1、2020中考数学培优专题：代数最值问题（含答案）一、填空题（共有4道小题）1.二次函数的最小值是 2.若实数满足，则的最小值是 3.已知反比例函数，当时，y的最大值是 。4.当多项式取最小值时，多项式的值为_二、计算题（共有1道小题）5.将函数转化为顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标。三、解答题（共有10道小题）6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。（1）设每件衬衫降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式_。（2）每件衬衫降价多少元
2、时，商场平均每天盈利最多？7.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长20米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 8.某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；（2）若设销售利润为s，写出s与x的函数关系式；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？9.某超市茶
3、叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体的变化（一次函数关系）如下表：x（元/千克）60708090y（千克）1201008060（1）求y与x的函数关系式；（2）设这种绿茶在这段时间内的销售利润为W（元）那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？10.公园里要修建圆形喷水池，如图所示，在水池中央垂直于水面处安装一根柱子OA，点O是水池中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上喷出形状相同的抛物线，为使水流形状较为漂亮，设计成水流到OA一米处达到距水面
4、最大高度2.25m，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米时才能使喷出的水流不致落到池外？11.如图，已知抛物线与一直线相交于A(-1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D。（1）分别求出抛物线和直线AC的函数关系式；（2）设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若P时抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值。12.用19米长的铝合金材料制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5米（铝合金材料的宽度忽略不计）。（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽（CD）x（米）之间的函数关系式。（2）如何设计才能是窗框的透光面积最大？
5、最大面积是多少？（3）如果要求窗框的面积不小于10平方米，请直接写出x的取值范围。13.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。14.某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当r等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ 15.如图，有一块空地，空地外有一面长10 m的围墙，为了美化生活
6、环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门（门也用不锈钢材料做成），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 答案-讲评卷一、填空题（共有4道小题）1.二次函数的最小值是 参考答案:52.若实数满足，则的最小值是 参考答案:3.已知反比例函数，当时，y的最大值是 。参考答案:4.当多项式取最小值时，多项式的值为_参考答案:1二、计算题（共有1道小题）5.将函数转化为顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标。参考答案:，对称轴：直线,顶点坐标： 三、解答题（共有10道小题）6
7、.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。（1）设每件衬衫降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式_。（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？参考答案:解：（1）（2）设商场平均每天盈利为W，由题意，原来每件盈利40元时，每天可售出20件，而现在降价x元，则每件盈利就为元，却能售出件，所以W与x的关系式为： 整理得： 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.7.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长20米的围墙，为了美
8、化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 参考答案:解：设米，则米，米，若矩形的面积记为，则根据题意可得：整理得：即当时，即当时，花圃的面积最大，最大为128平方米。8.某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；（2）若设销售利润为s，写出s与x的函数关系式；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利
9、润最大？最大利润是多少？参考答案:解：（1）由题可知：（2）由题可知：整理得：（3）即，当时，可取得最大值6400即，当定价为10元时，可获得最大利润，最大利润为6400元。9.某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体的变化（一次函数关系）如下表：x（元/千克）60708090y（千克）1201008060（1）求y与x的函数关系式；（2）设这种绿茶在这段时间内的销售利润为W（元）那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？参考答案:解：（1）由题可设，将(60，120)，
10、(70，100)代入上式可得：，解得：所以（2）由题可得：整理得：即，当时，可取得最大值，即，当价格定为元时，可取得最大利润元。10.公园里要修建圆形喷水池，如图所示，在水池中央垂直于水面处安装一根柱子OA，点O是水池中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上喷出形状相同的抛物线，为使水流形状较为漂亮，设计成水流到OA一米处达到距水面最大高度2.25m，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米时才能使喷出的水流不致落到池外？参考答案:解：以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的顶点为B，水流与x轴交点为C，则A（0，1.25），B（1，
11、2.25），C（x，0）设抛物线为，将点A代入，得a=-1当时得x=-0.5（舍去）或x=2.5故水池半径至少要2.5米。11.如图，已知抛物线与一直线相交于A(-1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D。（1）分别求出抛物线和直线AC的函数关系式；（2）设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若P时抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值。参考答案:解：（1）把A(-1，0)， C(2，3)两点代入得：设直线AC所在直线为：，把A(-1，0)， C(2，3)两点代入得：（2），所以顶点D为D(1，4)则D(1，4)关于直线x=3的对称点为D(5
12、，4)连接ND与直线x=3相交，则这个交点就是使MN+MD的值最小的点M设ND所在直线的解析式为，把N(0，3)，D(5，4)代入可得当x=3时，所以，M的坐标为，即此时 （3）过P作PQx轴，交AC于点Q设，则， 即APC的最大值是12.用19米长的铝合金材料制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF=0.5米（铝合金材料的宽度忽略不计）。（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽（CD）x（米）之间的函数关系式。（2）如何设计才能是窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（3）如果要求窗框的面积不小于10平方米，请直接写出x的取值范围。参考答案:解：（1）由于，且所以所以（2）整理后可
13、得：即时，S可取得最大值，最大值为即窗户只要按照，时，可使透光面积达到最大（3）13.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。参考答案:解（1），篱笆长为24米 花圃长为米 （2）整理函数：即，当，可取得最大值：（3）结合实际可知：，解得： 在范围内，当时可取得最大值：即，在墙的最大可利用长度为8米的情况下，花园的最大面积为32平方米14.某建筑的窗户如图所示，它的
14、上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当r等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ 参考答案:解:由题意可知.化简得. 设窗户的面积为S m2，则.当(m)时，S有最大值.(m2).即当m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积是m2.15.如图，有一块空地，空地外有一面长10 m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门（门也用不锈钢材料做成），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 参考答案:解：设米，则米，两个花圃的总面积记为平方米，则根据题意可列方程：整理得：由于墙的长度为10米，所以即：，解得：在范围内，当时，可取得最大值，即是说，当米时，花圃可达到最大面积平方米。