1、2019-2020学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）椭圆的一个焦点坐标为（）A（7，0）B（0，7）C（1，0）D（0，1）2（5分）数列an为等差数列，Sn为其前n项和，若a4+a920，则S12（）A120B60C80D2403（5分）在各项均为正数的等比数列an中，a52，则a3+a7（）A有最小值3B有最小值4C有最大值3D有最大值44（5分）从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60，那么此椭圆的离心率（）ABCD5（5分）已知命题p：存在xR，x2+ax+4a0若命题
2、p是假命题，则实数a的取值范围是（）A16a0B4a0C0a4D0a166（5分）an是等比数列，若“m+np+q（m，n，p，qN+）”是“amanapaq”成立的充分必要条件，则数列an可以是（）递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列ABCD7（5分）设函数f（x）x2x1，若关于x的不等式在区间2，m上恒成立，则实数m的取值范围是（）A（2，3B2，3C（0，3D（2，38（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则MF1N的周长为（）A8B10C16D229（5分）已知数列an的通项公式ann2+12n35，其前n项
3、和为Sn，若mn，则SmSn的最大值是（）A1B3C5D710（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足F1PF290，则m的取值范围是（）A（0，832，+）B（0，432，+）C（0，48，+）D（0，416，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上）11（5分）已知，则函数f（x）x（14x）的最大值为 12（5分）已知等比数列an中a41，若，则a1+a3+a5+a7 13（5分）下列命题中正确的序号是 “ab”是“a2b2”的充要条件；若ab0，则x（x，y）|x|a，|y|b是的充分必要条件；命题“对任意xR，有x20”的否定是
4、“存在xR，有x20”；若p：x5，q：1x5，则p是q成立的必要不充分条件14（5分）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|10，过F1作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则|OM|的长为 三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15（12分）设m是实数，已知命题p：x0R，使函数f（x）x22x+m2+3m3满足f（x0）0；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围16（12分）已知函数f（x）x2+2axb（1）若b8a2，求不等式
5、f（x）0的解集；（2）若a0，b0，且f（b）b2+b+a，求a+b的最小值17（12分）已知椭圆的长轴两端点为A1，A2，离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，且|A1F1|A2F1|1（1）求椭圆的标准方程；（2）设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程18（14分）若各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，且Sn2+4Sn3Tn，nN*（1）证明数列an是等比数列，并求an的通项公式；（2）设bn（n+1）log2an，是否存在正整数k，使得k对于nN*恒成立若存在，求出正整数k的最
6、小值；若不存在，请说明理由2019-2020学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）椭圆的一个焦点坐标为（）A（7，0）B（0，7）C（1，0）D（0，1）【分析】直接利用椭圆方程求解椭圆的焦点坐标即可【解答】解：椭圆的焦点在y轴上的椭圆，a5，b2，c1，椭圆的焦点坐标是（0，1），故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力2（5分）数列an为等差数列，Sn为其前n项和，若a4+a920，则S12（）A120B60C80D240【分析】由等差数列前n项和公式
7、和通项公式 得S12（a1+a12）6（a4+a9），由此能求出结果【解答】解：数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a4+a920，S12（a1+a12）6（a4+a9）620120故选：A【点评】本题考查等差数列的前12项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）在各项均为正数的等比数列an中，a52，则a3+a7（）A有最小值3B有最小值4C有最大值3D有最大值4【分析】利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，a52，则a3+a722a54，当且仅当q1时取等号故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质、基本不
8、等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60，那么此椭圆的离心率（）ABCD【分析】利用椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，若CA2B60，求出a，b的关系，利用a2c2b2求出a，c的关系，求出椭圆的离心率即可【解答】解：因为椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点，CA2B60，所以ba，即3b2a2，又a2c2b2，2a23c2，解得e；故选：B【点评】本题考查椭圆的基本性质，注意椭圆中元素的几何意义，考查计算能力5（5分）已知命题p：存在xR，x2+ax+4a0若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A16a0B4a0C0
9、a4D0a16【分析】写出原命题的否定，由命题p是假命题，得p为真命题，再由判别式法求解【解答】解：命题p：存在xR，x2+ax+4a0，则p：任意xR，x2+ax+4a0，命题p是假命题，p：任意xR，x2+ax+4a0是真命题，则a216a0，即0a16故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定，考查数学转化思想方法，是中档题6（5分）an是等比数列，若“m+np+q（m，n，p，qN+）”是“amanapaq”成立的充分必要条件，则数列an可以是（）递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列ABCD【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定可知，若“m+np+q（m，n
10、，p，qN+）”是“amanapaq”成立的充分必要条件，则数列an不可以是常值数列【解答】解：数列an是等比数列，若m+np+q（m，n，p，qN+），则一定有amanapaq；即对于任意等比数列，一定有“m+np+q（m，n，p，qN+）”是“amanapaq”成立的充分条件，反之，在等比数列an中，若“m+np+q（m，n，p，qN+）”是“amanapaq”成立的必要条件，即由amanapaq，一定得到m+np+q（m，n，p，qN+），则等比数列的公比不等于1，如数列2，2，2，由a2a3a5a64，不能得到2+35+6数列an可以是递增数列；递减数列；摆动数列；不能是常值数列故选：
11、C【点评】本题考查充分必要条件的判断及应用，考查等比数列的性质，是中档题7（5分）设函数f（x）x2x1，若关于x的不等式在区间2，m上恒成立，则实数m的取值范围是（）A（2，3B2，3C（0，3D（2，3【分析】根据不等式在区间2，m上恒成立，结合二次函数的图象计算即可【解答】解：f（x）x2x1（x）2，而f（2）5，f（），由题知m，又函数f（x）在（，m）上递增，令f（m）5，解得：m3故得实数m的取值范围是（2，3故选：A【点评】本题主要考查了函数解析式，恒成立问题的求解，转化思想的应用，二次函数闭区间上的最值以及单调性的应用8（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内
12、任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则MF1N的周长为（）A8B10C16D22【分析】利用已知条件结合椭圆的性质，转化求解即可【解答】解：椭圆的左右焦点为F1，F2，可得a3，c1，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，如图：则MF1N的周长为：MF1+MN+F1N2（F1P+PF2+F1F2）2（2a+2c）16故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查数形结合以及计算能力9（5分）已知数列an的通项公式ann2+12n35，其前n项和为Sn，若mn，则SmSn的最大值是（）A1B3C5D7【分析】根据数列的通
13、项公式，求得数列的前4项为负值，从第8项开始也全部为负，因此，S6S5最大【解答】解：由ann2+12n350，得n5或n7，即a5a70，又函数f（n）n2+12n35的图象开口向下，所以数列前4项为负，当n7时，数列中的项均为负数，在mn的前提下，SmSn的最大值是S6S5a662+126351故选：A【点评】本题考查了数列的函数特性，解答的关键是分清在mn的前提下，什么情况下Sn最大，什么情况下Sn最小，题目同时考查了数学转化思想10（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足F1PF290，则m的取值范围是（）A（0，832，+）B（0，432，+）C（0，48，+）D（0
14、，416，+）【分析】对焦点分类讨论，C点为椭圆短轴的端点时，F1PF2取得最大角，进而得出结论【解答】解：若焦点在x轴上时，C点为椭圆短轴的端点时，F1PF2取得最大角，设F1PF2，则cos，解得0m8若焦点在y轴上时，C点为椭圆短轴的端点时，F1PF2取得最大角，设F1PF2，则cos，解得m32综上可得：m的取值范围是（0，832，+）故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、分类讨论方法、三角函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上）11（5分）已知，则函数f（x）x（14x）
15、的最大值为【分析】根据即可求出14x0，从而根据基本不等式即可求出，从而得出，从而得出f（x）的最大值【解答】解：，04x1，14x0，当且仅当4x14x，即时取等号，f（x）的最大值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式求最值的应用，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题12（5分）已知等比数列an中a41，若，则a1+a3+a5+a76【分析】等比数列an中a41，根据，可得+6，即可得出【解答】解：等比数列an中a41，若，则+6，a1+a3+a5+a766故答案为：6【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）下列命题中正
16、确的序号是“ab”是“a2b2”的充要条件；若ab0，则x（x，y）|x|a，|y|b是的充分必要条件；命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”；若p：x5，q：1x5，则p是q成立的必要不充分条件【分析】由不等式的性质及充分必要条件的判定方法判断；画出图形，结合充分必要条件的判定方法判断；写出全称命题的否定判断【解答】解：对于，由ab，不一定有a2b2，反之也不成立，“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故错误；对于，由ab0，可得集合（x，y）|x|a，|y|b与（x，y）|表示的平面区域如图：由x（x，y）|x|a，|y|b不能得到，反之成立，则x（x，y）|x
17、|a，|y|b是的充分必要条件，故错误；对于，命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”故正确；对于，由x5，不能得到1x5，反之成立，则p是q成立的必要不充分条件，故正确正确命题的序号是故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题的否定，考查充分必要条件的判定，是中档题14（5分）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|10，过F1作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则|OM|的长为2【分析】利用椭圆的性质求出|PF1|，利用几何法求出|OM|即可【解答】解：延长F1M，延长PF2，交于N，则|F1M|MN|，|PF1|PN|10，又根
18、据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|2a2816，所以|PF2|6，|F2N|PN|PF2|1064，根据OM是三角形F1NF2的中位线可得|OM|2，故答案为：2【点评】考查椭圆的性质的应用，本题关键是作辅助线，中档题三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15（12分）设m是实数，已知命题p：x0R，使函数f（x）x22x+m2+3m3满足f（x0）0；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围【分析】（1）由p为真，得f（x）x22x+m2+3m3的图象与x轴
19、有两个交点，由判别式大于0求解m的取值范围；（2）求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的m的取值范围，再由补集与交集思想求解命题p，q均为假命题的实数m的取值范围【解答】解：（1）当命题p为真时，由f（x0）0可知函数f（x）x22x+m2+3m3的图象与x轴有两个交点即0，即44（m2+3m3）0，则m2+3m40，解得4m1；（2）当命题q为真时，即方程表示焦点在x轴上的椭圆，5m12m0，得当p为假命题时，m4或m1当命题q为假命题时，或m2因此当命题p为假命题，q为假命题时，解得m4或m2故实数m的取值范围为m|m4或m2【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点的判定与椭圆的标准方
20、程，是中档题16（12分）已知函数f（x）x2+2axb（1）若b8a2，求不等式f（x）0的解集；（2）若a0，b0，且f（b）b2+b+a，求a+b的最小值【分析】（1）由题意可得f（x）x2+2ax8a2，然后结合二次不等式的求法，进行分类讨论可求；（2）把xb代入函数f（x），然后结合已知条件可求得，进行1的代换后利用基本不等式即可求解【解答】解：（1）因为b8a2，所以f（x）x2+2ax8a2，由f（x）0，得x2+2ax8a20，即（x+4a）（x2a）0，当a0时，不等式f（x）0的解集为x|x0；当a0时，不等式f（x）0的解集为x|4ax2a；当a0时，不等式f（x）0的解
21、集为x|2ax4a；综上所述，不等式f（x）0的解集为：当a0时解集为x|x0，当a0时解集为x|4ax2a，当a0时，解集为x|2ax4a；（2）因为f（b）b2+2abb，由已知f（b）b2+b+a，可得2aba+2b即，由（当且仅当，即，时取等号）所以a+b的最小值为【点评】本题主要考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，还考查了利用1的代换，利用基本不等式求解最值，属于中档试题17（12分）已知椭圆的长轴两端点为A1，A2，离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，且|A1F1|A2F1|1（1）求椭圆的标准方程；（2）设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y
22、轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程【分析】（1）利用已知条件求出a2，b1，代入即可；（2）根据斜率之和等于4，求出k，代入直线方程求出即可【解答】（1）由题意可知A1（a，0），A2（a，0），F1（c，0），以及|A1F1|A2F1|1可知（a+c）（ac）b21，解得a24椭圆的标准方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为ykx+4联立，得（4k2+1）x2+32kx+600则，由，解得k30，直线AB的方程为y30x+4【点评】考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，中档题18（14分）若各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，数
23、列an2的前n项和为Tn，且Sn2+4Sn3Tn，nN*（1）证明数列an是等比数列，并求an的通项公式；（2）设bn（n+1）log2an，是否存在正整数k，使得k对于nN*恒成立若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）由对数的运算性质可得bn，求得，由数列的裂项相消求和可得得，再由不等式恒成立思想，可得所求最小值【解答】解：（1）证明：Sn2+4Sn3Tn，Sn+12+4Sn+13Tn+1，由数列an的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn及得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）+4（Sn+1Sn）3（Tn
24、+1Tn），即为an+1（Sn+1+Sn+4）3an+12，由an+10，可得（Sn+1+Sn）+43an+1，从而当n2时，（Sn+Sn1）+43an，得Sn+1Sn13an+13an，即an+1+an3an+13an，所以an+12an，an0，令n1，得，a10，a12当n2时，由（2+a2）2+4（2+a2）3（4+a22），得，由a20知a24，此时数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，且（2）bn（n+1）log2an（n+1）log22nn（n+1），假设存在正整数k，使得对于nN*恒成立，可得k1，即k的最小值为1【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题