1、2018-2019学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（）A3种B6种C8种D9种2（5分）已知函数f（x）sinxcosx，则（）ABCD3（5分）设随机变量，则D（X）（）ABCD34（5分）已知，则m等于（）A1B4C1或3D3或45（5分）两名男生和两名女生随机站成一排照相，则两名男生相邻的概率为（）ABCD6（5分）已知函数yf（x）的图象如图所示，则它的导函数yf（x）的图象可以是（）ABCD7（5分）某机构为研究学生玩电脑游戏和
2、对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如表所示：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏251540不喜欢玩电脑游戏253560总计5050100（参考公式，可能用到数据：P（X26.635）0.01，P（X23.841）0.05），参照以上公式和数据，得到的正确结论是（）A有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关B有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关C有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关D有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关8（5分）袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第
3、一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为（）ABCD9（5分）由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（）A72B60C48D1210（5分）若函数f（x）exaxb在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（）A（1，0）B（0，1）C（，1）D（1，+）11（5分）已知函数f（x）ax2+2xex，若对m，n（0，+），mn，都有成立，则a的取值范围是（）AB（，1CD（，e12（5分）杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律设f（n）（a+b）n（nN*，n2
4、），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列则称f（n）具有性质P如f（7）（a+b）7的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f（7）具有性质P若存在n25，使f（n）具有性质P，则n的最大值为（）A22B23C24D25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知离散型随机变量X的分布列为x123Pm则m 14（5分）已知，则a1+a2+a7 15（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（2）2，若对xR，f（x）3，则不等式f（x）3x+4的解集为 16（5分）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，
5、先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为q，则qp取得最大值时p 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列（1）求展开式的二项式系数的和；（2）求展开式中含x2的项18（12分）已知函数f（x）9xx2lnx（1）求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）设g（x）f（x）+lnx，M（t，g（t）是曲线g（x）上的任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，当x（0，9）时，求OMN面积的最大值19（12分）某厂生产A产品的产量x（件）与相应的耗电量y（度）的统
6、计数据如下表所示：x23456y23578经计算：的相关系数；（结果保留两位小数）并预测生产10件产品所耗电的度数（1）计算（2）求y关于x的线性回归方程（xi，yi）（i1，2，3，4，5）（1）计算（xi，yi）（i1，2，3，4，5）的相关系数；（结果保留两位小数）（2）求y关于x的线性回归方程并预测生产10件产品所耗电的度数附：相关系数r，20（12分）某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果分别为6，8，9，9，9.5，10已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克，不超过9.8千克为“标准体重”，否则为“不标准体重”（1）根据样本估计总体思想，
7、将频率视为概率，若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重，则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少？（2）从抽取的6名婴儿中，随机选取4名，设X表示抽到的“标准体重”人数，求X的分布列和数学期望21（12分）某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩（1）通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N（，2），其中66，2144，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知小强已通过初试，他
8、在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响记小强复试成绩为y，求y的分布列及数学期望附：pX+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.997422（12分）已知函数.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）判断函数f（x）能否有3个零点？若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由2018-2019学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（）A3种B6种C8种D9种【分析】根据题意
9、，分析可得2封信中，每一封信都有3种投法，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，2封信随意投入3个邮箱，每一封信都有3种投法，则一共有339种不同的投法；故选：D【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与排列、组合的区别2（5分）已知函数f（x）sinxcosx，则（）ABCD【分析】根据题意，将x代入函数的解析式，计算可得答案【解答】解；根据题意，函数f（x）sinxcosx，则sincos；故选：B【点评】本题考查函数值的计算，涉及三角函数的求值，属于基础题3（5分）设随机变量，则D（X）（）ABCD3【分析】利用二项分布的性质直接求解【解答】解：随机变量，D（X）1
10、2故选：B【点评】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知，则m等于（）A1B4C1或3D3或4【分析】由组合数公式的性质建立方程进行求解即可【解答】解：由，得m2m1或m+2m18得m1或m3，故选：C【点评】本题主要考查组合数公式的性质的应用，结合组合数公式是解决本题的关键5（5分）两名男生和两名女生随机站成一排照相，则两名男生相邻的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n，两名男生相邻包含的基本事件个数m12，由此能求出两名男生相邻的概率【解答】解：两名男生和两名女生随机站成一排照相，基本事件总数n，两名男生相邻包含的基本
11、事件个数m12，则两名男生相邻的概率为p故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）已知函数yf（x）的图象如图所示，则它的导函数yf（x）的图象可以是（）ABCD【分析】根据题意，由f（x）的图象分析其单调性，对应可得其导数的符号，分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，由f（x）的图象分析可得：在y轴左侧，函数f（x）先减再增，最后为减函数，其导数对应为先负后正，最后为负，即导数图象先在x轴下方，后在x轴上方，最后在x轴下方；在y轴右侧，函数f（x）为增函数，其导数对应为正，即导数图象在x轴上方；据此分析选项，D符合；故选：D【
12、点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题7（5分）某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如表所示：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏251540不喜欢玩电脑游戏253560总计5050100（参考公式，可能用到数据：P（X26.635）0.01，P（X23.841）0.05），参照以上公式和数据，得到的正确结论是（）A有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关B有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关C有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关D有99%的
13、把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关【分析】计算观测值k2，结合临界值表可得结论【解答】解：k24.1673.841，所以有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关故选：A【点评】本题考查了独立性检验，属中档题8（5分）袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为（）ABCD【分析】记事件A为“第一次取到蓝球”，事件B为“第二次取到红球”，则事件AB为“第一次取到蓝球、第二次取到红球”，利用条件概率计算公式求出在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率【解答】解：记事件A为“第一次取到蓝球”，事件B为“
14、第二次取到红球”，则事件AB为“第一次取到蓝球、第二次取到红球”，根据题意知，P（A），P（AB），在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率是：P（B|A）故选：D【点评】本题考查了条件概率的计算问题，是基础题9（5分）由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（）A72B60C48D12【分析】先不考虑零的特殊性将这六个数奇偶数字相间的排列共有2（A33）272，其中0排在首位的有A33A2212，把不合题意的舍去得到结果【解答】解：将这六个数奇偶数字相间的排列共有2（A33）272，其中0排在首位的有A33A2212，把不合题意的舍去得到符合题设的有7
15、21260，故选：B【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查数字的排列组合问题，这是一个典型的排列组合问题，本题是一个易错题，易错点在忽略零的特殊性10（5分）若函数f（x）exaxb在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（）A（1，0）B（0，1）C（，1）D（1，+）【分析】函数f（x）exaxb在R上有小于0的极值点，令f（x）exa0，此方程存在小于0的解【解答】解：函数f（x）exaxb在R上有小于0的极值点，令f（x）exa0，则a0，此方程存在小于0的解解得xlna0，a10a1实数a的取值范围是（0，1）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，
16、考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）已知函数f（x）ax2+2xex，若对m，n（0，+），mn，都有成立，则a的取值范围是（）AB（，1CD（，e【分析】根据条件将问题转化为yf（x）2x在（0，+）单调递增，进一步转化为a在（0，+）上恒成立问题，求出函数y的最小值即可【解答】解：f（x）对m，n（0，+），mn，都有成立，f（x）对m，n（0，+），mn，都有f（m）2mf（n）2n，令g（x）f（x）2xax2ex，则g（x）在（0，+）上单调递减，g（x）2axex0，在（0，+）上恒成立，a在（0，+）上恒成立，令h（x）（x0），则h（x），令h（x）0，则x1，当x
17、1时，h（x）0，此时h（x）递增；当0x1时，h（x）0，此时h（x）递减，要使a在（0，+）上恒成立，只需a，a的取值范围为：（，故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，关键是将问题转化为恒成立问题，属中档题12（5分）杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律设f（n）（a+b）n（nN*，n2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列则称f（n）具有性质P如f（7）（a+b）7的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f（7
18、）具有性质P若存在n25，使f（n）具有性质P，则n的最大值为（）A22B23C24D25【分析】假设存在kN*，1kn1，使C，C，C成等差数列，所以C+C2C，整理得：4k24nk+n2n20，即（2kn）2n+2，根据n+2为完全平方数，且n25可得n的最大值为23【解答】解：若存在n25，使f（n）具有性质P，假设存在kN*，1kn1，使C，C，C成等差数列，所以C+C2C，利用组合数公式整理得：4k24nk+n2n20，即（2kn）2n+2，所以n+2为完全平方数，又n25，25+227不是完全平方数，24+226也不是完全平方数，23+225是完全平方数所以n的最大值为23故选：B
19、【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知离散型随机变量X的分布列为x123Pm则m【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质能求出m的值【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：1，解得m故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量X的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）已知，则a1+a2+a71【分析】在所给的等式中，先令x0，求得a01，再令x1，可得a1+a2+a7的值【解答】解：已知，令x0，可得a01再令x1，可得1+a1+a2+a70，a1+a2+a71，故答案为：1【点评
20、】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（2）2，若对xR，f（x）3，则不等式f（x）3x+4的解集为（，2）【分析】根据题意，设g（x）f（x）3x4，求出其导数分析可得g（x）在R上为减函数，由f（2）的值分析可得g（2）0，进而可得f（x）3x+4f（x）3x40g（x）g（2），分析可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，设g（x）f（x）3x4，其导数g（x）f（x）3，又由对xR，f（x）3，则g（x）0，即g（x）在R上为减函数，又由f（2）2，则g（2）f（2）+640，则f（x）
21、3x+4f（x）3x40g（x）g（2），分析可得：x2，即不等式的解集为（，2）；故答案为：（，2）【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数g（x），并分析g（x）的单调性16（5分）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为q，则qp取得最大值时p【分析】如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲前二局全胜；前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，然后结合导数可求qp取得最大值时p的值【解答】解：解：如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲前二局全胜；前二局甲一胜一
22、负，第三局甲胜，qp2+2p2（1p）2p3+3p2，（0p1），令f（p）qp2p3+3p2p（0p1），f（p）6p2+6p1，令6p2+6p10可得，p，0p1，当p（0，）时，f（p）单调递减，当p（，）时，f（p）单调递增，当p（，1）时，f（p）单调递减，当p，f（p）有最大值f（）故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列（1）求展开式的二项式系数的和；（2）
23、求展开式中含x2的项【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出前三项的系数，再根据前三项的系数成等差数列，求得n的值，可得展开式的二项式系数的和为2n 的值（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x2的项【解答】解：（1）已知的展开式中的通项公式为 Tr+1，故它的前三项的系数为 ，前三项的系数成等差数列，+2，n8，或 n1（舍去）展开式的二项式系数的和为2n28256（2）在通项公式为 Tr+1中，令n82，求得r4，故展开式中含x2的项为T5x2x2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题1
24、8（12分）已知函数f（x）9xx2lnx（1）求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）设g（x）f（x）+lnx，M（t，g（t）是曲线g（x）上的任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，当x（0，9）时，求OMN面积的最大值【分析】（1）根据题意，求出函数f（x）的导数，进而计算可得f（1）与f（1）的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，即可得答案；（2）根据题意，求出g（x）的解析式，进而求出g（t）的值，据此可得OMN面积S的表达式，求出S（t）的导数，分析S（t）的单调性，据此分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，f（x）9xx2lnx，则f（x）92x；则f（1）6
25、，f（1）8，则曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y86（x1），变形可得：6xy+20；（2）g（x）f（x）+lnx9xx2，则g（t）9tt2，（t0）则OMN面积S|ON|MN|t（9tt2）t3+，其导数S（t）9t，令S（t）0，解可得t0或6，又由t（0，9），即t6，分析可得：在（0，6）上，S（t）0，即S（t）为增函数，在（6，9）上，S（t）0，即S（t）为减函数，则S（t）的最大值为S（6）54，OMN面积的最大值为54【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及切线的方程，关键是掌握导数的几何意义19（12分）某厂生产A产品的产量x（件）与相应的耗电量y（度）
26、的统计数据如下表所示：x23456y23578经计算：的相关系数；（结果保留两位小数）并预测生产10件产品所耗电的度数（1）计算（2）求y关于x的线性回归方程（xi，yi）（i1，2，3，4，5）（1）计算（xi，yi）（i1，2，3，4，5）的相关系数；（结果保留两位小数）（2）求y关于x的线性回归方程并预测生产10件产品所耗电的度数附：相关系数r，【分析】（1）由已知表格中的数据求得，再由相关系数公式求解相关系数r的值；（2）利用相关公式求得与的值，得到线性回归方程，取x10求得y值，即可预测生产10件产品所耗电的度数【解答】解：（1）由已知表格中数据可得，则r；（2），线性回归方程为关键
27、线性回归方程预测，当生产10件产品时，消耗的电量度数为：【点评】本题考查相关系数的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题20（12分）某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果分别为6，8，9，9，9.5，10已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克，不超过9.8千克为“标准体重”，否则为“不标准体重”（1）根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重，则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少？（2）从抽取的6名婴儿中，随机选取4名，设X表示抽到的“标准体重”人数，求X的分布列和数学期望【分析】（1）使
28、用独立重复试验的概率公式可得；（2）根据超几何分布的概率公式可得【解答】解：（1）抽取的6名婴儿中“标准体重”的频率为，故从该地区中任取1名婴儿为“标准体重“的概率为：设”在该地区8个月龄婴儿中任取3名，至少2名为“标准体重”的事件为A，则P（A）C（）2（）1+C（）3（）0（2）由题意知，X的可能取值为2，3，4， P（X2），P（X3），P（X3），X的分布列为：X234 P E（X）2（或E（X）【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题21（12分）某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如
29、下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩（1）通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N（，2），其中66，2144，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响记小强复试成绩为y，求y的分布列及数学期望附：pX+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974【分析】（1）推导出P（X90）P（X+2），由此能估计不低于90分的人数（2）Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7，分别求出相应的概率，由
30、此能求出Y的分布列和E（Y）【解答】解：（1）学生初试成绩X服从正态分布N（，2），其中66，2144，+266+21290，P（X90）P（X+2）（10.9544）0.0228，估计不低于90分的人数为0.02285000114人（2）Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7，则P（Y0），P（Y2），P（Y3），P（Y4），P（Y5），P（Y7），Y的分布列为： Y 0 2 3 4 5 7 P E（Y）+【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知函数.（1）讨论函数f（x）的
31、单调性；（2）判断函数f（x）能否有3个零点？若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由【分析】（1）.x（0，+）f（x）x（a+1）+对a分类讨论，即可得出单调性（2）若函数f（x）能有3个零点，则0a1，或a1分别利用导数研究其极大值，进而得出结论【解答】解：（1）.x（0，+）f（x）x（a+1）+若a0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增若0a1，则函数f（x）在（0，a），（1，+）上单调递增，在（a，1）上单调递减若a1，则f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增若a1，则函数f（x）在（0，1），（a，+）上单调递增，在（1，a）上单调递减（2）
32、若函数f（x）能有3个零点，则0a1，或a1若a1，由（1）可知：函数f（x）在x1处取得极大值，在xa处取得极小值，而f（1）0，函数f（x）不可能有有3个零点，舍去若0a1，由（1）可知：函数f（x）在x1处取得极小值，在xa处取得极大值，f（1）0而f（a）a2+alnaa（a+lna）令g（x），g（x），可得函数g（x）在xe处取得极大值，g（e）x+lnx0，故f（a）a（a+lna）0函数f（x）不可能有有3个零点，舍去综上可得：函数f（x）不可能有3个零点【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题