1、2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台、两个圆锥B一个圆柱、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱D两个圆台、一个圆锥2（5分）若直线过点（1，3），（2，3），则此直线的倾斜角是（）A30B45C60D903（5分）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离为1，则a（）ABCD4（5分）设m，n是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mn
2、C若m，mn，则nD若m，mn，则n5（5分）直线l：（m+1）x3y+12m0恒过定点M，则M的坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）6（5分）已知直线l1：x+ay10与l2：2xy+10平行，则l1与l2的距离为（）ABCD7（5分）圆x2+（y+1）25上的点到直线2xy+40的最大距离为（）ABCD8（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD9（5分）直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），其斜率取值范围是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k110（5分）若圆C1：x2+y2
3、1与圆C2：x2+y26x8y+m0有三条公切线，则m（）A21B19C9D1111（5分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D1612（5分）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆C被直线yx截得的弦长为，则圆C的方程为（）A（x+2）2+y29B（x2）2+y29C（x+1）2+y26D（x1）2+y26二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置13（5分）直线l1：2x+y50与l
4、2：x2y0的交点坐标为 14（5分）若点（a，b）在直线x+10上，则a2+b2的最小值为 15（5分）已知直线l1：ykx+1与直线l2：yx+2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB2，AC，BAC60，该棱柱的体积为，若棱柱各顶点均在同一球面上，则此球的表面积为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点（1）求证：平面A1DF平面B1EC；（2）求异面直线EC与DF所成角的正弦值18（12分）已知直角
5、三角形ABC的顶点A（2，0），直角顶点B（0，2），顶点C在x轴上（1）求BC所在直线方程的一般式；（2）求ABC外接圆M的标准方程19（12分）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）21（1）若直线l与圆C交于M，N两点，求k的取值范围；（2）若直线l与圆C相切，求直线l的一般式方程20（12分）如图，梯形CDEF与ADE所在的平面垂直，ADDE，CDDE，ABCDEF，AE2DE8，AB3，EF9，CD12（1）若G为AE中点，求证：DGEF；（2）求多面体ABCDEF的体积21（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，A
6、BBCAD，BADABC90（1）证明：BC平面PAD；（2）若PCD的面积为，求点C到平面PAB的距离22（12分）已知圆心在原点的圆C与直线yx+2相切（1）求圆的方程；（2）设动直线yk（x1）（k0）与圆C交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体
7、包括（）A一个圆台、两个圆锥B一个圆柱、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱D两个圆台、一个圆锥【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状【解答】解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B【点评】本题考查旋转体的形状判断，考查空间位置关系和想象能力，属于基础题2（5分）若直线过点（1，3），（2，3），则此直线的倾斜角是（）A30B45C60D90【分析】由题意利用直线的斜率的定义和斜率公式，求出此直线的倾斜角【解答】解：设此直线的倾斜角是，0，），则由tan，可得30，故选：A【点评】本题主要考查直线的斜率的定义和斜率公式
8、的应用，属于基础题3（5分）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+30的距离为1，则a（）ABCD【分析】利用点到直线距离公式，可以直接求解【解答】解：由点到直线的距离公式得：，a0，a故选：C【点评】点到直线的距离公式，是高中数学的重要知识，是高考常考点4（5分）设m，n是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【分析】由m，n，则mn或m与n异面；若直线与平面垂直的定义可知，若m，则m垂直与面内的任意直线；若m，mn，则n或n；若m，mn，则n、相交或n或n，从而可判断【解答】解：m，n，则mn或m与n异面，故
9、A错误；若直线与平面垂直的定义可知，若m，则m垂直于面内的任意直线，故B正确；若m，mn，则n或n，故C错误；若m，mn，则n、相交或n或n，故D错误故选：B【点评】本题主要考查了直线与平面平行及垂直的性质及判断定理的综合应用，属于中档试题5（5分）直线l：（m+1）x3y+12m0恒过定点M，则M的坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【分析】把直线l的方程化为m（x2）+（x3y+1）0，令求得有序数对即可【解答】解：直线l：（m+1）x3y+12m0可化为m（x2）+（x3y+1）0，令，解得，所以直线l恒过定点M（2，1）故选：A【点评】本题考查了直线恒过定点的应用
10、问题，是基础题6（5分）已知直线l1：x+ay10与l2：2xy+10平行，则l1与l2的距离为（）ABCD【分析】直线l1：x+ay10与l2：2xy+10平行，即可得到a，然后利用平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：直线l1：x+ay10与l2：2xy+10平行，可得a，则由两平行直线的距离公式可得d，则l1与l2的距离为，故选：D【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题7（5分）圆x2+（y+1）25上的点到直线2xy+40的最大距离为（）ABCD【分析】圆x2+（y+1）25上的点到直线2xy+40的最大距离是：d+r，其中d是圆心到直线的距离计算出即可
11、【解答】解：x2+（y+1）25，圆心（0，1），半径r圆心到直线的距离d，圆x2+（y+1）25上的点到直线2xy+40的最大距离为+2故选：A【点评】明确圆上的点到直线的最大距离的计算方法是解题的关键8（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为111，剩余部分体积为1，截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选：D【点评】本题考查了由三视图判断几
12、何体的形状，求几何体的体积9（5分）直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），其斜率取值范围是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k1【分析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果【解答】解：因为直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），所以直线端点的斜率分别为：1，如图：所以k或k1故选：D【点评】本题考查直线方程的应用，直线的斜率范围的求法，考查计算能力10（5分）若圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+m0有三条公切线，则m（）A21B19C9D11【分析】把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，利用圆C1
13、：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+m0有三条公切线，可得圆心距等于两圆的半径和，即可得到结论【解答】解：圆C1的方程：x2+y21，圆心C1（0，0），半径 为1， 圆C2：x2+y26x8y+m0，化为：（x3）2+（y4）225m，圆心C2（3，4），半径为，两圆的圆心距为5，圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+m0有三条公切线，51+，m9，故选：C【点评】本题考查两圆的位置关系，两个圆的公切线的条数，注意圆心距与半径和与差的关系11（5分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶
14、点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【解答】解：根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有248，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+416故选：D【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题12（5分）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆C被直线yx截得的弦长为，则圆C的方程为（）A（x+2）2+y29B（x2）2+y29C（x+1）2+y
15、26D（x1）2+y26【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出圆心和半径，进一步求出圆的方程【解答】解：设圆的方程为（xa）2+y2r2，所以，圆C被直线yx截得的弦长为，所以圆心（a，0）到直线xy0的距离d，由得，所以圆C的方程为（x2）2+y29故选：B【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的确定，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置13（5分）直线l1：2x+y50与l2：x2y0的交点坐标为（2，1）【分析】联立方程组，能求出直线l1：2x+
16、y50与l2：x2y0的交点坐标【解答】解：联立，解得x2，y1直线l1：2x+y50与l2：x2y0的交点坐标为（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题考查两直线的交点坐标的求法，考查直线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）若点（a，b）在直线x+10上，则a2+b2的最小值为【分析】推导出a1，从而a2+b24b22+14（b）2+，由此能求出a2+b2的最小值【解答】解：点（a，b）在直线x+10上，a1，a2+b24b22+14（b）2+，当b时，a2+b2取最小值为故答案为：【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是
17、基础题15（5分）已知直线l1：ykx+1与直线l2：yx+2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（1，）【分析】联立，得x，y，再由直线l1：ykx+1与直线l2：yx+2的交点位于第四象限，列不等式组能求出实数k的取值范围【解答】解：联立，得x，y，直线l1：ykx+1与直线l2：yx+2的交点位于第四象限，解得1k，实数k的取值范围是（1，）故答案为：（1，）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB2，AC，BAC60，该棱柱的体积为，若棱柱各顶点均在同一球面上，则此球
18、的表面积为9【分析】根据题意，设球心为O，ABC的外心为O，球心为O，球的半径为R，由余弦定理求出BC的值，进而可得ABC为直角三角形，求出ABC面积，进而可得三棱柱的侧棱长，求出球的半径，由球的面积公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设球心为O，ABC的外心为O，球心为O，球的半径为R，ABC中，AB2，AC，BAC60，则BC2AB2+AC22ABACcosBAC6，则BC，则有AB2BC2+AC2，则ABC为直角三角形，其外心O为ABC的斜边AB的中点，其外接圆半径rAB；SABCACBC，又由该棱柱的体积为，且三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，则侧棱AA1，则R2OB2（）2
19、+（）2，故此球的表面积S4R29；故答案为：9【点评】本题考查球内接多面体，涉及球的体积与面积的计算，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点（1）求证：平面A1DF平面B1EC；（2）求异面直线EC与DF所成角的正弦值【分析】（1）由A1DB1C，得A1D平面B1EC，由A1FEC，得A1F平面B1EC，由此能证明平面A1DF平面B1EC（2）由DFEB1，得B1EC即为异面直线EC与DF所成角，由此能求出异面直线EC与DF所成角的正弦值【解答】解：（1）证明
20、：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点A1DB1C，A1D平面B1EC，B1C平面B1EC，A1D平面B1EC，A1FEC，A1F平面B1EC，EC平面B1EC，A1F平面B1EC，又A1DA1FA1，平面A1DF平面B1EC（2）解：DFEB1，B1EC即为异面直线EC与DF所成角，设正方体棱长为2，则，2，异面直线EC与DF所成角的正弦值为【点评】本题考查面面平行的证明，考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18（12分）已知直角三角形ABC的顶点A（2，0），直角顶点B（0，2），顶点
21、C在x轴上（1）求BC所在直线方程的一般式；（2）求ABC外接圆M的标准方程【分析】（1）求出AB的斜率，即可求BC边所在直线方程；（2）直角三角形ABC，圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，可求圆M的方程【解答】解：（1）A（2，0），BC边所在直线方程：（7分）（2）直角三角形ABC，圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半圆M的方程：（x1）2+y29（7分）【点评】本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础19（12分）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）21（1）若直线l与圆C交于M，N两点，求k的取值范围；（2）若直线l与圆C相切，求直线l的一般式
22、方程【分析】（1）设出直线方程，利用圆的圆心到直线的距离小于半径求解即可（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，然后求解直线方程【解答】解：（1）设直线，即kxyk0，由题得圆心C到直线的距离d小于圆半径r，即，解得（2）由题得圆心C到直线的距离d等于圆半径r，即，解得，直线l的方程为4x3y40【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20（12分）如图，梯形CDEF与ADE所在的平面垂直，ADDE，CDDE，ABCDEF，AE2DE8，AB3，EF9，CD12（1）若G为AE中点，求证：DGEF；（2）求多面体ABCDEF的体积【分析】（1）证明CD
23、DE，CDDG然后证明EFDG（2）过点B作BMAD交DC于点M，过点B作BNAE交EF于点N，通过VABCDEFVBMNADE+VBNMCF求解即可【解答】（1）证明：梯形CDEF与ADE所在的平面垂直，平面CDEF平面ADEDE，且CDDE，CD平面ADE，CDDG且CDEF，EFDG（2）解：过点B作BMAD交DC于点M，过点B作BNAE交EF于点N，连接MN，则VABCDEFVBMNADE+VBNMCF【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了多面体体积的求法，训练了等积法，是中档题21（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BA
24、DABC90（1）证明：BC平面PAD；（2）若PCD的面积为，求点C到平面PAB的距离【分析】（1）证明BCAD，然后利用直线与平面平行的判断定理证明BC平面PAD（2）设AD2x，则ABBCx，CD，作AD中点O，连接PO，OC，作CD中点E，连接OE，PE，由VPABCVCPAB，转化求解点C到平面PAB的距离【解答】（1）证明：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，ABCD是梯形，BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD（2）侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，且，设AD2x，则ABBCx，CD，作AD中
25、点O，连接PO，OC，作CD中点E，连接OE，PE，则，x2，PO，由VPABCVCPAB得，即，【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，等体积法的应用，考查点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，中档题22（12分）已知圆心在原点的圆C与直线yx+2相切（1）求圆的方程；（2）设动直线yk（x1）（k0）与圆C交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）直接利用直线与圆的位置关系式的应用求出圆的方程（2）利用直线与圆建立的方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【解答】解：（1）由题得圆心C到直线的距离d等于圆半径r，即rd2，所以圆C的方程为x2+y24（2）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）由x1+x2若直线AN与直线BN关于x轴对称，则kAN+kBN0，即00，所以2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t0，t4所以在x轴正半轴上存在定点N（4，0），使得直线AN与直线BN关于x轴对称【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型