1、2019-2020学年山西省高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2，Bx|（x+5）（x2）0，则AB（）A（2，+）B2，2C（2，2D5，+）2（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，若A（0，1，6），B（1，2，8），则|AB|（）ABC3D3（5分）某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500，600，700，现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为（）A5B6C7D84（5分）若直线ax2y+a+20与3x+（a
2、5）y+50平行，则a的值为（）A2B1或3C3D2或35（5分）已知，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列判断正确的是（）A若，则B若m，n，则mnC若，m，n，则mnD若，m，n，则mn6（5分）已知两个单位向量，的夹角为60，向量，则（）ABCD77（5分）点到直线x+y+80的距离的最小值为（）A4BCD8（5分）已知A（1，0），B（0，2），C（2，6），则ABC的BC边上的高线所在的直线方程为（）Ax+2y10Bx+2y+10Cx6y10Dx109（5分）光线自点（2，4）射入，经倾斜角为135的直线l：ykx+1反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪个点（）A
3、（14，2）B（14，1）C（13，2）D（13，1）10（5分）已知P，Q分别为圆M：（x6）2+（y3）24与圆N：（x+4）2+（y2）21上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|+|AQ|的最小值为（）ABCD11（5分）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）ABCD12（5分）若直线ykx1与函数的图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，
4、将答案填在答题纸上）13（5分）设函数，则f（f（10） 14（5分）如图，某几何体由两个同底面的圆锥组合而成，若底面积为9，小圆锥与大圆锥的高分别为4和6，则该几何体的表面积为 15（5分）若圆M：（x1）2+（y+1）24与圆N：x2+（ym）225（m0）内切，则m 16（5分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ABCD，ADCDPD2，AB1，E为PC的中点，F为线段PB上的动点，则（AF+EF）2的最小值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17（
5、10分）已知直线l经过点（3，2）（1）若l与直线y2x平行，求l的方程（结果用一般式表示）；（2）若l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求l的方程（结果用一般式表示）18（12分）已知四棱锥PABCD的直观图如图所示，其中AB，AP，AD两两垂直，ABADAP2，且底面ABCD为平行四边形（1）证明：PABD（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥PABCD的体积19（12分）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边已知，（1）若ABC的面积为，求b；（2）若c2b247，求ABC的周长20（12分）
6、如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，O为A1C1的中点，且AB2（1）证明：OD平面AB1C（2）若异面直线OD与AB1所成角的正弦值为，求三棱柱ABCA1B1C1的体积21（12分）在数列an，bn中，a1b11，an+13anbn3n1，bn+13bnan+3n+1等差数列cn的前两项依次为a2，b2（1）求cn的通项公式；（2）求数列（an+bn）cn的前n项和Sn22（12分）已知直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20与圆C：x22x+y20交于M，N两点（1）求l的斜率的取值范围（2）若O为坐标原点，直线OM与ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+
7、k2是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由2019-2020学年山西省高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2，Bx|（x+5）（x2）0，则AB（）A（2，+）B2，2C（2，2D5，+）【分析】求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|x2，Bx|（x+5）（x2）0x|5x2，ABx|2x2（2，2故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，若A（0，
8、1，6），B（1，2，8），则|AB|（）ABC3D【分析】根据空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可【解答】解：空间直角坐标系中，A（0，1，6），B（1，2，8），则|AB|故选：A【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离计算问题，是基础题3（5分）某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500，600，700，现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为（）A5B6C7D8【分析】根据分层抽样原理计算所抽取的人数【解答】解：根据分层抽样原理，计算从这三个年级中选取18人时，应选取的初二年级学生人数为186（人）故选：B【点评】本题考查
9、了分层抽样原理的应用问题，是基础题4（5分）若直线ax2y+a+20与3x+（a5）y+50平行，则a的值为（）A2B1或3C3D2或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a5）23，解得a2或3，验证直线是否平行即可得答案【解答】解：根据题意，因为直线ax2y+a+20与3x+（a5）y+50平行，所以a（a5）23，解得a2或3，当a3时，这两条直线重合，当a2时，两条直线平行，故a2；故选：A【点评】本题考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题5（5分）已知，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列判断正确的是（）A若，则B若m，n，则mnC若，m，n，则mn
10、D若，m，n，则mn【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案【解答】解：对于A，由，得或与相交，故A错误；对于B，由m，n，利用线面垂直的性质可得mn，故B正确；对于C，由，m，n，得mn或mn或m与n相交不存在或m与n异面不存在，故C错误；对于D，由，m，n，得mn或m与n异面判断正确的是B故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题6（5分）已知两个单位向量，的夹角为60，向量，则（）ABCD7【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即
11、可求出的值【解答】解：两个单位向量，的夹角为60，故选：A【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题7（5分）点到直线x+y+80的距离的最小值为（）A4BCD【分析】利用点到直线的距离公式和三角恒等变换，化简求出距离的最小值【解答】解：点到直线x+y+80的距离为d3所以当sin（+）1，即2k+，kZ时，d取得最小值为3故选：C【点评】本题考查了点到直线的距离计算问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题8（5分）已知A（1，0），B（0，2），C（2，6），则ABC的BC边上的高线所在的直线方程为（）Ax+2y10Bx+2
12、y+10Cx6y10Dx10【分析】根据题意，由B、C的坐标可得BC的斜率，进而可得BC边上的高所在直线的斜率，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，B（0，2），C（2，6），则kBC2，则BC边上的高所在直线的斜率k，则BC边上的高线所在的直线方程为，即x+2y10；故选：A【点评】本题考查直线方程的计算，涉及直线垂直的判断，属于基础题9（5分）光线自点（2，4）射入，经倾斜角为135的直线l：ykx+1反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪个点（）A（14，2）B（14，1）C（13，2）D（13，1）【分析】求出反射光线的直线方程，代入x13，14求出即可【解答】解：由 kta
13、n1351，设点（2，4）关于直线l：yx+1的对称点为（m，n），则，解得m3，n1，所以反射光线所在直线方程为，当x13时，y1；当x14时，故选：D【点评】考查点关于直线的对称，求直线方程，基础题10（5分）已知P，Q分别为圆M：（x6）2+（y3）24与圆N：（x+4）2+（y2）21上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|+|AQ|的最小值为（）ABCD【分析】求出圆N：（x+4）2+（y2）21关于x轴对称的圆为圆G：（x+4）2+（y+2）21，则|AP|+|AQ|的最小值为MG12，根据两点间的距离公式可求【解答】解：圆N：（x+4）2+（y2）21关于x轴对称的圆为圆G：（x+
14、4）2+（y+2）21，则|AP|+|AQ|的最小值为MG12，故选：B【点评】本题主要考查了圆外一点到圆上距离的最小值的求解，解题的关键是对称性的应用11（5分）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）ABCD【分析】根据题意，酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积，列出S的表达式，再求出体积V，解不等式即可【解答】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为h，R，则S2R2+2Rh，则，所以酒杯的容积
15、，又h0，所以，所以，解得，故选：D【点评】考查了组合体的体积和表面积计算，基础题12（5分）若直线ykx1与函数的图象恰有3个不同的交点，则k的取值范围为（）ABCD【分析】本题先根据题意画出函数f（x）的大致图象，然后根据直线ykx1恒过定点（0，1），旋转直线找到临界直线，计算出两个临界直线的斜率，可得k的取值范围【解答】解：由题意，f（x）的图象由圆（x1）2+y21的下半部分与圆（x3）2+y21的上半部分组成，大致图象如下：直线ykx1恒过定点（0，1）当直线ykx1与圆（x3）2+y21的上半部分相切时，；当直线ykx1经过点（4，0）时，数形结合可得，故选：C【点评】本题主要考
16、查直线旋转与曲线的关系，利用数形结合法解决问题的能力，数学计算能力本题属中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设函数，则f（f（10）16【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（10）的值，进而可得f（f（10）f（2），由函数的解析式计算可得答案【解答】解：根据题意，函数，则f（10）2lg102，则f（f（10）f（2）（）24216；故答案为：16【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数解析式的应用，属于基础题14（5分）如图，某几何体由两个同底面的圆锥组合而成，若底面积为9，小圆锥与大圆锥的高分别为4和6，则该几何体的表面积为（15+9）【分析】由底面
17、积求出底面圆的半径，利用圆锥的侧面积计算几何体的表面积【解答】解：因为底面积为9，所以底面圆的半径为r3，所以该几何体的表面积为：S3（+）（15+9）故答案为：（15+9）【点评】本题考查了旋转体的表面积计算问题，是基础题15（5分）若圆M：（x1）2+（y+1）24与圆N：x2+（ym）225（m0）内切，则m2【分析】两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，结合两点间的距离公式即可求解【解答】解：因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以，解得又m0，则故答案为：2【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系的简单应用，属于基础试题16（5分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面AB
18、CD，ABAD，ABCD，ADCDPD2，AB1，E为PC的中点，F为线段PB上的动点，则（AF+EF）2的最小值为【分析】推出将PBC翻折至与平面PAB共面，当F为AE与PB的交点时，AF+EF取得最小值，转化求解即可【解答】解：在RtPAB中，因为PB3，所以，所以将PBC翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中，当F为AE与PB的交点时，AF+EF取得最小值，此时，（AF+EF）2故答案为：【点评】本题考查直线与平面垂直的应用，空间几何体的表面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生
19、都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17（10分）已知直线l经过点（3，2）（1）若l与直线y2x平行，求l的方程（结果用一般式表示）；（2）若l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求l的方程（结果用一般式表示）【分析】（1）根据直线l与y2x平行求出斜率，利用点斜式写出l的方程（2）讨论直线l过原点和不过原点时，分别求出直线l的方程【解答】解：（1）因为l与直线y2x平行，所以l的斜率为2，由点斜式可得，l的方程为y+22（x3），即2xy80（2）当直线l过原点时，l的斜率为k，所以l的方程为yx，即2x+3y0当直线l不过原点时，设直线l的方程为，代入（3，2），得a1
20、，所以l的方程为x+y10综上，l的方程为2x+3y0或x+y10【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题18（12分）已知四棱锥PABCD的直观图如图所示，其中AB，AP，AD两两垂直，ABADAP2，且底面ABCD为平行四边形（1）证明：PABD（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理转化证明即可（2）利用三视图的知识，画出侧视图，然后求解几何体的体积即可【解答】（1）证明：因为AB，AP，AD两两垂直，所以PAAB，PAAD因为AB
21、ADA，所以PA平面ABCD因为BD平面ABC，所以PABD（2）解：该四棱锥的侧视图如图所示：依题意可得四边形ABCD为正方形，四棱锥PABCD的体积为【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间学习能力以及计算能力19（12分）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边已知，（1）若ABC的面积为，求b；（2）若c2b247，求ABC的周长【分析】（1）由已知利用正弦定理可得c4b，进而根据三角形的面积公式可求b的值（2）由c2b247，c4b，可求b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长【解答】解：（1），由正弦定理可得c4b，SABC
22、bcsinAbcb24，b2（2）c2b247，c4b，b1，c4，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA1+482437，a，ABC的周长为1+4+【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（12分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，O为A1C1的中点，且AB2（1）证明：OD平面AB1C（2）若异面直线OD与AB1所成角的正弦值为，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【分析】（1）连接OB1，连接BD交AC于G，连接B1G，证明四边形OB1GD为平行四边形，得出ODB1G，即证O
23、D平面AB1C；（2）由题意知异面直线OD与AB1所成角即为直线B1G与AB1所成角，利用空间中的垂直关系和三角形的边角关系计算三棱柱ABCA1B1C1的体积【解答】（1）证明：连接OB1，连接BD交AC于G，连接B1G易证OB1DG，且OB1DG，所以四边形OB1GD为平行四边形，所以ODB1G因为B1G平面AB1C，OD平面AB1C，所以OD平面AB1C（2）解：由（1）知，ODB1G，所以异面直线OD与AB1所成角即直线B1G与AB1所成角，所以因为底面ABCD为正方形，所以ACBD，又侧棱垂直底面，所以BB1AC因为BB1BDB，所以AC平面BB1D1D，所以ACB1G因为，所以，所以
24、故三棱柱ABCA1B1C1的体积【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了柱体体积计算问题，是中档题21（12分）在数列an，bn中，a1b11，an+13anbn3n1，bn+13bnan+3n+1等差数列cn的前两项依次为a2，b2（1）求cn的通项公式；（2）求数列（an+bn）cn的前n项和Sn【分析】（1）由已知递推式可得a2，b2，即有c1，c2，由等差数列的通项公式可得公差，进而得到所求通项公式；（2）由an+13anbn3n1，bn+13bnan+3n+1，两式相加，结合等比数列的定义和通项公式求得an+bn2n，可得（an+bn）cn（8n10）2n，再由数列
25、的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和【解答】解：（1）a1b11，an+13anbn3n1，bn+13bnan+3n+1，可得a23a1b13131312，b23b1a1+3+131+3+16，则c12，c26，等差数列cn的公差为6（2）8，则cn2+8（n1）8n10；（2）an+13anbn3n1，bn+13bnan+3n+1，两式相加可得an+1+bn+12（an+bn），可得an+bn为首项和公比均为2的等比数列，则an+bn2n，可得（an+bn）cn（8n10）2n，则前n项和Sn（2）2+64+148+（8n10）2n，2Sn（2）4+68+1416+（8n10
26、）2n+1，两式相加可得Sn4+8（4+8+2n）（8n10）2n+14+8（8n10）2n+1，化简可得Sn36+（4n9）2n+2【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题22（12分）已知直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20与圆C：x22x+y20交于M，N两点（1）求l的斜率的取值范围（2）若O为坐标原点，直线OM与ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时，斜率的取值范围（2）设直线
27、l方程为ykx+b，又因为题目给的直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20，所以k，b2，联立直线与圆方程，x1+x2，x1x2，k1+k2+进行化简就可得出结论【解答】解：（1）由圆C：x22x+y20方程知圆心C（1，0），半径r1当直线l和圆C相切时，得m或，当m时，直线l方程x0，当m时，直线l方程3x+4y80，所以直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围（，0）（2）设直线l方程为ykx+b，题目给的直线l：（m+2）x+（12m）y+4m20k，b2联立，得（1+k2）x2+（2kb2）x+b20，x1+x2，x1x2k1+k2+2k+b2k+b2k+2k1，所以k1+k2是否为定值，定值为1【点评】本题考查圆的方程，及直线与圆相交问题，定值问题，属于中档题