1、2018-2019学年山西大学附中高二（下）5月月考数学试卷（文科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1（5分）复数z12i的虚部是（）A2B2C2iD2i2（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（）A某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列an中，a11，an（an1+），由此归纳出an的通项公式3（5分）点P的直角坐标为，则点P的极坐标可以为（）ABCD4（
2、5分）在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数R2判断，其中拟合效果最好的为（）A模型1的相关指数R2为0.85B模型2的相关指数R2为0.25C模型3的相关指数R2为0.7D模型4的相关指数R2为0.35（5分）已知函数f（x）ax3+6x23x+1在区间（1，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A（，3B（，C3，D（，+6（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）1的距离是（）AB3C1D27（5分）已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，x2345y54m7则m（）AB6C7D58（5分）若函数f（x）满足，则f（2
3、）的值为（）A3B1C0D19（5分）已知，f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）ABCD10（5分）设f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，且f（2）0，当x0时，有xf（x）2f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，2）（2，0）B（2，0）（2，+）C（，2）（0，2）D（0，2）（2，+）11（5分）已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A（1，0）B（1，+）C（2，0）D（2，1）12（5分）已知函数f（x）ex，g（x）a（a0），若函数yf（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得yf（x）在点P（x0，
4、y0）处的切线与yg（x）的图象也相切，则a的取值范围是（）A（0，1B（0，C（1，D（，2e二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13（5分）设复数z满足（3i）z1i，则|z| 14（5分）圆24（2sin+cos）+150被直线截得的弦长为 15（5分）观察下列等式112+3+493+4+5+6+7254+5+6+7+8+9+1049照此规律，第n个等式为 16（5分）已知函数f（x）ex（a1）x1（e为自然对数的底数），若x0（0，+），使得f（lgx0）f（x0）成立，则a的取值范围为 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）1
5、7（10分）已知m为实数，设复数z（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的点在直线xy+70的下方，求m的取值范围18（12分）为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：年龄15，25）25，35）35，45）45，55）55，65不支持“延迟退休”的人数155152317（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）根据以上统计数据填写下面的22列联表，据此表，能否在犯错误的
6、概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？45岁以下45岁以上总计不支持支持总计参考公式：其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82819（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos2sin（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，P（1，2），求|PA|PB|20（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方
7、程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos20，点P的极坐标是（，）（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求PMN的面积21（12分）已知函数f（x）e2x+mx，其中m0（）当m1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若不等式f（x）0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围22（12分）已知函数，mR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m（1，0），证明：对任意的x1，x21，1m，4f（x1）+x252018-2019学年山西大学附中高二（下）5月月考数学试卷（文科）参考
8、答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1（5分）复数z12i的虚部是（）A2B2C2iD2i【分析】利用虚部的定义即可得出【解答】解：复数z12i的虚部是2故选：A【点评】本题考查了虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（）A某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列an中，a11，an（an1+），由此
9、归纳出an的通项公式【分析】推理分为合情推理（特殊特殊或特殊一般）与演绎推理（一般特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断【解答】解：A中是从特殊一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理故选：C【点评】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题3（5分）点P的直角坐标为，则点P的极坐标可以为（）ABCD【分析】直接利用转换关系式的应用求出结果【解答】解：P的直角坐
10、标为，所以：，整理得tan，解得：，故：极坐标为（2，）故选：B【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型4（5分）在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数R2判断，其中拟合效果最好的为（）A模型1的相关指数R2为0.85B模型2的相关指数R2为0.25C模型3的相关指数R2为0.7D模型4的相关指数R2为0.3【分析】根据两个变量的相关指数R2越大，其拟合效果越好，比较四个选项中的R2，即可得出答案【解答】解：根据两个变量的相关指数R2越大，拟合效果越好，得出模型1的相关指数R2
11、0.97最大，它的拟合效果最好故选：A【点评】本题考查了利用两个变量的相关指数R2判断模型拟合效果的应用问题，是基础题5（5分）已知函数f（x）ax3+6x23x+1在区间（1，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A（，3B（，C3，D（，+【分析】对函数f（x）求导，转化成f（x）在（1，2）上有f（x）0恒成立，从而求出a的取值范围【解答】解：f（x）ax3+6x23x+1，f（x）3ax2+12x3，又f（x）在（1，2）上是减函数，f（x）在（1，2）上恒有f（x）0，即3ax2+12x30在（1，2）上恒成立a（2）24，因为x（1，2），所以（，1），所以：a3实数a的取值范围
12、是a|a3故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题6（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）1的距离是（）AB3C1D2【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解【解答】解：在极坐标系中，点（2，）化为直角坐标为（，1），直线sin（）1化为直角坐标方程为xy+20，（，1）到xy+20的距离d1，即为点（2，）到直线sin（）1的距离1，故选：C【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想7（5分）已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，x2
13、345y54m7则m（）AB6C7D5【分析】求出与，再由线性回归方程恒过样本点的中心列式求得m值【解答】解：，由线性回归方程恒过样本点的中心，得，解得m6故选：B【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题8（5分）若函数f（x）满足，则f（2）的值为（）A3B1C0D1【分析】根据题意，求出f（x）的导数可得f（x）x22f（1）x1，令x1可得f（1）的值，即可得f（x）x21，令x2计算可得答案【解答】解：根据题意，则其导数f（x）x22f（1）x1，令x1可得：f（1）12f（1）x1，变形可得f（1）0，则f（x）x21，则f（2）413，故选：A
14、【点评】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题9（5分）已知，f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）ABCD【分析】求的导数，得f（x）的表达式，判断f（x）的奇偶性和对称性，然后设g（x）f（x），求g（x），研究函数g（x）的单调性，利用极限思想求出当x0时，f（x）2，利用排除法进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）x+sinx，设g（x）f（x），则g（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D：g（x）1+cosx0，即函数f（x）为增函数，当x0且x0，g（x）1+cosx2，故排除B，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，求出函数
15、的导数，利用函数的对称性和极限思想是解决本题的关键10（5分）设f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，且f（2）0，当x0时，有xf（x）2f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，2）（2，0）B（2，0）（2，+）C（，2）（0，2）D（0，2）（2，+）【分析】先构造函数，对g（x）求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式f（x）0转化为g（x）0，结合g（x）的简图，即可求出结果【解答】解：令，则，当x0时，有xf（x）2f（x）0，g（x）0，即函数g（x）在（0，+）上单调递增；又f（x）是R上的奇函数，f（x）f（x），g（x），故函数g（x）为奇
16、函数，又f（2）0，g（2）0，g（2）g（2）0，由f（x）0可得，g（x），即要使f（x）0成立，只需g（x）0成立；作出函数g（x）的简图如下：由图象可得，当x（，2）（0，2）时，g（x）0，即f（x）0故选：C【点评】本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属中档题11（5分）已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A（1，0）B（1，+）C（2，0）D（2，1）【分析】通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，结合数形结合求解即可【解答】解：由alnx+x2（a+2）x0得令，则，在（0，1）上递减，在（
17、1，+）上递增，所以g（x）ming（1）1，又当x（0，1）时，x22x0，所以实数的取值范围是（1，0）故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用有解计算能力12（5分）已知函数f（x）ex，g（x）a（a0），若函数yf（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得yf（x）在点P（x0，y0）处的切线与yg（x）的图象也相切，则a的取值范围是（）A（0，1B（0，C（1，D（，2e【分析】设yf（x）的图象在点P（x0，）处的切线与yg（x）的图象切于（t，a），由题意可得，解得x01t则a，t0构造函数h（t），t0，利用导数求其最值得答案【解答】解：
18、设yf（x）的图象在点P（x0，）处的切线与yg（x）的图象切于（t，a），依题意有，解得x01ta，t0记h（t），t0h（t），令h（t）0，得t当t0时，h（t）0，当0t时，h（t）0，函数h（t）在（0，）上单调递增；当t时，h（t）0，函数h（t）在（，+）上单调递减由当t0+时，h（0）0，h（），当t+时，h（0）0，故ah（t）（0，故选：B【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13（5分）设复数z满足（3i）z1i，则|z|【分析】把已知等式变形，再由复
19、数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算公式求解【解答】解：由（3i）z1i，得z|z|故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题14（5分）圆24（2sin+cos）+150被直线截得的弦长为2【分析】首先把圆的极坐标式，转换为直角坐标式，进一步利用圆被y轴所截得点的坐标求出结果【解答】解：圆24（2sin+cos）+150，转换为直角坐标方程为：x2+y28y4x+150，令x0，得：y28y+150，解得：y3或5，所以：所截得弦长为532故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的解法的应用，
20、主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型15（5分）观察下列等式112+3+493+4+5+6+7254+5+6+7+8+9+1049照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果【解答】解：观察下列等式112+3+493+4+5+6+7254+5+6+7+8+9+1049等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
21、照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题16（5分）已知函数f（x）ex（a1）x1（e为自然对数的底数），若x0（0，+），使得f（lgx0）f（x0）成立，则a的取值范围为（1，+）【分析】可知lgx0x0，从而根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f（x）exa+1，从而可判断（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程a1ex有解，这样由指数函数yex的单调
22、性即可得出a的取值范围【解答】解：lgx0x0；要满足x0（0，+），使f（lgx0）f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；f（x）ex（a1）；x（0，+）时，f（x）0不恒成立，即f（x）不是减函数；只能f（x）存在极值点，f（x）0有解，即a1ex有解；aex+11a（1，+）；故答案为：（1，+）【点评】考查函数ylgx和yx图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）已知m为实数，设复数z（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）当复数
23、z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的点在直线xy+70的下方，求m的取值范围【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）由复数z对应的点在直线xy+70的下方，得（m2+5m+6）（m22m15）+70，求解不等式得答案【解答】解：（1）由题意得：，解得m2（2）复数z对应的点的坐标为（m2+5m+6，m22m15），直线xy+70的下方的点的坐标（x，y）应满足xy+70，即：（m2+5m+6）（m22m15）+70，解得m4，m的取值范围为（4，+）【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题18（12分）为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度
24、，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：年龄15，25）25，35）35，45）45，55）55，65不支持“延迟退休”的人数155152317（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）根据以上统计数据填写下面的22列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？45岁以下45岁以上总计不支持支持总计参考公式：其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.1000.0500.0100.0
25、01k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）利用频率分布直方图计算这100人年龄的平均数即可；（2）由频率分布直方图求得对应的频率和频数，填入列联表，再计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）估计这100人年龄的平均数为：200.2+300.1+400.2+500.3+600.342；（5分）（2）由频率分布直方图可知，得年龄在25，35），35，45），45，55）这三组内的频率和为0.5，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人；列联表如下：45岁以下45岁以上总计不支持354075支持151025总计5050100计算观测值K21.3333.841，（11分
26、）所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题19（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos2sin（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，P（1，2），求|PA|PB|【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果【解答】解：（1
27、）直线l的参数方程为，（t为参数），转换为直角坐标方程为：x+y10曲线C的极坐标方程为cos2sin转化内直角坐标方程为：yx2，（2）把直线l的参数方程为，（t为参数），代入yx2，得到：（t1和t2为A、B对应的参数），所以：t1t22，则：|PA|PB|t1t2|2【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos20，点P的极坐标是
28、（，）（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求PMN的面积【分析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积【解答】解（1）由消去t，得到y，则sincos，所以直线l的极坐标方程为（R）点P（，）到直线l的距离为dsin（）（2）由，得，220所以1+21，122所以，|MN|12|3则PMN的面积为SPMN|MN|d【点评】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键属中档题2
29、1（12分）已知函数f（x）e2x+mx，其中m0（）当m1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若不等式f（x）0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）当m1时，f（x）2e2x1，可得f（0）1，又f（0）1，即可得曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程（） f（x）2e2x+m，其中m0 对实数m进行讨论：当m0，当m0可得f（x）在x处取得最小值，解得2em0【解答】解：（）当m1时，f（x）e2xxf（x）2e2x1（2分）则f（0）1，又f（0）1（4分）曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为：yx+1（5分）（）函数f（x）定义域为（，+
30、），且f（x）2e2x+m，其中m0（6分）下面对实数m进行讨论：当m0时，f（x）e2x0恒成立，满足条件（7分）当m0时，由f（x）0解得x，从而知函数f（x）在（）内递增；同理函数f（x）在（，）内递减（9分）因此f（x）在x处取得最小值（10分）0解得2em0（12分）综上：当m（2e，0时，不等式f（x）0在定义域（，+）内恒成立（13分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了函数零点存在但是无法求出的情况下研究函数的单调性极值问题，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12分）已知函数，mR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m（1，
31、0），证明：对任意的x1，x21，1m，4f（x1）+x25【分析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可（2）将不等式进行转化，构造函数g（x）x+，则不等式转化为最值问题进行求解即可【解答】解：（1）（2分）当11m，即m0时，（，1m）和（1，+）上f（x）0，f（x）单调减；（1m，1）上f（x）0，f（x）单调增（3分）当11m，即m0时，（，+）上f（x）0，f（x）单调减（4分）当11m，即m0时，（，1）和（1m，+）上f（x）0，f（x）单调减；（1，1m）上f（x）0，f（x）单调增（5分）（2）对任意的x1，x21，1m，4f（x1）+x25可转化为，设g（x）x+，则问题等价于x1，x21，1m，f（x）maxg（x）min（6分）由（1）知，当m（1，0）时，f（x）在1，1m上单调递增，（7分）g（x）在1，1m上单调递减，（8分）即证，化简得4（2m）e1m5（1m）令1mt，t（1，2）设h（t）et（5t）4（t+1），t（1，2），（9分）h（t）et（4t）42et40，故h（t）在（1，2）上单调递增（10分）h（t）h（1）4e80，即4（2m）e1m5（1m）（11分）故，得证（12分）【点评】本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数之间关系进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度