1、2018-2019学年山东省日照市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题4分，共48分。第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）等比数列an中，a44，则a2a6等于（）A4B8C16D322（4分）在复平面内，复数z（i为虚数单位）对应的点所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（4分）命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x0204（4分）设xR，则“x1”是“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
2、件D既不充分又不必要条件5（4分）双曲线1的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx6（4分）我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则该人第一天行走的路程为（）A108里B96里C64里D48里7（4分）如图，空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，则（）A+B+C+D+8（4分）在数列an中，a12，an+1an+ln（1+），则an（）A2+ln nB2+（n1）
3、ln nC2+n ln nD1+n+ln n9（4分）如图，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）ABCD10（4分）已知复数z1i，则下列命题中错误的是（）Az12z2B|z1|z2|Cz13z231Dzl、z2互为共轭复数11（4分）若a，b，cR，则下列命题中为真命题的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab0，则2C若a|b|，则a2b2D若ab，则二、多项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。12（4分）已知函数yf（x）的定义域为（0，+），对任意的x，y（0，+），f（x）+f（y）f（xy）成
4、立，当x1时，f（x）0若数列an满足a1f（1），且f（an+1）f（2an+1）（nN*），则正确的是（）Af（1）0Byf（x）在（0，+）为减函数Ca2019220181Da201922019113（4分）已知椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若F1PF2，则正确的是 （）A2Be1e2CeDe114（4分）复数（i是虚数单位）的虚部是 15（4分）设平面的一个法向量为（1，2，2），平面的一个法向量为（2，4，k），若，则k 16（4分
5、）一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为 17（4分）若正实数a，b满足（3a+b）21+6ab，则的最大值为 三、解答题：共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18（13分）已知关于x的不等式ax25x+20，aR（1）当a2时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为x|x2或x，求实数a的值19（13分）已知各项都为正数的数列an满足a11，2an+1an+4an+1an22an0（1）求a2；（2）求数列an的通项公式和前n项和Sn20（14分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标
6、为8（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l2与11垂直，且与抛物线C交于不同的两点A，B，若OAOB，求直线l2的方程21（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BA平面ACC1A1，A1AC90，AA1ABAC2（1）求二面角BCB1A1的大小；（2）设P是线段A1C的中点，H是棱BC的中点，求证：PH平面AB1C22（14分）为参与某次救援，潜水员需潜至水下30米处进行作业在下潜与返回水面的过程中保持匀速，速度均为米/分钟（p，p为常数），下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，当速度为1米/分钟时，每分钟耗氧量为0.2升；在水下30米作业时，每分钟耗氧量为0.4升：返
7、回水面的过程中每分钟耗氧量为0.2升假定氧气瓶中氧气为20升，潜水员下潜时开始使用氧气瓶中的氧气，返回到水面时氧气瓶中氧气恰好用尽（1）试求潜水员在水下30米作业的时间y（单位：分钟）与速度v的函数解析式；（2）试求潜水员在水下30米能作业的最长时间23（14分）已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（2，0），点M（2，）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）若不经过点P（0，b）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，且直线PA与直线PB的斜率之和为1，试判断直线l是否过定点若过定点，请求出该定点；若不过定点，请说明理由2018-2019学年山东省日照市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解
8、析一、选择题：本大题共11小题，每小题4分，共48分。第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）等比数列an中，a44，则a2a6等于（）A4B8C16D32【分析】由a44是a2、a6的等比中项，求得a2a6【解答】解：a2a6a4216故选：C【点评】本题主要考查等比中项2（4分）在复平面内，复数z（i为虚数单位）对应的点所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：在复平面内，复数+i所对应的点在第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力
9、，属于基础题3（4分）命题“xR，|x|+x20”的否定是（）AxR，|x|+x20BxR，|x|+x20Cx0R，|x0|+x020Dx0R，|x0|+x020【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xR，|x|+x20”的否定x0R，|x0|+x020，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4（4分）设xR，则“x1”是“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可【解答】解：因为“x1”，则“x21”；但是“x21”不一定有“x1”
10、，所以“x1”，是“x21”成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力5（4分）双曲线1的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx【分析】令0，可得双曲线的渐近线方程【解答】解：令0，可得yx，即双曲线1的渐近线方程为yx故选：C【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题6（4分）我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则该人第一天行走的路程为
11、（）A108里B96里C64里D48里【分析】根据题意，记该人每天走的路程里数为an，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由S6198求得首项即可【解答】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为an，则数列an是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即S6189，则有S6189，解可得：a196，故选：B【点评】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前n项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用7（4分）如图，空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，则（）A+B+C+D+【分析】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向
12、量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项【解答】解：，+，+，+，+，故选：A【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题8（4分）在数列an中，a12，an+1an+ln（1+），则an（）A2+ln nB2+（n1）ln nC2+n ln nD1+n+ln n【分析】由已知得an+1anln（1+）ln，由此利用累加法能求出an【解答】解：在数列an中，a12，an+1an+ln（1+），an+1anln（1+）ln，ana1+（a2a1）+（a3a2）+（a
13、nan1）2+ln2+ln+ln2+ln（）2+lnn故选：A【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用9（4分）如图，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）ABCD【分析】以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值【解答】解：以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，A
14、（1，0，0），E（1，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），（0，1），（0，1，0），（1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则0，0，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为，则sin|cos|故选：D【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用10（4分）已知复数z1i，则下列命题中错误的是（）Az12z2B|z1|z2|Cz13z231Dzl、z2互为共轭复数【分析】复数z1i，可得z2，|z1|z2|，0即可判断出【解答】解：复数z1i，z2，|z1|z2|，因此A，B，D正确对于C：0故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则，
15、考查了运算能力，属于基础题11（4分）若a，b，cR，则下列命题中为真命题的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab0，则2C若a|b|，则a2b2D若ab，则【分析】由基本不等式及不等式的性质逐一检验即可得解【解答】解：对于选项A，当c0时，若ab，则ac2bc2，故A错误，对于选项B，因为ab0，所以，所以22，当且仅当，即a2b2时取等号，故B正确，对于选项C，因为a|b|，由不等式的性质可得：a2b2，显然选项C正确，对于选项D，取a1，b1时，显然选项D错误，综上可知：选项BC正确，故选：BC【点评】本题考查了基本不等式及不等式的性质，属简单易错题型二、多项选择题：本大题共6小题，每小
16、题4分，共24分。12（4分）已知函数yf（x）的定义域为（0，+），对任意的x，y（0，+），f（x）+f（y）f（xy）成立，当x1时，f（x）0若数列an满足a1f（1），且f（an+1）f（2an+1）（nN*），则正确的是（）Af（1）0Byf（x）在（0，+）为减函数Ca2019220181Da2019220191【分析】由抽象函数的性质及抽象函数的单调性的判断可得：取xy1，得：2f（1）f（1），即f（1）0，函数yf（x）在（0，+）为增函数，由等比数列的通项公式有：为以1为首项，2为公比的等比数列，所以an+12n1，即an2n11，所以a2019220181，得解【解答】
17、解：由f（x）+f（y）f（xy），取xy1，得：2f（1）f（1），即f（1）0，设xy0，则1，则f（x）f（y）f（）f（y）f（）+f（y）f（y）f（）0，即函数yf（x）在（0，+）为增函数，又f（an+1）f（2an+1），所以an+12an+1，即an+1+12（an+1），又a1+1f（1）+11，所以为以1为首项，2为公比的等比数列，所以an+12n1，即an2n11，所以a2019220181，故选：AC【点评】本题考查了抽象函数的性质及等比数列的通项公式，属中档题13（4分）已知椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0
18、双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若F1PF2，则正确的是 （）A2Be1e2CeDe1【分析】如图所示，设双曲线的标准方程为：1，（a1，b10）半焦距为c根据椭圆C1的上顶点为M，且0可得F1MF2，bc，可得e1设|PF1|m，|PF2|n利用定义可得：m+n2a，mn2a1可得mn在PF1F2中，由余弦定理可得：4c2m2+n22mncos（m+n）23mn，代入化简利用离心率计算公式即可得出【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：1（a1，b10），半焦距为c椭圆C1的上顶点为M，且0F1MF2，bc，a22c2e1不妨设
19、点P在第一象限，设|PF1|m，|PF2|nm+n2a，mn2a1mna2在PF1F2中，由余弦定理可得：4c2m2+n22mncos（m+n）23mn4a23（a2）4c2a2+3两边同除以c2，得4+，解得：e2e1e2故选：BD【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题14（4分）复数（i是虚数单位）的虚部是1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z，z的虚部为1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题15（4分）设平面的一个法向量为（1，2，2），平面的一个法
20、向量为（2，4，k），若，则k4【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，存在实数使得，解得k4故答案为：4【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题16（4分）一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为4【分析】先设等差数列an的公差为d，由题意可知a60，a70，根据通项公式用d表示出来，求出d的范围，取其中的整数即可【解答】解：设等差数列an的公差为d，且d为整数，由题意得，a6a1+5d0，a7a1+6d0，所以23+5d0，且23+6d0，解得，又d为整数，则公差d4，故答案为：4【点评】本题考查等差数列的通项公式，根据通项公式用d表示
21、a60，a70是解决问题的关键，属基础题17（4分）若正实数a，b满足（3a+b）21+6ab，则的最大值为【分析】由已知可得，ab，由（3a+b）21+6ab1+2（3ab），利用基本不等式可求3a+b的范围，然后对所求式子进行化简可求【解答】解：正实数a，b满足（3a+b）21+6abab，（3a+b）21+6ab1+2（3ab），解可得，（3a+b）22，03a+b，则，即最大值故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，解题的关键是对已知条件的灵活变形三、解答题：共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18（13分）已知关于x的不等式ax25x+20，aR（1）当a2
22、时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为x|x2或x，求实数a的值【分析】（1）求a2时一元二次不等式的解集即可；（2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值【解答】解：（1）a2时，不等式为2x25x+20，可化为（x2）（2x1）0，解得x2，不等式的解集为x|x2；（2）若不等式ax25x+20的解集为x|x2或x，则方程ax25x+20的实数根为2和，2+，解得a3，即a的值为3【点评】本题考查了一元二次不等式与对应一元二次方程的应用问题，是基础题19（13分）已知各项都为正数的数列an满足a11，2an+1an+4an+1an22an0（1）求a2；（2）求
23、数列an的通项公式和前n项和Sn【分析】（1）首先利用数列的通项，根据赋值法求出（2）根据数列的关系时的变换求出数列的通项公式，进一步求出等比数列的前n项和【解答】解：（1）各项都为正数的数列an满足a11，2an+1an+4an+1an22an0当n1时，2a2a1+4a2a122a10解得：（2）由于：2an+1an+4an+1an22an0整理得：2（an+2）an+1（an+2）an0，所以：（an+2）（2an+1an）0由于数列各项都为正数，则：2an+1an，即：，故：数列an是以a11为首项，为公比的等比数列则：，由于首项符合通项，故：则：，【点评】本题考查的知识要点：数列的通
24、项公式的求法及应用，等比数列的性质和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（14分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l2与11垂直，且与抛物线C交于不同的两点A，B，若OAOB，求直线l2的方程【分析】（1）求出交点坐标，代入抛物线方程求出p的值即可；（2）根据直线垂直，得到直线l2的斜率，设出直线l2的方程，利用OAOB，转化为坐标之积，利用设而不求思想进行求解即可【解答】解：（1）抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8，纵坐标y8，即交点坐标为（8
25、，8），则642p816p，即p4，即抛物线方程为y28x；（2）不过原点O的直线l2与11垂直，直线l2的斜率k1，设直线l2的方程为yx+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），若OAOB，则0，即x1x2+y1y20，又y128x1，y228x2，y12y2264x1x2，即x1x2y12y22，则y12y22+y1y20即y1y2+10，得y1y264，由得y28y+8b0，则y1y28b64，即b8，则直线l2的方程为yx8【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，求出抛物线的方程，以及联立直线和抛物线方程，转化为一元二次方程是解决本题的关键21（14分）如图，在三棱柱AB
26、CA1B1C1中，BA平面ACC1A1，A1AC90，AA1ABAC2（1）求二面角BCB1A1的大小；（2）设P是线段A1C的中点，H是棱BC的中点，求证：PH平面AB1C【分析】以A为原点，以AC，AA1，AB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 （1 ）求得面BCB1的法向量为，面A1B1C的法向量为，可得二面角BCB1A1的大小为1200；（2）由，即可得PH平面AB1C【解答】解：BA平面ACC1A1，A1AC90，AA1，AC，AB两两垂直，故以A为原点，以AC，AA1，AB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系AA1ABAC2则A（0，0，0），C（2，0，0），A
27、1（0，2，0），B（0，0，2），B1（0，2，2）（1），设面BCB1的法向量为，面A1B1C的法向量为由由二面角BCB1A1的大小为1200；（2）P是线段A1C的中点，H是棱BC的中点，P（1，1，0），H（1，0，1），且ACAB1APH平面AB1C【点评】本题考查直线和平面垂直关系的判定与二面角的计算，考查空间想象、转化、计算、论证能力22（14分）为参与某次救援，潜水员需潜至水下30米处进行作业在下潜与返回水面的过程中保持匀速，速度均为米/分钟（p，p为常数），下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，当速度为1米/分钟时，每分钟耗氧量为0.2升；在水下30米作业时，每分钟耗氧
28、量为0.4升：返回水面的过程中每分钟耗氧量为0.2升假定氧气瓶中氧气为20升，潜水员下潜时开始使用氧气瓶中的氧气，返回到水面时氧气瓶中氧气恰好用尽（1）试求潜水员在水下30米作业的时间y（单位：分钟）与速度v的函数解析式；（2）试求潜水员在水下30米能作业的最长时间【分析】（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为0.2v2，上升和下潜的时间为，即可求出0.4y+0.2v2+0.220，整理即可，（2）根据（1）的函数解析式，需要分类讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可求出【解答】解：（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度v的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为0.2v2
29、，上升和下潜的时间为，则0.4y+0.2v2+0.220，整理可得y5015（v+），（p，p为常数）（2）由（1）可知，当p1时，y5015（v+）50152503020，当且仅当v1时取等号，当p1时，易知函数tv+在，p上为减函数，tminp+y5015（p+），故当p1潜水员在水下30米能作业的最长时间为20分钟，当p1时，潜水员在水下30米能作业的最长时间为5015（p+）分钟【点评】本题考查函数模型的选择和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地建立方程易错点是弄不清数量间的相互关系，导致建立方程出错23（14分）已知椭圆C：1（ab0）的右焦点
30、为F（2，0），点M（2，）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）若不经过点P（0，b）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，且直线PA与直线PB的斜率之和为1，试判断直线l是否过定点若过定点，请求出该定点；若不过定点，请说明理由【分析】（1）先利用椭圆定义求出a的值，结合c的值可求出b的值，从而得出椭圆C的方程；（2）先假设直线l的斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，再依据两直线斜率之和为1，得出含有k和m的式子，利用因式分解，可得m与k的关系，最后讨论谢伦不存在的情况即可【解答】解：（1）易知，椭圆C的左焦点为F（2，0），由椭圆定义可得，所以，因此，椭圆C的方程为；（
31、2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx+m，易知m2将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m280，由韦达定理得，直线PA和直线PB的斜率之和为化简得（2k1）x1x2+（m2）（x1+x2）0，即，由于m2，所以，（2k1）（m+2）2km0，所以，m4k2所以，直线l的方程为ykx+4k2，直线l过定点（4，2）；当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为xn，此时点A与点B关于x轴对称，则y1+y20，直线PA和直线PB的斜率之和为，得n4此时，直线l与椭圆没交点，不符合条件综上所述，直线l过定点（4，2）【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义以及韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题