1、2019-2020学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分选错得0分.）1（4分）椭圆y2+4x21的焦距为（）ABC2D2（4分）已知命题P：x0，lgx0，则P是（）Ax0，lgx0Bx0，lgx0Cx0，lgx0Dx0，lgx03（4分）已知双曲线C：y21（b0）的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（）AyxByxCy3xDyx4（4分）若抛物线xmy2的焦点到准线的距离为2，则m（）A4BCD5（4分）在四棱锥OABCD中，底面ABCD是平行四边形，设，则可表示
2、为（）A+B+2C+D+26（4分）椭圆的焦点为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN长为，MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为（）ABCD7（4分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线被圆C：x2+y212x0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C的圆心，则该双曲线的方程为（）ABCD8（4分）物线x24y上的点到直线y+x+50的距离的最小值是（）A3B2C1D09（4分）已知直线l：yk（x1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点且满足|AF|2|BF|，则k的值是（）ABCD210（4分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一
3、个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线经过点F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A2B2C6D611（4分）给出下列选项中，能成为xy充分条件的是（）Axt2yt2B（x，y）是曲线x3y3x21上的点C0D（x，y）是双曲线x2y21上的点12（4分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A若1t5，则C为椭图B若t1则C为双曲线C若C为双曲线，则焦距为4D若C为焦点在y轴上的椭圆，则3t513（4分）下列说法正确的是（）A椭圆1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B过双曲线1焦点的弦中最短弦长为C抛物线y22px上两
4、点A（x1，y1）B（x2，y2），则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2D若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）14（4分）若“x04，2，（）m”是真命题，则实数m的取值范围为 15（4分）双曲线C：1（a0，b0）的左右焦点为F1，F2（|F1F2|2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为 16（4分）设A，B分别是直线y2x和y2x上的动点，满足|AB|4，则A的中点M的轨迹方程为 17（4分）卵形线是需见曲线的一种，分笛卡尔卵用线和
5、卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F1（c，0），F2（c，0）是平面内的两个定点，|PF1|PF2|a2（a是常数）得出卡西尼卵形线的相关结论：该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；若ac，则曲线过原点；若0ac，其轨迹为线段其中正确命题的序号是 三、解答题本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握，）18（13分）已知Ax|x24ax+3a20，a0，Bx|x2x60，若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围19（13分）已知p：方程x2+y24x+m
6、20表示圆：q：方程1（m0）表示焦点在y轴上的椭圆（）若p为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围20（14分）已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求弦AB的长21（14分）已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点（）若k1，求DAB的面积；（）若，证明：+为定值22（14分）已知点P到直线y4的距离比点P到点A（0，1）的距离多3（）求点P的轨迹方程：（）经过点Q（0，2）的动直线
7、l与点P的轨交于M，N两点，是否存在定点R使得MRQNRQ？若存在，求出点R的坐标：若不存在，请说明理由，23（14分）已知椭圆C1：+y21的左右顶点是双曲线C2：的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为（）求双曲线C2的方程；（）若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且5，求|M1M2|的取值范围四、附加题本小题满分0分，计入总分）24如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的
8、，照射近距离的光线我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明2019-2020学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（
9、本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分选错得0分.）1（4分）椭圆y2+4x21的焦距为（）ABC2D【分析】直接利用椭圆的方程求出a，b然后求出2c，即可【解答】解：因为椭圆y2+4x21，所以a21，b2，所以c2，所以2c所以椭圆的焦距为：故选：B【点评】本题考查椭圆的基本性质的应用，考查计算能力2（4分）已知命题P：x0，lgx0，则P是（）Ax0，lgx0Bx0，lgx0Cx0，lgx0Dx0，lgx0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题P：x
10、0，lgx0，则P是x0，lgx0故选：B【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查3（4分）已知双曲线C：y21（b0）的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（）AyxByxCy3xDyx【分析】由题意可得c2，a1，可得b，可得双曲线的方程，进而得到双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线C：y21（b0）的焦距为4，可得c2，即1+b24，解得b，即有双曲线的方程y21，可得双曲线C的渐近线方程为yx，故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦距和渐近线，考查方程思想和运算能力，属于基础题4（4分）若抛物线xmy2的焦点到准线的距离为2，则m（）A4BCD
11、【分析】抛物线方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果【解答】解：抛物线xmy2，y2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得|2，解得m，故选：D【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键5（4分）在四棱锥OABCD中，底面ABCD是平行四边形，设，则可表示为（）A+B+2C+D+2【分析】可画出图形，根据条件可得出，从而得出，从而可得出【解答】解：如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是平行四边形，故选：D【点评】本题考查了向量加法的几何意义，向量的数乘运算，向量减法的几何意义，考查了推理和计算能力，属于基础题6（4分）椭圆的
12、焦点为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN长为，MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】运用椭圆的定义，可得4a20，解得a，再由直线垂直于x轴时，弦长最短，求出弦长，解得b，进而得到c，再由离心率公式，即可得到【解答】解：设椭圆方程为+1（ab0），则由椭圆的定义，可得，MF1+MF2NF1+NF22a，由于MF2N的周长为20，则4a20，即a5，过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，令xc，代入椭圆方程，解得，y，即有，解得，b29，c216，则离心率e故选：C【点评】本题考查椭圆的方程和性质及定义，考查离心率的求法，考查运算
13、能力，属于中档题7（4分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线被圆C：x2+y212x0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C的圆心，则该双曲线的方程为（）ABCD【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得a，b的关系式，由题意可得c6，再由a，b，c的关系可得a，即可点到所求双曲线的方程【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为bxay0，圆C：x2+y212x0的圆心C（6，0），半径r6，渐近线被圆C：x2+y212x0截得的弦长为8，可得822，解得d2，即有2，双曲线的右焦点为C的圆心，即c6，则b2，a4，可得双曲线的
14、方程为1故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查直线和圆相交的弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题8（4分）物线x24y上的点到直线y+x+50的距离的最小值是（）A3B2C1D0【分析】设抛物线x24y上一点为（2m，m2），利用点到直线的距离公式表示出距离，然后利用二次函数性质即可求得其最小值【解答】解：设抛物线x24y上一点为（2m，m2），点到直线y+x+50的距离d，当m时，取得最小值为1，故选：C【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，注意点到直线距离公式的灵活运用属于中档题9（4分）已知直线l：yk（x1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、
15、B两点，F为抛物线的焦点且满足|AF|2|BF|，则k的值是（）ABCD2【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，联立直线yk（x1）和抛物线y24x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到所求值【解答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），准线方程为x1，直线yk（x1）和抛物线y24x联立，可得k2x2（2k24）x+k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x22，x1x21，由抛物线的定义可得|AF|1x1，|BF|1x2，由|AF|2|BF|，可得1x12（1x2），即x12x21，代入可得x2（1舍去），x12，k故选：C【点
16、评】本题考查抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与抛物线的位置关系等知识，注意运用方程联立和韦达定理，属于中档题10（4分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线经过点F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A2B2C6D6【分析】设|PF1|m，|PF2|n，可设P在第二象限，椭圆和双曲线的焦点在x轴上，且它们的长半轴长为a1，实半轴长为a2，半焦距为c，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率公式和基本不等式，可得所求最小值【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，可设P在第二象限
17、，椭圆和双曲线的焦点在x轴上，且它们的长半轴长为a1，实半轴长为a2，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可得m+n2a1，m+n2a2，由线段PF1的垂直平分线经过点F2，可得n2c，则cam2c，可得e1，e2，则+24242，当且仅当2即mc时，上式取得最小值2，故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力和变形能力，属于中档题11（4分）给出下列选项中，能成为xy充分条件的是（）Axt2yt2B（x，y）是曲线x3y3x21上的点C0D（x，y）是双曲线x2y21上的点【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是xy，充分性即为所选答案推出
18、xy【解答】解：A由xt2yt2可知，t20，故xy故A对B（x，y）是曲线x3y3x21上的点，则（x，y）满足x3（x2+1）y3，故必然有x3y3，即xy故B对C.，则由函数y在区间（，0）上单调递减，可得yx0，即xy；故C也对；D（x，y）是双曲线x2y21上的点，x21y2，x2y2，但不一定有xy，比如，当x1时y0，所以xy，故D错故选：ABC【点评】本题考查了充分必要关系的判断：分析两个条件p和q是否具有推出关系，首先要简化条件，然后明确条件p是什么，结论q是什么，接着判断p是否成立，若“pq“成立，则p是q的充分条件，否则不是；同时判断“qp“是否成立，若成立，则p是q的必
19、要条件，否则不是，最后得出结论还考查了不等式的性质，属于综合题12（4分）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A若1t5，则C为椭图B若t1则C为双曲线C若C为双曲线，则焦距为4D若C为焦点在y轴上的椭圆，则3t5【分析】表示椭圆时5t0，t10，表示双曲线时（5t）（t1）0，【解答】解：A当t3时，表示圆，所以不正确；B当t1时，5t0，t10，表示双曲线，正确；C 当t0，时，表示双曲线，焦距不为4，所以不正确；D若表示焦点在y轴上的椭圆，则t15t0，即3t5，所以正确；故选：BD【点评】本题考查椭圆，双曲线的方程表示形式，简单的几何性质，属于基础题13（4分）下列说法
20、正确的是（）A椭圆1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B过双曲线1焦点的弦中最短弦长为C抛物线y22px上两点A（x1，y1）B（x2，y2），则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2D若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切【分析】直线和圆锥曲线相交带来的问题，只要联立方程，恰当利用韦达定理就可对四个选项做出判断【解答】解：A正确；设椭圆的左右顶点分别为A（a，0），B（a，0），椭圆上除左右顶点以外的任意一点P（m，n），kPAkPB，又点P（m，n）在椭圆上，n2（1）b2代入，得kPAkPB，B错误；设双曲线1右焦点F（c，0）直线与双曲线右支相交于A（x
21、1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为xc，则|AB|当直线AB斜率存在时，则直线AB方程为yk（xc），联立，得（b2a2k2）x2+2a2ck2xa2k2c2a2b20，得k或k，由焦半径公式可得|AB|AF|+|BF|e（x1+x2）2a2a2a2a，所以当直线AB与x轴垂直时，|AB|的长最小，即最小值为特别的当直线AB斜率存在且为0时，|AB|2a，所以|AB|最小值为或2aC正确；充分性：当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为：ykx+b，由，得k2x2+（2bk2p）x+b20，x1x2，又y22px（p0），x1x2，k，或k，直线AB方程为y
22、x+b（舍）或yx+b，当y0时，x当直线AB的斜率不存在时，直线AB方程为xx1，此时x1x2，又因为x1x2，所以x1x2x1x2弦AB经过焦点必要性：当直线AB经过抛物线的焦点F（，0）时，设过焦点的直线AB的方程为xmy+，代入y22px，可得y22pmyp20，由韦达定理得，y1y2p2x1x2弦AB经过焦点x1x2抛物线y22px上两点A（x1，y1）B（x2，y2），则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2D错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系故选：AC【点评】本题的关键是直线与圆锥曲线位置关系的判定，抛物线的性质和应用以及充要条件
23、的判断，解题时要认真审题，注意直线和抛物线位置关系的应用，合理地运用韦达定理进行求解二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）14（4分）若“x04，2，（）m”是真命题，则实数m的取值范围为m4【分析】因为 x04，2时，所以求出 取值范围即可，只需m大于等于它的最小值即可【解答】解：当 x04，2时，4，16“x04，2，（）m”是真命题m4故答案为：m4【点评】考查真命题的概念，指数函数的值域，一元二次不等式解的情况和判别式的关系，要熟悉二次函数的图象，并能结合图象解决问题15（4分）双曲线C：1（a0，b0）的左右焦点为F1，F2（|F1F2|2c），以坐标原点O为圆心，以
24、c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为【分析】不妨设P为右支上一点，设|PF1|m，|PF2|n，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得a，c的关系式，可得所求离心率【解答】解：不妨设P为右支上一点，设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得mn2a，由题意可得PF1F2为直角三角形，且F1PF290，可得m2+n24c2，且mna2，由（mn）2m2+n22mn4c24a24a2，即为ca，可得e，故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的性质，以及化简运算能力，属于中档题1
25、6（4分）设A，B分别是直线y2x和y2x上的动点，满足|AB|4，则A的中点M的轨迹方程为【分析】设出AB坐标，则可表示出M点坐标，再利用|AB|4即可得到M点轨迹方程【解答】解：设A（x1，2x1 ），B（x2，2x2 ），M（x，y），则AB中点M（，x1x2）所以x，yx1x2，又因为|AB|2（x1x2）2+（2x1+2x2）216，即y2+（4x）216，所以M的轨迹方程为，故答案为：【点评】本题考查点的运动轨迹方程，属于基础题17（4分）卵形线是需见曲线的一种，分笛卡尔卵用线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹某同学类比椭圆与双曲线
26、对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F1（c，0），F2（c，0）是平面内的两个定点，|PF1|PF2|a2（a是常数）得出卡西尼卵形线的相关结论：该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；若ac，则曲线过原点；若0ac，其轨迹为线段其中正确命题的序号是【分析】由题意设P（x，y）， a2，即（x+c）2+y2（xc）2+y2a4，对3个选项加以验证，即可得出结论【解答】解：由题意设P（x，y）， a2，即（x+c）2+y2（xc）2+y2a4，正确；因为把方程中的x被x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；把方程中的y被y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；把方程中的x被x代换，y被y 代
27、换，方程不变，故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形正确；若ac，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点错误；（|PF1|+|PF2|）min2c，（当且仅当，|PF1|PF2|c时取等号），（|PF1|PF2|）minc2，若0ac，则曲线不存在故答案为：【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是关键三、解答题本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握，）18（13分）已知Ax|x24ax+3a20，a0，Bx|x2x60，若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】先求出关于A，B的解集，再根据充分必要条件的定义进行判断即可【解答】
28、解：由题意得Ax|x24ax+3a20，a0x|xa或x3a，a0，Bx|（x+2）（x3）0x|x3或x2，若”xA”是“xB“的必要不充分条件，则BA，则，解得0a1；故实数a的取值范围是（0，1）【点评】本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题19（13分）已知p：方程x2+y24x+m20表示圆：q：方程1（m0）表示焦点在y轴上的椭圆（）若p为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围【分析】（）根据方程x2+y24x+m20表示圆，方程1（m0）表示焦点在y轴上的椭圆列出不等式进行求解即可；（）p，q一真一假，然后根据条件进行
29、求解即可求实数m的取值范围【解答】解：（）命题p：方程x2+y24x+m20，（x2）2+y24m2，4m20且m0，实数m的取值范围：0m2（）命题q：方程1（m0）表示焦点在y轴上的椭圆0m3当p为真，q为假时，无解，当p为假，q为真时，解得2m3综上，实数m的取值范围为：2，3）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据圆和椭圆的特点求出命题的等价条件是解决本题的关键，是中档题20（14分）已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求弦AB的长【分析】（1）由已知可得：2c4，b2，a2b2+c2，联立解得
30、即可得出（2）直线l的方程为：y1x+2，即yx+3设A（x1，y1），B（x2，y2）与题意方程联立化为：4x2+18x+150，利用弦长公式|AB|即可得出【解答】解：（1）由已知可得：2c4，b2，a2b2+c2，联立解得：c2，b2，a212椭圆C的标准方程为1（2）直线l的方程为：y1x+2，即yx+3设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：4x2+18x+150，x1+x2，x1x2，|AB|【点评】本题考查了题意的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（14分）已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过
31、点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点（）若k1，求DAB的面积；（）若，证明：+为定值【分析】（）由直线与抛物线联立得x26x+10，于是|AB|x1+x2+28求得点D到直线x+y10的距离d即可得S4；（）设直线l：yk（x1）联立可得ky24y4k0，由，可得，即可得+（定值）【解答】解：（）：由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，所以直线PF的方程为y（x1），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由直线与抛物线联立得x26x+10，所以x1+x26，x1x21于是|AB|x1+x2+28点D到直线x+
32、y10的距离d，所以S4；（）证明：设直线l：yk（x1）则P（1，2k），联立可得ky24y4k0，所以（1x1，y1）（x21，y2），（1x1，2ky1）（x2+1，y2+2k），+（定值）【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，以及向量的线性运算，属于中档题22（14分）已知点P到直线y4的距离比点P到点A（0，1）的距离多3（）求点P的轨迹方程：（）经过点Q（0，2）的动直线l与点P的轨交于M，N两点，是否存在定点R使得MRQNRQ？若存在，求出点R的坐标：若不存在，请说明理由，【分析】（1）根据条件可知P到A（0，1）的距离与它到直线y1的距离相等，进而得到它的轨迹
33、为抛物线；（2）利用对称性可得R在y轴上，设为R（0，t），再结合MRQNRQ则kRM+kRN0，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系可得，进而得t的值【解答】解：（1）因为点P到A（0，1）的距离比它到直线y4的距离小3，所以点P在直线y4的上方，点P到A（0，1）的距离与它到直线y1的距离相等所以点P的轨迹C是以A为焦点，y1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x24y；（2）当动直线l的斜率为0时，由对称性可得R在y轴上，设为R（0，t），设直线l的方程为ykx+2，联立，整理得x24kx80，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x24k，x1x28，所以kRM+kRN0，因为k
34、0，所以t2，则R（0，2），综上，R的坐标（0，2）【点评】本题考查点的运动轨迹，角相等恒成立问题，属于中档题23（14分）已知椭圆C1：+y21的左右顶点是双曲线C2：的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为（）求双曲线C2的方程；（）若直线与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且5，求|M1M2|的取值范围【分析】（）由椭圆的顶点可得a23，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b1，进而得到双曲线的方程；（）设出直线l的方程，联立双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，求得m，k的关系式，再由直线方程和椭圆
35、方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求范围【解答】解：（）由椭圆C1：+y21的左右顶点为（，0），（，0），可得a23，又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bxay0的距离为，由点到直线的距离公式有可得b1，所以双曲线C2的方程为y21；（）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx+m，代入y21，消去y并整理得（13k2）x26kmx3m230，要与C2相交于两点，则应有，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x2，x1x2又x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，又5，所以有（1+
36、k2）（3m23）+6k2m2+m2（13k2）5m219k2，将ykx+m，代入+y21，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m230，要有两交点，则36k2m24（1+3k2）（3m23）03k2+1m2由有：0k2设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x4，x3x4所以|M1M2|，又m219k2，代入有：|M1M2|M1M2|M1M2|12，令tk2，则t（0，令f（t）f（t），又t（0，所以f（t）0在t（0，内恒成立，故函数f（t）在t（0，内单调递增，故f（t）（0，则有|M1M2|（0，【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的
37、运用，同时考查直线和椭圆及双曲线方程联立，运用韦达定理及弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于难题四、附加题本小题满分0分，计入总分）24如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路
38、面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明【分析】设P（，y0）为抛物线上一点，法线与x轴交于M，反射光线为PN，F为抛物线的焦点，分别计算PF，PM的斜率，根据角的正切值证明NPM+PMx即可【解答】解：远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行证明：不妨设抛物线方程为：y22px（p0），焦点为F，P为抛物线上一点，FP的反射光线为PN，如图所示：设抛物线过点P的切线为直线l，法线交x轴于M，由光的反射性质可知FPMMPN，由y22px，不妨设P在第一象限，P（，y0），当y00时，直线l与y轴重合，显然PN与x轴重合，当y00时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：yk（x）+y0，代入抛物线方程可得：ky22pyky02+2py00，令4p24k（2py0ky02）0可得k，故法线PM的斜率为不妨设P在第一象限，设PMx，PFM，NPM，则tan，tan，tantanFPMtan（）tan+tan0，故+，PNx轴【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题