1、2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）空间直角坐标系中，点A（10，4，2）关于点M（0，3，5）的对称点的坐标是（）A（10，2，8）B（10，2，8）C（5，2，8）D（10，3，8）2（5分）直线xy10的倾斜角大小（）ABCD3（5分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若n，n，则4（5分）直线l：2xy+m0与圆C：（x2）2+y29交于两点A，B，
2、|AB|4，则实数m的值为（）A1或9B1或9C1D95（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，则其外接球的体积为（）A12BCD6（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A15B18C22D337（5分）如图，三棱锥VABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，则二面角VABC的平面角的度数为（）A30B45C60D908（5分）在体积为15的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，SABC的体积为3，则三棱锥SA1B1C1的体积为（）A1BC2D39（5分）若曲线C1：x2+y22x0与曲线C2：y（ymx+3m）0有四个不同的交点，则实数m
3、的取值范围是（）ABCD10（5分）已知圆C1：x2+y2+4y+30，圆C2：x2+y26x+2y+60，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：yx+1上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为（）A2B2CD11（5分）若圆（xa）2+（ya）28上总存在点A，使得，则实数a的取值范围是（）A（3，1）（1，3）B（3，3）C1，1D3，11，312（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体OAEF中，下列结论错误的是（）AAO平面EOFB直线AH与平面EOF所成角
4、的正切值为C四面体OAEF的内切球表面积为D异面直线OH和AE所成角的余弦值为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知直线l1：2x+my+10与l2：3xy10平行，则m的值为 14（5分）如图所示，RtABC为水平放置的ABC的直观图，其中ACBC，BOOC1，则ABC的面积为 15（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其所有面中，面积最大的面的面积为 16（5分）过动点A作圆（x2）2+（y1）21的切线AB，其中B为切点，若|AB|AO|（O为坐标原点），则|AB|的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，满分0分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已
5、知ABC的顶点A（5，1），AC边上的中线BM所在直线方程为2xy50，AB边上的高CH所在直线方程为x2y50（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程18已知圆M过点C（1，1），D（1，1），且圆心M在直线x+y20上（1）求圆M的方程；（2）点P（x，y）为圆M上任意一点，求的最值19如图，在棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且ADC60，M为PB的中点，（1）求证：PACD；（2）求二面角PABD的大小；（3）求证：平面CDM平面PAB20如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，点E、F分别为BC、
6、AP中点，三棱锥PDEF的体积（1）求证：EF平面PCD；（2）求AD的长21如图1，在矩形BB1C1C中，A，A1分别是BC，B1C1的中点，D，D1分别是AC，A1C1的中点，将四边形CC1D1D，AA1B1B分别沿DD1，AA1折起，使平面CC1D1D平面AA1D1D，平面AA1B1B平面AA1D1D，如图2所示，E是AA1上一点，且（1）求证：B1C1平面AA1C1C；（2）线段CB1上是否存在点Q，使得AQ平面B1C1E？若存在，求出CQ的长，若不存在，请说明理由22已知圆x2+y24，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且PAQ90，M是PQ的中点（1）求点M的轨迹方程；（
7、2）过点B（0，1）的直线l与点M的轨迹交于C，D两点，求的取值范围2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）空间直角坐标系中，点A（10，4，2）关于点M（0，3，5）的对称点的坐标是（）A（10，2，8）B（10，2，8）C（5，2，8）D（10，3，8）【分析】设A关于M的对称点为B（x，y，z），然后利用中点坐标公式求解【解答】解：设A关于M的对称点为B（x，y，z），则，解得点A（10，4，2）关于点M（0，3，5）
8、的对称点的坐标是（10，2，8）故选：B【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间中中点坐标公式的应用，是基础题2（5分）直线xy10的倾斜角大小（）ABCD【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解：设直线xy10的倾斜角为，0，），则tan，故选：B【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若n，n，则【分析】若，则或与相交；若mn，m，n，则或与相交；若mn，m，则n或n；若n，n，则由平面平行的判定定理知【解答】解：由m，n是
9、两条不同的直线，是三个不同的平面，知：若，则或与相交，故A不正确；若mn，m，n，则或与相交，故B不正确；若mn，m，则n或n，故C不正确；若n，n，则由平面平行的判定定理知，故D正确故选：D【点评】本题考查平面与平面、直线与平面的位置关系的判断，是基础题解题时要注意空间思维能力的培养4（5分）直线l：2xy+m0与圆C：（x2）2+y29交于两点A，B，|AB|4，则实数m的值为（）A1或9B1或9C1D9【分析】根据圆C的圆心到直线2xy+m0的距离d与弦长|AB|和半径r的关系，列方程求得m的值【解答】解：圆C：（x2）2+y29的圆心为C（2，0），半径为r3；由弦长|AB|4，则圆心
10、C到直线2xy+m0的距离为：d，化简得|4+m|5，解得m9或1故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了点到直线的距离应用问题，是基础题5（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，则其外接球的体积为（）A12BCD【分析】画出示意图，AC2，rAC1，hAA1，R，进而求解【解答】解：由题意，画出示意图，如右图所示，则，AC2，rAC1，hAA1，R，外接球体积VR34，故选：D【点评】考查空间想象能力，勾股定理，直角三角形与圆的关系，球体体积的求法6（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A15B18C22D33【分析】该几何体是一个
11、组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是4该几何体的表面积：SS上+S下故选：D【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题7（5分）如图，三棱锥VABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，则二面角VABC的平面角的度数为（）A30B45C60D90【分析】取AB中点O，连结VO，CO，则VOC是二面角VABC的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角VABC的平面角的度数【解答】解：取AB中点O，连结VO，CO，三棱锥VABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，V
12、OC是二面角VABC的平面角，VO1，CO1，cosVOC，VOC60二面角VABC的平面角的度数为60故选：C【点评】本题考查二面角的平面角的大求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用8（5分）在体积为15的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，SABC的体积为3，则三棱锥SA1B1C1的体积为（）A1BC2D3【分析】由棱柱的体积与棱锥体积的关系，由于三棱锥SABC三棱锥SA1B1C1的底面全等，高之和等于棱柱的高，我们可得棱锥SABC的体积与三棱锥SA1B1C1的体积和为V（其中V为斜三棱柱ABCA1B1C1的体积），进而结合三棱柱ABCA1B1C1的体积V1
13、5，三棱锥SABC的体积为3，得到答案【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的体积V15，三棱锥SABC的体积与三棱锥SA1B1C1的体积和为V5三棱锥SABC的体积为3，三棱锥SA1B1C1的体积2故选：C【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中分析出棱锥SABC的体积与三棱锥SA1B1C1的体积和为V（其中V为斜三棱柱ABCA1B1C1的体积），是解答本题的关键9（5分）若曲线C1：x2+y22x0与曲线C2：y（ymx+3m）0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）ABCD【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（3，0），当直线ymx+3m0与圆相切时
14、根据圆心到直线的距离公式可求出m的値，数形结合求出m的取值范围【解答】解：根据题意可知曲线C1：x2+y22x0表示一个圆，化为标准方程得：（x1）2+y21，所以圆心坐标为（1，0），半径r1C2：y（ymx+3m）0表示两条直线y0和ymx+3m0，由直线ymx+3m0可知：此直线过定点（3，0），在平面直角坐标系内画出图象如图所示：当直线ymx+3m0与圆相切时，圆心到直线的距离dr1化简得m；则直线ymx+3m0与圆相交时，m（，0）（0，）故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题10（5分）已知圆C1：x2+y2+
15、4y+30，圆C2：x2+y26x+2y+60，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：yx+1上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为（）A2B2CD【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解即可【解答】解：圆的标准方程为C1：x2+（y+2）21，圆C2：（x3）2+（y+1）24，则圆心坐标C1（0，2），半径为1，圆心坐标C2（3，1），半径为2，圆C1（0，2）关于yx+1对称的点的坐标为圆C3（3，1），半径为1，由对称性知问题转化为P到D，N的距离之和的最小值，由图象知当C3，C2，P三点共线时，|MP|+|NP|的距离最
16、小，此时最小值为|C2C3|1233323，故选：A【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的应用，结合圆的对称性以及两点间的距离公式是解决本题的关键综合性较强有一定的难度11（5分）若圆（xa）2+（ya）28上总存在点A，使得，则实数a的取值范围是（）A（3，1）（1，3）B（3，3）C1，1D3，11，3【分析】由已知得圆上点到原点距离d，从而2|a|2+，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：圆（xa）2+（ya）28的圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r2，由圆（xa）2+（ya）28上总存在点到原点的距离，2|a|2+，1|a|3解得 1a3或3a1实数a的取值范围是3，11，3故
17、选：D【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用12（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体OAEF中，下列结论错误的是（）AAO平面EOFB直线AH与平面EOF所成角的正切值为C四面体OAEF的内切球表面积为D异面直线OH和AE所成角的余弦值为【分析】如图所示，A根据AOOE，AOOF，及其线面垂直的判定定理即可判断出正误B由已知可得：AHEF，OHEF可得OHA为直线AH与平面EOF所成角，由OE2+OF22EF2，
18、可得OEOF利用面积关系可得OH，可得：tanOHA，即可判断出正误C设四面体OAEF的内切球的半径为r，则r22，解得r，即可得出内切球的表面积SD取AF的中点M，连接OM，MH则MHAE，可得MH，OMAF，可得cosOHM【解答】解：如图所示，AAOOE，AOOF，OEOFO，AO平面OEF，因此正确B由已知可得：AHEF，OHEFOHA为直线AH与平面EOF所成角，由OE2+OF22EF2，OEOFOH，可得：tanOHA2，因此B正确C设四面体OAEF的内切球的半径为r，则r22，解得r，内切球的表面积S，因此不正确；D取AF的中点M，连接OM，MH则MHAE，可得MH，OMAF，c
19、osOHM，因此正确综上可得：只有C不正确故选：C【点评】本题考查了空间线面位置关系、空间角、球的表面积、三角形中位线定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知直线l1：2x+my+10与l2：3xy10平行，则m的值为【分析】由题意利用两条直线平行性质，求出m的值【解答】解：直线l1：2x+my+10与l2：3xy10平行，求得m，故答案为：【点评】本题主要考查两条直线平行性质，属于基础题14（5分）如图所示，RtABC为水平放置的ABC的直观图，其中ACBC，BOOC1，则ABC的面积为2【分析】由直观图和原图的之间的关系，
20、由直观图画法规则将ABC还原为ABC，如图所示，ABC是一个等腰三角形，直接求解其面积即可【解答】解：由直观图画法规则将ABC还原为ABC，如图所示，ABC是一个等腰三角形，则有BOOCBOOC1，AO2AO2SABCBCAO222故答案为：2【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图之间的关系，属基本概念、基本运算的考查15（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其所有面中，面积最大的面的面积为【分析】画出直观图，求出4g个三角形的面积，然后判断即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：DABC，是长方体中的一部分，AB2，BC1，长方体的高为1，AD，DC，AC，SABC1，SABD，SDB
21、C，SADC，故答案为：【点评】本题考查三视图的应用，三角形的面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力16（5分）过动点A作圆（x2）2+（y1）21的切线AB，其中B为切点，若|AB|AO|（O为坐标原点），则|AB|的最小值为【分析】设A的坐标为（m，n），根据AB为圆的切线，利用直角三角形的边角关系得出点A的轨迹方程，求出点A的轨迹是一条直线，利用点O到直线的距离求出|AB|的最小值【解答】解：根据题意，设A的坐标为（m，n），圆（x2）2+（y1）21的圆心为C，则C（2，1）；AB为圆（x2）2+（y1）21的切线，则有|AC|2|AB|2+|BC|2|AB|2+1，如图所示；又由|
22、AB|AO|，则有|AC|2|AO|2+1，即（m2）2+（n1）2m2+n2+1，化简得：2m+n2，即A在直线2x+y20上，则|AB|的最小值即点O到直线2x+y20的距离，且d；即|AB|的最小值是故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系以及圆的切线性质、勾股定理和点到直线的距离应用问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，满分0分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知ABC的顶点A（5，1），AC边上的中线BM所在直线方程为2xy50，AB边上的高CH所在直线方程为x2y50（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程【分析】（1）由AB边上的高 CH所在直线方程
23、为x2y50得kAB2，可得直线 AB 所在的直线方程为：y12（x5），联立即可得出顶点B 的坐标（2）由 C在直线x2y50设C（2b+5，b）可得M（b+5，）代入2xy50中，解得b，可得C坐标即可得出直线BC的方程【解答】解：（1）由AB边上的高 CH所在直线方程为x2y50得kAB2，所以直线 AB 所在的直线方程为：y12（x5），即2x+y110联立，解得所以顶点B 的坐标为（4，3）（2）因为 C在直线x2y50所以设C（2b+5，b）则M（b+5，）代入2xy50中，得b3，所以C（1，3）则直线BC的方程为：y+3（x+1），即6x5y90【点评】本题考查了相互垂直的直线
24、斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18已知圆M过点C（1，1），D（1，1），且圆心M在直线x+y20上（1）求圆M的方程；（2）点P（x，y）为圆M上任意一点，求的最值【分析】（1）利用MCMD，求出M的坐标及半径即可；（2）将看成是点A（2，1）与P（x，y）的斜率k，利用圆心到直线AP的距离等于半径求出直线与圆相切时的k值即可【解答】解：（1）设M（a，2a），因为圆M经过点C、D，所以MCMD，即，解得a1，所以M（1，1），r|MC|，所以圆M的方程为：（x1）2+（y1）24（2）因为，所以该式可以看成是点A（2，1）与P（x，y）的斜率k，设直线A
25、P：y+1k（x+2），即kxy+2k10，当AP为圆M的切线时，有2，解得k0或k，所以的最小值为0，最大值为【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及斜率公式，属于中档题19如图，在棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且ADC60，M为PB的中点，（1）求证：PACD；（2）求二面角PABD的大小；（3）求证：平面CDM平面PAB【分析】（1）取CD中点O，连OA、OP，根据面PCD面ABCD，POCD，得PO面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，利用AOCD，证明PACD（2）先求二面角PABD的平面角，由（1）可证明AB平面PAO，
26、从而可知PAO是二面角PABD的平面角，在RtPAO中可求PAO；（3）取PA中点N，连接MN，要证明平面CDM平面PAB，只需证明PA平面CDM，从而可转化为证明PADN，PACD【解答】（1）证明，取CD中点O，连OA、OP，面PCD面ABCD，POCD，PO面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，ADC60，O为CD中点，DODA，AOCD，由三垂线定理得，PACD（2）PACD，OACD，PA0AA，CD平面PAO，ABCD，AB平面PAO，PAO是二面角PABD的平面角PDAD，RtPODRtAOD，POAO，AOP45，所以二面角PABD为45（3）取PA
27、中点N，连接MN，则MNAB，又ABCD，MNCD，又N平面CDM，DN平面CDM，PDAD，PADN，又PACD，CDDND，PA平面CDM，又PA平面PAB，平面CDM平面PAB【点评】本题考查异面垂直、面面垂直的判定及二面角的求解，考查学生推理论证能力，考查转化思想的运用，二面角的求解一般转化为求其平面角，或用空间向量求解20如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点，三棱锥PDEF的体积（1）求证：EF平面PCD；（2）求AD的长【分析】（1）推导出AD平面PAB，PAPB，以P为原点，PB为x轴，PA为y轴，过P作平面PAB
28、的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF平面PCD（2）设ADa，由三棱锥PDEF的体积得VPDEFVEPDF，由此能求出AD的长【解答】解：（1）证明：在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点，AD平面PAB，PAPB，以P为原点，PB为x轴，PA为y轴，过P作平面PAB的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则E（，0，），F（0，0），P（0，0，0），C（），D（0，），（，），（），（0，），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），0，且EF平面PCD，EF平面PCD（2）设ADa，三
29、棱锥PDEF的体积VPDEFVEPDF，解得a2，AD的长为2【点评】本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题21如图1，在矩形BB1C1C中，A，A1分别是BC，B1C1的中点，D，D1分别是AC，A1C1的中点，将四边形CC1D1D，AA1B1B分别沿DD1，AA1折起，使平面CC1D1D平面AA1D1D，平面AA1B1B平面AA1D1D，如图2所示，E是AA1上一点，且（1）求证：B1C1平面AA1C1C；（2）线段CB1上是否存在点Q，使得AQ平面
30、B1C1E？若存在，求出CQ的长，若不存在，请说明理由【分析】（1）推导出AA1平面A1C1B1，B1C1AA1，A1C1B1C1，由此能证明B1C1平面AA1C1C（2）以A为原点，AD为x轴，AA1为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：（1）证明：在矩形BB1C1C中，A，A1分别是BC，B1C1的中点，D，D1分别是AC，A1C1的中点，将四边形CC1D1D，AA1B1B分别沿DD1，AA1折起，使平面CC1D1D平面AA1D1D，平面AA1B1B平面AA1D1D，如图2所示，AA1平面A1C1B1，B1C1AA1，A1C1B1C1，A1B12，A1C1
31、B1C1，AA1A1C1A1，B1C1平面AA1C1C（2）解：以A为原点，AD为x轴，AA1为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，E是AA1上一点，且假设线段CB1上存在点Q（a，b，c），使得AQ平面B1C1E，B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，0），A（0，0，0），C（1，0，1），设，01，则（a1，b，c1）（，2，），解得a1，b2，c1+，Q（1，2，1+），（1，2，1+），（0，2），（1，1），设平面B1C1E的法向量（x，y，z），则，取y3，得（2，3，2），AQ平面B1C1E，2（1）+322（1+）0，解得|【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足
32、线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22已知圆x2+y24，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且PAQ90，M是PQ的中点（1）求点M的轨迹方程；（2）过点B（0，1）的直线l与点M的轨迹交于C，D两点，求的取值范围【分析】（1）数形结合可得|AM|PM|，设M（x，y），则（x1）2+（y1）24（x2+y2），化简即可；（2）分别考虑斜率存在与不存在时的情况，然后表示出，求出范围即可【解答】解：（1）如图，设点M（x，y），由PAQ90，得|AM|PM|，即AM2PM2，因为M为PQ中点，所以OMPQ，则P
33、M2PO2OM2，所以（x1）2+（y1）24（x2+y2），化简得x2+y2xy10，即点M的轨迹为x2+y2xy10（2）由（1）中M的轨迹可知其轨迹为圆，点B在圆内，设C（x1，y1），D（x2，y2）斜率不存在时，直线l的方程为x0，则代入得y2y10，所以y1y21，此时x1x2+y1y2011；斜率存在时，设直线l的方程为ykx+1，联立，整理得（1+k2）x2+（k1）x10，所以x1x2，x1+x2，则y1y2k2x1x2+k（x1+x2）+1，所以此时，设y，即（y+1）k2k+y0，当y+10时，即y1时，k1，能成立；当y+10时，即y1时，因为kR，所以14y（y+1）4y24y+10，解得且y1，所以，综上，【点评】本题考查点的轨迹方程，涉及直线与圆的交点问题，属于中档题