:对x1,3不等式x2a0恒成立C设an是首项为正数的等比数列,p:公比小于0;q:对任意的正整数n,a2n1+a2n0D已知空间向量(0,1,1),(x,0,1),p:x1;q:向量与的夹角是

17、【分析】A,根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可;B,求出,x1,3不等式x2a0恒成立等价于ax2恒成立,即等价于a9,即可判断;C,根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可;D,根据空间两向量的夹角大小求出x的值,再根据充分必要条件的定义即可判断;【解答】解:A,若方程的曲线是椭圆,则,即3m7且m5,即“3m7”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件;B,x1,3不等式x2a0恒成立等价于ax2恒成立,等价于a9;“a8”是“对x1,3不等式x2a0恒成立”必要不充分条件;C:an是首项为正数的等比数列,公比为q,当a11,q时,满足q0,但此时a1+

18、a210,则a2n1+a2n0不成立,即充分性不成立,反之若a2n1+a2n0,则a1q2n2+a1q2n10a10,q2n2(1+q)0,即1+q0,则q1,即q0成立,即必要性成立,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n1+a2n0”的必要不充分条件D:空间向量(0,1,1),(x,0,1),则0+0+1,cos,cos,解得x1,故“x1”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件故选:ABC【点评】本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题,恒成立问题以及数列和圆锥曲线的定义和充分必要条件的判断,是对知识的综合考查,属于中档题目,也是易错题目三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13

19、(5分)焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是【分析】根据:“与双曲线有相同的渐近线”设所求的双曲线方程是 ,由 焦点(0,6)在y轴上,知 k0,故双曲线方程是 ,据 c236 求出 k值,即得所求的双曲线方程【解答】解:由题意知,可设所求的双曲线方程是 ,焦点(0,6)在y轴上,k0,所求的双曲线方程是 ,由2kkc236,k12,故所求的双曲线方程是 ,故答案为:【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是 ,属于基础题14(5分)设Sn是数列an的前n项和且a12,an+1SnSn+1,则Sn【分析】

20、根据题意,分析可得Sn+1SnSnSn+1,变形可得1,分析可得数列是首项为,公差为1的等差数列,求出数列的通项公式,分析可得答案【解答】解:根据题意,数列an满足an+1SnSn+1,即Sn+1SnSnSn+1,变形可得:1,即1,又由a12,即;故数列是首项为,公差为1的等差数列,则+(1)(n1)n+,故sn;故答案为:【点评】本题考查数列的递推公式,涉及等差数列的通项公式,属于基础题15(5分)已知M为抛物线y22px(p0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若MFO120,N(2,0),则p4,MNF的面积为8【分析】利用抛物线的焦点坐标求解P,得到抛物线方程,画出

21、图形,做出相应的图形,过M作MEx轴,根据题意设出EFa,则有MF2a,表示出ME,由OF+EF表示出OE,进而表示出M坐标,代入抛物线解析式求出a的值,确定出ME的长,即可求出三角形MFN的面积【解答】解:抛物线y22px(p0),F(2,0)为该抛物线的焦点,判断P4,抛物线方程为:y28x,如图所示,做出相应的图形,过M作MEx轴,由抛物线y28x,得到p4,即F(2,0),MFO120,MFE60,在RtMEF中,FME30,设EFa(a0),则有MF2a,MEa,OEOF+EFa+2,即M(a+2,a),代入抛物线解析式得:3a28a160,即(3a+4)(a4)0,解得:a(舍去)

22、或a4,ME4,NF4,SMNF448,故答案为:4;8【点评】此题考查了抛物线的简单性质,熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键16(5分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是【分析】以O为原点,OA为x轴,过O作AB平行线为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值【解答】解:以O为原点,OA为x轴,过O作AB平行线为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,B(1,2,0),P(0,0,2),C(1,2,0),M(,1,1),O(0,0

23、,0),设平面PCO的法向量(x,y,z),可得(2,1,0),设直线BM与平面PCO所成角为,则sin|os|故答案为:【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(10分)已知m,nR,证明:m4n42n2+1成立的充要条件是m2n21【分析】由m4n42n2+1,一步步转化到等价于m2(n2+1)m2+(n2+1)0从而得出结论【解答】证明:m4n42n2+1,等价于m4n4+2n2+1,等价于 m4(n2+1)2,等价于m2(n2+1)m2+(n2+1)0,等价于m2n

24、21m4n42n2+1成立的充要条件是m2n21【点评】本题主要考查充要条件的定义,属于基础题18(12分)已知不等式mx2mx10(1)若当xR时不等式恒成立,求实数m的取值范围(2)若x1,3时不等式恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)对m讨论,m0,m0,m0,结合二次函数的图象可得所求范围;(2)由题意可得x1,3时不等式mx2mx10恒成立,讨论x1,1x3,运用参数分离和构造函数,求最值,可得所求范围【解答】解:(1)当xR时不等式mx2mx10恒成立,当m0时,10,恒成立;当m0,0,即m2+4m0,可得4m0;当m0,不等式不恒成立,综上可得m的范围是(4,0;(2)x1

25、,3时不等式mx2mx10恒成立,当x1时,10恒成立;当1x3时,m(x2x)1,即m在1x3时恒成立,设f(x)即f(x),在1x3时,f(x)递减,可得f(x)的最小值为f(3),则m【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用二次函数的单调性和值域求法,考查化简运算能力,属于中档题19(12分)在a35,a2+a56b2;b22,a3+a43b3;S39,a4+a58b2,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答已知等差数列an的公差为d(d1),前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,且a1b1,dq,b22,a3+a43b3(1)求数列an,bn的通项公式(2)记,求数列

26、cn的前n项和Tn【分析】选择b22,a3+a43b3;(1)设a1b1t,dq1,运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公差、公比,即可得到所求;(2)求得(2n1)()n1,运用数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和【解答】解:选择b22,a3+a43b3;(1)设a1b1t,dq1,由b22,a3+a43b3,可得tq2,2t+5d3tq2,又dq,解得dq2,t1,可得an1+2(n1)2n1;bn2n1;(2)(2n1)()n1,前n项和Tn11+3+5+(2n1)()n1,Tn1+3+5+(2n1)()n,两式相减可得Tn1+1+()n2(2n1)

27、()n,1+(n1)()n,化简可得Tn6(2n+3)()n1【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,数列的错位相减法求和,考查方程思想和运算能力,属于中档题20(12分)如图所示,AE平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BCAD,BAAD,AEAD2AB2BC4(1)求证:CF平面ADE;(2)求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值【分析】(1)推导出BCAD,BFAE,从而平面BCF平面ADE,由此能证明CF平面ADE(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值【解答】解

28、:(1)证明:AE平面ABCD,四边形AEFB为矩形,BCAD,BAAD,BFAE,BCBFB,ADAEA,平面BCF平面ADE,CF平面BCF,CF平面ADE(2)解:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),(2,4,4),(2,2,0),设平面CDF的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,1,),平面AEFB的法向量(0,1,0),设平面CDF与平面AEFB所成锐二面角为,则cos平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面

29、、面面间的位置关系等基础知识,考查运算南求解能力,是中档题21(12分)某工厂生产并销售某高科技产品,已知每年生产该产品的固定成本是800万元,生产成本e(单位;万元)与生产的产品件数x(单位:万件)的平方成正比;该产品单价p(单位:元)与生产的产品件数x满足px+b(b为常数),已知当该产品的单价为300元时,生产成本是1800万元,当单价为320元时,生产成本是200万元,且工厂生产的产品都可以销售完(1)每年生产该产品多少万件时,平均成本最低,最低为多少?(2)若该工厂希望年利润不低于8200万元,则每年大约应该生产多少万件该产品?【分析】(1)由ekx2,px+b,可得:ek(bp)2

30、,bp0由题意可得:1800k(b300)2,200k(b320)2,联立解得:b,k即可得出每年生产该产品的成本y2x2+800利用基本不等式的性质可得每年生产该产品x万件时,平均成本最低(2)该工厂年利润y(330x)x(2x2+800)3x2+330x800令3x2+330x8008200解得x范围即可得出【解答】解:(1)由ekx2,px+b,可得:ek(bp)2,bp0由题意可得:1800k(b300)2,200k(b320)2,联立解得:b330,k2e2(330p)2每年生产该产品的成本y2x2+800假设每年生产该产品x万件时,平均成本最低,2x+2280,当且仅当x20时取等

31、号每年生产该产品20万件时,平均成本最低,最低为80万元(2)该工厂年利润y(330x)x(2x2+800)3x2+330x800令3x2+330x8008200解得:50x60因此该工厂希望年利润不低于8200万元,则每年大约应该生产50万件到60万件该产品【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题22(12分)设椭圆为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为4,焦距为2c,且bc,BF1F2的面积为()求椭圆C的方程()设动直线l:ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线x4相交于点N试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若

32、存在求出点P的坐标,若不存在请说明理由【分析】()由椭圆长轴长为4,焦距为2c,且bc,BF1F2的面积为,列出方程组,求出a,b,c,由此能求出椭圆C的方程()由,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2120由动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求出M(,),由,得N(4,4k+m)假设平面内存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上设P(x1,0),由,得(4x14)+x124x1+30,由此求出存在定点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点M【解答】解:()椭圆为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为4,焦距为2c,且bc,BF1F2的面积为由题意知,解得:故椭圆C的方程是+14分(

33、)由,得(4k2+3)x2+8kmx+4m21206分动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0,y0),m0且0,即64k2m24(4k2+3)(4m212)0,化简得4k2m2+30(*)此时x0,y0kx0+m,M(,)由,得N(4,4k+m)8分假设平面内存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上设P(x1,0),则对满足(*)式的m、k恒成立(x1,),(4x1,4k+m),由,10分得+4x1+30,整理,得(4x14)+x124x1+30(*)11分由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立,解得x11故存在定点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点M12分【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法,考查椭圆、直线方程、圆等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题