1、2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）ABCD2（3分）下列代数式中，分式有（）个，+3，A5B4C3D23（3分）与是同类二次根式的是（）ABCD4（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A2、3、4B3、4、5C6、8、10D5、12、135（3分）下列运算正确的是（）Aa3a4a12B（a3）2a5C（3a2）327a6Da6a3a26（3分）如图，在ABC中，AC4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若AEC的周长
2、是11，则AB（）A28B18C10D77（3分）矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（）ABCD248（3分）如图，长方形ABCD中，AB3，AD1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A1B1C2D9（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）Aa2b2（ab）2B（a+b）2a2+2ab+b2C（ab）2a22ab+b2Da2b2（a+b）（ab）10（3分）已知a、b、c是ABC三边的
3、长，则+|a+bc|的值为（）A2aB2bC2cD2（a一c）11（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是（）Am2或m6Bm2Cm6Dm2或m612（3分）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b（a+b）2（ab）2则下列结论：a*b0，则a0或b0；不存在实数a，b，满足a*ba2+4b2；a*（b+c）a*b+a*c；a*b8，则（10ab3）（5b2）4其中正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13（3分）在实数范围内，使得有意义的x的取值范围为 14（3分）今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米
4、数据0.000000085用科学记数法表示为 米15（3分）如图，在ABC中，已知ADBC于点D，BDDC，BAD20，则C的度数为 16（3分）若分式的值为0，则x的值为 17（3分）计算：（4）20200.252019 18（3分）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值如图所示，是一棵由正方形和含30角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn设第一个正方形的边长为1请解答下列问题：（1）S1 ；（2）通过
5、探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn 三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19（8分）因式分解（1）5mx210mxy+5my2（2）a（3a2）+b（23a）20（8分）计算（1）（2）21（12分）化简求值（1）求（2xy）（2x+y）（2y+x）（2yx）的值，其中x2，y1（2）求的值，其中x+122（6分）如图，车高4m（AC4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C2m，求弯折点B与地面的距离23（6分）如图，ABC是等边三角形，DFAB，DECB，EFAC，求证：DEF是等边三角形24（8分）如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，CE平分DCB交
6、AB于点E（1）求证：AECACE；（2）若AEC2B，AD1，求BD的长25（8分）今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元（1）求购买一个A型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A型和B型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B型垃圾桶按第
7、一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A型和B型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个B型垃圾桶？26（10分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形例如：某三角形三边长分别是2，4，因为，所以这个三角形是奇异三角形（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是 命题（填“真”或“假”）；（2）在RtABC中，ACB90，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且ADBD，若四边形ADBC内存在点E，使得AEAD，CBCE求证：ACE是奇异三角形；当ACE
8、是直角三角形时，求DBC的度数2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念判断【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2（3分）下列代数式中，分式有（）个，+3，A5B4C3D2【分析】根据分式的定义逐个判断即可【解答】解：分式有：，共4个，故选：B【点评】本
9、题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母3（3分）与是同类二次根式的是（）ABCD【分析】根据同类二次根式的定义进行解答【解答】解：的被开方数是2A、原式3，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意B、该二次根式的被开方数是6，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意C、原式，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意D、原式2，其被开方数是2，与的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本选项符合题意故选：D【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次
10、根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式4（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A2、3、4B3、4、5C6、8、10D5、12、13【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形如果没有这种关系，这个就不是直角三角形【解答】解：A、22+3242，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、32+4252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、52+122132，符合勾股定理的逆定理，故错误故选：A【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边
11、的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断5（3分）下列运算正确的是（）Aa3a4a12B（a3）2a5C（3a2）327a6Da6a3a2【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可【解答】解：Aa3a4a7，故本选项不合题意；B（a3）2a6，故本选项不合题意；C（3a2）327a6，正确，故选项C符合题意；Da6a3a4，故本选项不合题意故选：C【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键6（3分）如图，在ABC中，AC4，BC边上的
12、垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若AEC的周长是11，则AB（）A28B18C10D7【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算【解答】解：DE是BC的中垂线，BEEC，则ABEB+AECE+EA，又ACE的周长为11，故AB1147，故选：D【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识难度简单7（3分）矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（）ABCD24【分析】根据矩形的面积得出另一边为，再根据二次根式的运算法则进行化简即可【解答】解：矩形的面积为18，一边长为，另一边长为3，故选：C【点评】本题考查了矩形的面积和二次根
13、式的除法，能根据二次根式的运算法则进行化简是解此题的关键8（3分）如图，长方形ABCD中，AB3，AD1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A1B1C2D【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据圆的性质，可得答案【解答】解：由勾股定理，得AC，AMAC，M点的坐标是1，故选：A【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出AC的长是解题关键，注意M点的坐标是19（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的
14、公式为（）Aa2b2（ab）2B（a+b）2a2+2ab+b2C（ab）2a22ab+b2Da2b2（a+b）（ab）【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式【解答】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为ab，即平行四边形的高为ab，两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积a2b2，乙的面积（a+b）（ab）即：a2b2（a+b）（ab）所以验证成立的公式为：a2b2（a+b）（ab）故选：D【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键本题主要利用面积公式求证明a2b2（a+b）
15、（ab）10（3分）已知a、b、c是ABC三边的长，则+|a+bc|的值为（）A2aB2bC2cD2（a一c）【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知根号和绝对值里数的取值【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，abc0，a+bc0+|a+bc|b+ca+a+bc2b故选：B【点评】本题主考要查了三角形三边之间的关系11（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是（）Am2或m6Bm2Cm6Dm2或m6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可【解答】解：去分母得：xm+x（
16、x+2）（x+2）（x2），由分式方程无解，得到x2或x2，把x2代入整式方程得：m6；把x2代入整式方程得：m2故选：A【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值12（3分）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b（a+b）2（ab）2则下列结论：a*b0，则a0或b0；不存在实数a，b，满足a*ba2+4b2；a*（b+c）a*b+a*c；a*b8，则（10ab3）（5b2）4其中正确的是（）ABCD【分析】根据新定义的运算，一一判断即可得出结论【解答】解：a*b0，（a+b）
17、2（ab）20，a2+2ab+a2a2b2+2ab0，4ab0，a0或b0，故正确；a*b（a+b）2（ab）24ab，又a*ba2+4b2，a2+4b24ab，a24ab+4b2（a2b）20，a2b时，满足条件，存在实数a，b，满足a*ba2+4b2；故错误，a*（b+c）（a+b+c）2（abc）24ab+4ac，又a*b+a*c4ab+4aca*（b+c）a*b+a*c；故正确a*b8，4ab8，ab2，（10ab3）（5b2）2ab4；故正确故选：B【点评】本题考查实数的运算、完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题
18、共6个小题，每小题3分，共18分）13（3分）在实数范围内，使得有意义的x的取值范围为x3【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案【解答】解：在实数范围内，使得有意义则3+x0，解得：x3故答案为：x3【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键14（3分）今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米数据0.000000085用科学记数法表示为8.5108米【分析】根据科学记数法的表示方法，a10 n，1a10，确定住a以后，从小数点往前有几位数就是10的几次方，即可得出答案【解答】解：根据科学记数法的表示方法，0.0000
19、000858.5108故答案为：8.5108【点评】此题主要考查了较小的数的科学记数法表示方法，确定住a后，再确定小数点的位置，是解决问题的关键15（3分）如图，在ABC中，已知ADBC于点D，BDDC，BAD20，则C的度数为70【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【解答】解：ADBC于点D，BDDC，ABAC，CADBAD20，ADBC，ADC90，C70，故答案为：70【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌等腰三角形的性质是解题的关键16（3分）若分式的值为0，则x的值为2【分析】根据分式的值为0的条件和分式有意义条件得出4x20且x+20，再求出
20、即可【解答】解：分式的值为0，4x20且x+20，解得：x2，故答案为：2【点评】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出4x20且x+20是解此题的关键17（3分）计算：（4）20200.2520194【分析】根据积的乘方运算法则计算即可【解答】解：原式420190.2520194120194144故答案为：4【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键18（3分）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值如图所示，是一棵由正方形和含30角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个
21、直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn设第一个正方形的边长为1请解答下列问题：（1）S11+；（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn（）（n为整数）【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式【解答】解：（1）第一个正方形的边长为1，正方形的面积为1，又直角三角形一个角为30，三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，三角形的面积为2，S11+；（2）第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就
22、是第一个正方形面积的，同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，S2（1+），依此类推，S3（1+），即S3（1+），Sn（）（n为整数）【点评】本题重点考查了勾股定理的运用三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19（8分）因式分解（1）5mx210mxy+5my2（2）a（3a2）+b（23a）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式即可【解答】解：（1）原式5m（x22xy+y2）5m（xy）2；（2）原式（3a2）（ab）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键20（8分）计算（1）（2）【分析】
23、（1）根据二次根式的乘除法则运算和零指数幂的意义计算；（2）利用完全平方公式、负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算【解答】解：（1）原式+12+13+1；（2）原式22+1+2+25【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍21（12分）化简求值（1）求（2xy）（2x+y）（2y+x）（2yx）的值，其中x2，y1（2）求的值，其中x+1【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与
24、y的值代入计算即可求出值；（2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式4x2y24y2+x25x25y2，当x2，y1时，原式20515；（2）原式，当x+1时，原式（1）1【点评】此题考查了分式的化简求值，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键22（6分）如图，车高4m（AC4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C2m，求弯折点B与地面的距离【分析】设BCxm，则ABA1B（4x）m，在RtA1BC中利用勾股定理列出方程22+x2（4x）2即可求解【解答
25、】解：由题意得，ABA1B，BCA90，设BCxm，则ABA1B（4x）m，在RtA1BC中，A1C2+BC2A1B2，即：22+x2（4x）2，解得：x，答：弯折点B与地面的距离为米【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键23（6分）如图，ABC是等边三角形，DFAB，DECB，EFAC，求证：DEF是等边三角形【分析】由ABC是等边三角形和DFAB，DECB，EFAC，求出FACBCEDBA30，推出DEF60，推出DFDEEF，即可得出DEF等边三角形【解答】证明：ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACBCAB60，DFAB，DECB，EFAC，DA
26、BACFCBE90，FACBCEDBA30，DEF180903060，DFDEEF，DEF是等边三角形，【点评】此题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，由ABC是等边三角形和DFAB，DECB，EFAC，求出FACBCEDBA30是解题关键24（8分）如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，CE平分DCB交AB于点E（1）求证：AECACE；（2）若AEC2B，AD1，求BD的长【分析】（1）依据ACB90，CDAB，即可得到ACDB，再根据CE平分BCD，可得BCEDCE，进而得出AECACE（2）依据ACDBCEDCE，ACB90，即可得到ACD30即可解决问题【解答】
27、解：（1）ACB90，CDAB，ACD+AB+A90，ACDB，CE平分BCD，BCEDCE，B+BCEACD+DCE，即AECACE；（2）AECB+BCE，AEC2B，BBCE，又ACDB，BCEDCE，ACDBCEDCE，又ACB90，ACD30，B30，RtACD中，AC2AD2，RtABC中，AB2AC4，BDABAD413【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型25（8分）今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具某学校开学初购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买
28、A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元（1）求购买一个A型垃圾桶、B型垃圾桶各需多少元？（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进A型和B型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，A型垃圾桶售价比第一次购买时提高了8%，B型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买A型和B型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个B型垃圾桶？【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，
29、根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50a）个，根据购买A、B两种垃圾桶的总费用不超过3240元，列出不等式解决问题【解答】解：（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，由题意得：2解得：x50经检验x50是原方程的解，x+3080答：一个A型垃圾桶需50元，则一个B型垃圾桶需80元（2）设此次可购买a个B型垃圾桶，则购进A型垃圾桶（50a）个，由题意得50（1+8%）（50a）+800.9a3240解得a30a是整数，a最大等于30，答：该学校此次最多可购买30个B型垃圾桶【点评】此题考查
30、一元一次不等式与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键26（10分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形例如：某三角形三边长分别是2，4，因为，所以这个三角形是奇异三角形（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题（填“真”或“假”）；（2）在RtABC中，ACB90，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且ADBD，若四边形ADBC内存在点E，使得AEAD，CBCE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求DBC的度数【分析】（1
31、）设等边三角形的边长为a，则a2+a22a2，即可得出结论；（2）由勾股定理得出a2+b2c2，由RtABC是奇异三角形，且ba，得出a2+c22b2，由得出ba，ca，即可得出结论；（3）由勾股定理得出AC2+BC2AB2，AD2+BD2AB2，由已知得出2AD2AB2，AC2+CE22AE2，即可得出ACE是奇异三角形；由ACE是奇异三角形，得出AC2+CE22AE2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得出答案【解答】（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：设等边三角形的边长为a，则a2+a22a2，符合“奇异三角形”的定义，“等边三角形是奇异三角形”这
32、个命题是真命题；故答案为：真；（2）解：C90，a2+b2c2，RtABC是奇异三角形，且ba，a2+c22b2，由得：ba，ca，a：b：c1：；（3）证明：ACBADB90，AC2+BC2AB2，AD2+BD2AB2，ADBD，2AD2AB2，AEAD，CBCE，AC2+CE22AE2，ACE是奇异三角形；解：由得：ACE是奇异三角形，AC2+CE22AE2，当ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE1：，或AC：AE：CE：1，当AC：AE：CE1：时，AC：CE1：，即AC：CB1：，ACB90，ABC30，ADBD，ADB90，ABD45，DBCABC+ABD75；当AC：AE：CE：1时，AC：CE：1，即AC：CB：1，ACB90，ABC60，ADBD，ADB90，DBCABC+ABD105；综上所述，DBC的度数为75或105【点评】本题是四边形综合题目，考查了奇异三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握奇异三角形的定义、等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键