1、2018-2019学年山东师大附中高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设mR，复数zm21+（m1）i表示纯虚数，则m的值为（）A1B1C1D02（5分）设复数z满足（1+i）zi2019，则复数z的虚部为（）ABCD3（5分）在复平面内，若复数z3+4i，则复数的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4（5分）如果函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则以下关于函数yf（x）的判断：在区间（2，2）内单调递增； 在区间（2，4）内单调递减；在区间（2，3）内
2、单调递增； x3是极小值点；x4是极大值点其中正确的是（）ABCD5（5分）已知向量（1，1，0），（1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A1BCD6（5分）从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（）A9种B12种C54种D72种7（5分）已知正四面体ABCD，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线MN与直线AC所成角的大小为（）A30B45C60D1358（5分）曲线f（x）exlnx在x1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）ABCeD2e9（5分）已知函数f（x）x3ax2+（a+6）x有极值，则实数a的取值范围是（）A
3、（3，6）B（，36，+）C（，3）（6，+）D3，610（5分）近期20所高校要来山师附中进行高考招生政策宣讲，学校办公室要从小郑、小赵、小李、小汤、小王5名工作人员中选派4人分别从事接待、礼仪、保卫、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A48种B36种C18种D12种11（5分）已知，则f（1）（）A2017B2018C2019D202012（5分）已知函数，x0，x1，x2R，使得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）Ae，+）B（，eC（e，+）D（，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
4、.13（5分）已知，则n的值为 14（5分）已知函数f（x）是奇函数，f（2）0，当x（，0）时，f（x）+xf（x）0，则不等式f（x）0的解集为 15（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，AB与平面BCD所成角的大小为60ACD是等边三角形AB与CD所成的角为60ACBD二面角BACD为120则上面结论正确的为 16（5分）已知函数f（x）exax，函数，若不存在x1，x2R，使f（x1）g（x2），则实数a的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）求下列函数在指定点的导数（1），x1；（2）y，x18（1
5、2分）某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具x千件并全部销售完，每千件的销售收入为F（x）万元，且满足函数关系：（1）写出年利润G（万元）关于该新型玩具年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？19（12分）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，E为BB1中点，F为AD中点（1）证明：BF平面AED1；（2）若直线AC与平面AED1所成的角为60，求AA1的长20（12分）已知函数f（x）x2ax+blnx（1）若函数f（x）在P（1，2）处的切
6、线与直线x+2y+10垂直，求函数f（x）的单调区间及函数f（x）在上的最大值和最小值；（2）若b1时，函数f（x）在区间1，2上是减函数，求实数a的取值范围21（12分）在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求二面角BPCD的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）x（ex1）ax2，（aR）（1）若，求f（x）的极值；（2）若x0时，f（x）0，求实数a的取值范围2018-2019学年山东师大附中高二（下）期中
7、数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设mR，复数zm21+（m1）i表示纯虚数，则m的值为（）A1B1C1D0【分析】z表示纯虚数则，解方程组即可【解答】解：因为zm21+（m1）i表示纯虚数，所以，所以m1，故选：B【点评】本题考查了复数的代数形式和一元二次方程组的解法，属基础题2（5分）设复数z满足（1+i）zi2019，则复数z的虚部为（）ABCD【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）zi2019i，得z，复数z的虚部为故选：A【点评】本题
8、考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）在复平面内，若复数z3+4i，则复数的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把z3+4i代入，整理后求得的共轭复数对应的点的坐标得答案【解答】解：z3+4i，复数的共轭复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4（5分）如果函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则以下关于函数yf（x）的判断：在区间（2，2）内单调递增； 在区间（2，4）内单调递减；在区间（2，3）内单调递增； x3是极小值点；x4
9、是极大值点其中正确的是（）ABCD【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可【解答】解：函数yf（x）在区间（2，2）上存在f（x）0，也存在f（x）0，所以不能说函数为减函数，所以错误；函数yf（x）在区间（2，4）内f（x）0，则函数单调递增；故不正确，函数yxf（x）在区间（2，3）的导数为f（x）0，yf（x）在区间（2，3）上单调递增，正确；由图象知当x3时，函数f（x）取得极小值，但是函数yf（x）没有取得极小值，故错误，x4时，f（x）0，当2x4时，f（x）0，f（x）为增函数，4x，此时f（x）0此时函数yf（x）为减函数，则函数yf（x
10、）内有极大值，x4是极大值点；故正确，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力综合性较强，有一定的难度5（5分）已知向量（1，1，0），（1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A1BCD【分析】根据题意，易得k+，2的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k1）+2k220，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，易得k+k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），22（1，1，0）（1，0，2）（3，2，2）两向量垂直，3（k1）+2k220k，故选：D【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题
11、时，注意向量的正确表示方法6（5分）从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（）A9种B12种C54种D72种【分析】利用排除法减去全是男生的种类即可【解答】解：从5人中选3人，分别从事三项不同的工作，则有60，若3人都是男生，则有6，则这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有60654种，故选：C【点评】本题主要考查排列组合的简单计数问题，利用间接法是解决本题的关键7（5分）已知正四面体ABCD，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线MN与直线AC所成角的大小为（）A30B45C60D135【分析】由两异面直线所成角的作法及求法得
12、：MNE为所求，又易得EMN为等腰直角三角形，所以MNE45，得解【解答】解：取AD中点为E，连接ME、EN，易得MNE为所求，又易得EMN为等腰直角三角形，所以MNE45，故选：B【点评】本题考查了两异面直线所成角的作法及求法，属中档题8（5分）曲线f（x）exlnx在x1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）ABCeD2e【分析】利用导数求得f（1）e，又f（1）0，利用直线方程点斜式求得切线方程，再求出切线在两坐标轴上的截距，则答案可求【解答】解：由f（x）exlnx，得f（x）exlnx+，f（1）e，又f（1）0，曲线f（x）exlnx在x1处的切线方程为ye（x1），取x0，得ye
13、，取y0，得x1曲线f（x）exlnx在x1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为故选：B【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题9（5分）已知函数f（x）x3ax2+（a+6）x有极值，则实数a的取值范围是（）A（3，6）B（，36，+）C（，3）（6，+）D3，6【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围【解答】解：f（x）x3ax2+（a+6）x，f（x）3x22ax+a+6，函数f（x）x3ax2+（a+6）x在R上存在极值，函数f（x）x3ax2+（a+6）x在R
14、上不是单调函数，f（x）3x22ax+a+60有两个不等的根，即4a212a720，解得a3，或a6，故选：C【点评】本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解10（5分）近期20所高校要来山师附中进行高考招生政策宣讲，学校办公室要从小郑、小赵、小李、小汤、小王5名工作人员中选派4人分别从事接待、礼仪、保卫、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A48种B36种C18种D12种【分析】讨论小郑和小赵只有1人被选派和两人都被
15、选派，然后进行排列即可【解答】解：若小郑和小赵只有一人被选派，则共有24种，若小郑和小赵两人都被选派，则有12种，则共有24+1236种，故选：B【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用小郑和小赵被选派的人数进行讨论是解决本题的关键11（5分）已知，则f（1）（）A2017B2018C2019D2020【分析】由导函数的求法得：f（x）x+2f（2019），所以f（2019）2019+2f（2019）1，所以f（2019）2020，所以f（1）1+2202020192020，得解【解答】解：因为，所以f（x）x+2f（2019），所以f（2019）2019+2f（2019）1，所以f（2019
16、）2020，所以f（1）1+2202020192020，故选：D【点评】本题考查了导函数的求法，属中档题12（5分）已知函数，x0，x1，x2R，使得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）Ae，+）B（，eC（e，+）D（，e）【分析】x1，x2R，使得f（x2）g（x1）成立，等价于f（x）ming（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据绝对值函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案【解答】解：x1，x2R，使得f（x2）g（x1）成立，等价于f（x）ming（x）max，f（x），当x1时，f（x）0，f（x）递减，当x1时，f（x）0，f（x）递
17、增，当x1时，f（x）取得最小值f（x）minf（1）e；当x1时g（x）取得最大值为g（x）maxg（1）a，ea，即实数a的取值范围是ae，故选：A【点评】本题考查函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知，则n的值为15【分析】根据题意，原等式变形可得A90A，则有90，变形可得：（n5）（n6）90，解可得n的值，即可得答案【解答】解：根据题意，则90，变形可得A90A，则有90，变形可得：（n5）（n6）90，解可得：n15或n4（舍）；故n15；故
18、答案为：15【点评】本题考查排列数公式，关键是掌握排列数公式的形式，属于基础题14（5分）已知函数f（x）是奇函数，f（2）0，当x（，0）时，f（x）+xf（x）0，则不等式f（x）0的解集为（2，0）（2，+）【分析】根据题意，设g（x）xf（x），求出其导数分析可得g（x）在（，0）上为减函数，又由f（2）0分析可得g（2）0，结合函数g（x）的单调性可得区间（，2）上，g（x）xf（x）0，在（2，0）上，g（x）xf（x）0，则区间（，2）上，f（x）0，在（2，0）上，f（x）0，又由f（x）为奇函数，分析可得答案【解答】解：根据题意，设g（x）xf（x），其导数g（x）f（x）+
19、xf（x），又由x（，0）时，则g（x）在（，0）上为减函数，若f（2）0，则f（2）f（2）0，g（2）（2）f（2）0，在区间（，2）上，g（x）xf（x）0，在（2，0）上，g（x）xf（x）0，则区间（，2）上，f（x）0，在（2，0）上，f（x）0，又由函数f（x）是奇函数，则区间（0，2）上，f（x）0，在（2，+）上，f（x）0，综合可得：不等式f（x）0的解集为（2，0）（2，+）；故答案为：（2，0）（2，+）【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题15（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，AB与平面BCD所成角的大
20、小为60ACD是等边三角形AB与CD所成的角为60ACBD二面角BACD为120则上面结论正确的为【分析】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，设对角线的交点为O由OABD，可得AO平面BCD，AOOC又COOD建立如图所示的空间直角坐标系不妨取OC1AB与平面BCD所成角为ABO，即可判断出正误由ADCDAC，可得ACD是等边三角形，即可判断出正误（0，1，1），（1，1，0），利用向量夹角公式可得cos，可得AB与CD所成的角，即可判断出正误由已知可得：BD平面OAC，根据线面垂直的性质定理，即可判断出正误（1，0，1），设平面ABC的法向量为（x，y，z），可得，可得设平面A
21、CD的法向量为，则，可得向量夹角公式可得cos，即可判断出正误【解答】解：将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，设对角线的交点为O则OABD，AO平面BCD，AOOC又COOD建立如图所示的空间直角坐标系不妨取OC1则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），O（0，0，0），O（0，0，0），O（0，0，0），O（0，0，0），AB与平面BCD所成角为ABO，大小为45，因此不正确ADCDAC，可得ACD是等边三角形，正确（0，1，1），（1，1，0），cos，AB与CD所成的角为60，因此正确由已知可得：BD平面OAC，ACBD，
22、因此正确（1，0，1），设平面ABC的法向量为（x，y，z），则，则，取（1，1，1）设平面ACD的法向量为，则，取（1，1，1）则cos，可得二面角BACD为钝角arccos因此不正确综上可得：只有正确故答案为：【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、数量积运算性质、法向量的应用、夹角公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知函数f（x）exax，函数，若不存在x1，x2R，使f（x1）g（x2），则实数a的取值范围为1，0【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2R，使得f（x1）g（x2），得到关于a的不等式解得即可【解答】解：函数f（x）
23、exax，函数g（x）x3ax2，f（x）exaa，g（x）x22ax（x+a）2+a2a2，不存在x1，x2R，使得f（x1）g（x2），aa2，解得1a0，故答案为：1，0【点评】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）求下列函数在指定点的导数（1），x1；（2）y，x【分析】由导函数的求法得：（1）yx+，所以y|x12，（2）y+，所以y|1+ln2，得解【解答】解：（1）因为，所以yx+，所以y|x12，（2）因为y，所以y+，所以y|1+ln2，【点评】本题考查
24、了导函数的求法，属简单题18（12分）某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具x千件并全部销售完，每千件的销售收入为F（x）万元，且满足函数关系：（1）写出年利润G（万元）关于该新型玩具年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据利润收入成本可列出表达式；（2）利用导数求出最值【解答】解（1）依题意，G（x）xF（x）（10+3x）8.1x10（2）由（1）得，令G（x）0，得x9且当x（0.9）时，G（x）0，G（x）单调递增；当x（9，+
25、）时，G（x）0，G（x）单调递减当x9时，G（x）取极大值也是最大值，即当年产量为9千件时，该厂在该商品生产中获得的年利润最大且最大值为38.6万元【点评】本题考查用函数解决实际问题，涉及导数求最值，难度不大，属于基础题19（12分）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，E为BB1中点，F为AD中点（1）证明：BF平面AED1；（2）若直线AC与平面AED1所成的角为60，求AA1的长【分析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法可以证明BF平面AED1（2）根据，可以求得AA1【解答】解：（1）以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，
26、z轴的正方向建立空间直角坐标系设AA1a，则故，设平面AED1的法向量，得取z1，得平面AED1的一个法向量，又BF平面AED1，所以BF平面AED1（2），则即 解得a2，即AA1的长为2【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知函数f（x）x2ax+blnx（1）若函数f（x）在P（1，2）处的切线与直线x+2y+10垂直，求函数f（x）的单调区间及函数f（x）在上的最大值和最小值；（2）若b1时，函数f（x）在区间1，2上是减函数，求实数a的取值范围【分析】（1）由题意可得，即，
27、求得a，b的值，得到函数解析式，再由导数求最值；（2）把b1代入函数解析式，求出导函数，由函数f（x）在区间1，2上是减函数，可得导函数小于等于0恒成立，由此可得实数a的取值范围【解答】解：（1）与直线x+2y+10垂直的直线斜率为2，f（x）2xa+，则，即，解得则f（x）x2+xlnx，f（x）2x+1当x（0，）时，f（x）0，f（x）递减；当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增f（x）的单减区间为（0，）；f（x）的单增区间为（，+）f（x）在，）上单调递减，在（，e上单调递增，函数f（x）在上的最大值为f（e）e2+e1，最小值为f（）；（2）若b1时，f（x）x2ax+lnx
28、（x0）若函数f（x）在区间1，2上是减函数，则f（x）2xa+0即a，设g（x）2x+，g（x）20（x1，2），g（x）在1，2上单调递增，则a本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，是中档题【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，是中档题21（12分）在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求二面角BPCD的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PC
29、D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）平面PAD平面ABCDAD，平面PAD平面ABCD，又PAPD，根据面面垂直的性质定理可得AB平面PAD，进而得到ABPD，又PAPD，即可证明结论PD平面PAB（2）取AD中点为0，连接CO，PO，根据等腰三角形的性质可得COAD，POAD以O为原点，如图建系设为平面PDC的法向量，令（x，y，z），可得，设为平面PBC的法向量，根据，可得利用cos即可得出（3）假设存在M点使得BM平面PCD，设，M（0，y0，z0），由，可得M（0，1，），（1，），根据BM平面PCD，可得0，解得即可得出【解答】（1）证明：平面PAD平面ABCDA
30、D，平面PAD平面ABCD，又PAPD，AB平面ABCD，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，又PAPD，PD平面PAB（2）取AD中点为0，连接CO，PO，CDAC，COAD，PAPD，POAD以O为原点，如图建系易知P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，1，0），C（2，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（2，0，1），（2，1，0），设为平面PDC的法向量，令（x，y，z），可得（1，2，2），设为平面PBC的法向量，根据，可得（1，1，2），由cos则二面角PPCD余弦值为二面角PPCD正弦值为（3）假设存在M点使得BM平面PCD，设，M（0，y0，z0），由（2）
31、知A（0，1，0），P（0，0，1），（0，1，1），B（1，1，0），（0，y01，z0），由，可得M（0，1，），（1，），BM平面PCD，0，即+0，综上，存在M点，即当3时，M点即为所求【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、向量共线定理、数量积运算性质、夹角公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）x（ex1）ax2，（aR）（1）若，求f（x）的极值；（2）若x0时，f（x）0，求实数a的取值范围【分析】（1）a时，f（x）x（ex1）x2，求出导数f（x），利用导数判断函数的单调性，求出极值；（2）问题等价于当x0时，f（x）ex1ax
32、0恒成立；解法一：讨论x0、x0时，不等式f（x）0等价于a，设g（x），得出ag（x）min，从而求得a的取值范围解法二：利用导数判断函数的单调性，利用单调性求出a的取值范围，证明充分性成立，再由a1时，判断x0时f（x）0恒成立，得必要性成立；解法三：判断x0时f（x）0恒成立，从而求得a的取值范围【解答】解：（1）当a时，f（x）x（ex1）x2，f（x）（x+1）（ex1）0时，解得x1，x0；当x变化时，f（x），f（x）变化状态如下表：x（，1）1 （1，0）0 （0，+） f（x） + 0 0+f（x） 单调增极大单调减极小单调增所以f（x）的极大值是f（1），f（x）的极小值是
33、f（0）0；（2）问题等价于当x0时，f（x）ex1ax0恒成立；解法一：当x0，等号成立，当x0，f（x）0等价于a，设g（x），ag（x）min，由经典不等式exx+1，1，得出a1；或者g（x），设h（x）xexex+1，则h（x）ex+xexexxex0，h（x）单调递增，且h（x）h（0）0，即g（x）0，g（x）单调递增，g（x）g（0）ex1，得出a1；（这里用到洛比达法则：）解法二：f（x）exa，且x0时，ex1；若a1，则f（x）exa0，f（x）单调递增，f（x）f（0）0，即不等式恒成立；（充分性）若a1，f（x）exa0，解得x0lna0，c（0，x0）时，f（x）0，f（x）单调递减，则f（x）f（0）0，这与当x0时，f（x）ex1ax0恒成立相矛盾；（必要性）解法三：当x0时，f（x）ex1ax0恒成立，且f（0）0；则f（x）exa，所以f（0）0，a1；（必要性）当a1时，则f（x）exa0，f（x）单调递增，f（x）f（0）0，即不等式恒成立（充分性）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题