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2018-2019学年山西大学附中高二(上)期中数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年山西大学附中高二(上)期中数学试卷(文科)一.选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1(3分)直线xy10的倾斜角大小()ABCD2(3分)已知正ABC的边长为2,那么用斜二测画法得到的ABC的直观图ABC的面积为()ABCD3(3分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是()A若m,m,则B若m,则mC若m,m,则D若m,则m4(3分)方程(a1)xy+2a+10(aR)所表示的直线()A恒过定点(2,3)B恒过定点(2,3)C恒过点(2,3)和(2,3)D都是平行直线5(3分)在

2、空间直角坐标系中,已知点P1(0,3),P2(0,1,1),点P在x轴上,若|PP1|2|PP2|,则点P的坐标为()A(1,0,0)或(1,0,0)B(,0,0)或(,0,0)C(2,0,0)或(2,0,0)D(,0,0)或(,0,0)6(3分)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),那么可得这个几何体的体积是()Acm3Bcm3Ccm3Dcm37(3分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA12,M、N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于()ABCD8(3分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为1,E、F分别为C1D1与

3、AB的中点,B1到平面A1FCE的距离为()ABCD9(3分)已知直线l过直线l1:xy+10与直线l2:2x+3y80的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()A0B1C2D310(3分)已知点P(1,2)与直线l:x+y+10,则点P关于直线l的对称点坐标为()A(3,1)B(2,4)C(3,2)D(5,3)11(3分)如图1,直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF翻折,如图2,在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)下面说法正确的是()A存在某一位置,使得CD平面ABFEB存在某一位置,使得DE平面ABFE

4、C在翻折的过程中,BF平面ADE恒成立D在翻折的过程中,BF平面CDEF恒成立12(3分)在三棱锥PABC中,PA平面ABC,AP3,Q是边BC上的一动点,且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为,则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A45B57C63D84二填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.)13(4分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则它的体积是 14(4分)已知直线l经过点P(1,0)且与以A(2,1),B(3,2)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 15(4分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面

5、PBC1平行的截面,则截面的面积是 16(4分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,下列结论:(1)棱AB与PD所在的直线垂直;(2)平面PBC与平面PCD垂直;(3)PCD的面积大于PAB的面积;(4)直线AE与BF是异面直线以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)三.解答题(本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17(10分)直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的方程18(12分)如图,三棱锥PABC中,PC,AC,BC两两垂直,BCPC1,AC2,E,

6、F,G分别是AB,AC,AP的中点(1)证明:平面GEF平面PCB;(2)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值19(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD()证明:平面AEC平面BED;()若ABC120,AEEC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积20(14分)如图,空间几何体ADEBCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD平面CDEF,ADDC,ABADDE2,EF4,M是线段AE上的动点(1)求证:AECD;(2)试确定点M的位置,使AC平面MDF,并说明理由;(3)在(2)的条件下,求空间几何体ADMBCF的体积20

7、18-2019学年山西大学附中高二(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1(3分)直线xy10的倾斜角大小()ABCD【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解:设直线xy10的倾斜角为,0,),则tan,故选:B【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题2(3分)已知正ABC的边长为2,那么用斜二测画法得到的ABC的直观图ABC的面积为()ABCD【分析】由已知中正ABC的边长为2,可得正ABC的面积,进而根据ABC的直观图ABC的面积SS,可

8、得答案【解答】解:正ABC的边长为2,故正ABC的面积S设ABC的直观图ABC的面积为S则SS故选:D【点评】本题考查的知识点是斜二测法画直观图,其中熟练掌握直观图面积S与原图面积S之间的关系SS,是解答的关键3(3分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是()A若m,m,则B若m,则mC若m,m,则D若m,则m【分析】在A中,与相交或平行;在B中,m或m;在C中,由面面垂直的判定定理得;在D中,m与相交、平行或m【解答】解:由m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,知:在A中,若m,m,则与相交或平行,故A错误;在B中,若m,则m或m,故B错误;在C中,若m,m,

9、则由面面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若m,则m与相交、平行或m,故D错误故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用4(3分)方程(a1)xy+2a+10(aR)所表示的直线()A恒过定点(2,3)B恒过定点(2,3)C恒过点(2,3)和(2,3)D都是平行直线【分析】可将(a1)xy+2a+10(aR)转化为(x+2)axy+10,令a的系数为0,xy+10即可【解答】解:(a1)xy+2a+10(aR),(x+2)axy+10,解得:x2,y3即方程(a1)xy+2a+10(aR)所表示的直线恒过定点(2,3)

10、故选:A【点评】本题考查恒过定点的直线,方法较灵活,可转化为关于a的函数,令a的系数为0,xy+10即可,也可以令x、y取两组值,解得交点坐标即为所求,属于中档题5(3分)在空间直角坐标系中,已知点P1(0,3),P2(0,1,1),点P在x轴上,若|PP1|2|PP2|,则点P的坐标为()A(1,0,0)或(1,0,0)B(,0,0)或(,0,0)C(2,0,0)或(2,0,0)D(,0,0)或(,0,0)【分析】设P(a,0,0),利用两点间a1或a1,由此能求出点P的坐标【解答】解:点P1(0,3),P2(0,1,1),点P在x轴上,|PP1|2|PP2|,设P(a,0,0),则2,解得

11、a1或a1点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)故选:A【点评】本题考查点的坐标的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6(3分)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),那么可得这个几何体的体积是()Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【分析】由三视图判断几何体为三棱锥,求出三棱锥的高与底面面积,代入棱锥的体积公式计算【解答】解:由三视图判断几何体为三棱锥,且三棱锥的高为2,底面三角形底边长和高都为2棱锥的体积V222(cm)故选:C【点评】本题考查由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量7(

12、3分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA12,M、N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于()ABCD【分析】以A为原点,在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴,以AC为y轴,以AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AM与CN所成角的余弦值【解答】解:如图,以A为原点,在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴,以AC为y轴,以AA1为z轴,建立空间直角坐标系,由题意知A(0,0,0),M(,1),C(0,2,0),N(,2),(),设直线AM与CN所成角的大小为,则cos|cos,|故选:D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的

13、求法,是基础题,解题时要注意向量法的合理运用8(3分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为1,E、F分别为C1D1与AB的中点,B1到平面A1FCE的距离为()ABCD【分析】点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离,设B1到平面A1FC的距离d,由三棱锥B1A1FC的体积可得,由此能求出B1到平面A1FCE的距离【解答】解:点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为1,E、F分别为C1D1与AB的中点,设B1到平面A1FC的距离d,由三棱锥B1A1FC的体积可得,即,解得dB1到平面A1FCE的距离为故选:

14、B【点评】本题考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题9(3分)已知直线l过直线l1:xy+10与直线l2:2x+3y80的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()A0B1C2D3【分析】先求两条直线的交点,设出直线方程,利用点到直线的距离,求出k,从而确定直线方程【解答】解:由 解得x1,y2,l1,l2交点为(1,2)设所求直线方程为y2k(x1),即kxy+2k0,P(0,4)到直线距离为2,2,解得:k0或k直线l有两条

15、故选:C【点评】本题考查两条直线的交点坐标,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,考查计算能力,是基础题10(3分)已知点P(1,2)与直线l:x+y+10,则点P关于直线l的对称点坐标为()A(3,1)B(2,4)C(3,2)D(5,3)【分析】设点P关于直线l的对称点坐标为Q(a,b),可得,斜率,求解a,b即可【解答】解:设点P关于直线l的对称点坐标为Q(a,b),可得,斜率,由解得:a3,b2则点P关于直线l的对称点坐标为(3,2)故选:C【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11(3分)如图1,直线EF将矩形纸ABCD分为两

16、个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF翻折,如图2,在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)下面说法正确的是()A存在某一位置,使得CD平面ABFEB存在某一位置,使得DE平面ABFEC在翻折的过程中,BF平面ADE恒成立D在翻折的过程中,BF平面CDEF恒成立【分析】在A中,CD与EF相交,从而CD与平面ABFE相交;在B中,DE与EF不垂直,从而不存在某一位置,使得DE平面ABFE;在C中,DECF,从而在翻折的过程中,BF平面ADE恒成立;在D中,BF与FE不垂直,在翻折的过程中,BF平面CDEF不一定成立【解答】解:在A中,四边形DEFC是梯形,DECF,CD与

17、EF相交,CD与平面ABFE相交,故A错误;在B中,四边形DEFC是梯形,DECD,DE与EF不垂直,不存在某一位置,使得DE平面ABFE,故B错误;在C中,四边形DEFC是梯形,DECF,CF平面ADE,DE平面ADE,在翻折的过程中,BF平面ADE恒成立,故C正确;在D中,四边形ABFE是梯形,ABBF,BF与FE不垂直,在翻折的过程中,BF平面CDEF不一定成立,故D错误故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题12(3分)在三棱锥PABC中,PA平面ABC,AP3,Q是边BC上的一动点,且直线

18、PQ与平面ABC所成角的最大值为,则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A45B57C63D84【分析】根据题意画出图形,结合图形找出ABC的外接圆圆心与三棱锥PABC外接球的球心,求出外接球的半径,再计算它的表面积【解答】解:三棱锥PABC中,PA平面ABC,直线PQ与平面ABC所成角为,如图所示;则sin,且sin的最大值是,(PQ)min2,AQ的最小值是,即A到BC的距离为,AQBC,AB2,在RtABQ中可得,即可得BC6;取ABC的外接圆圆心为O,作OOPA,2r,解得r2;OA2,取H为PA的中点,OHOA2,PH,由勾股定理得OPR,三棱锥PABC的外接球的表面积是S4R245

19、7故选:B【点评】本题考查了几何体外接球的应用问题,解题的关键求外接球的半径,是中档题二填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.)13(4分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则它的体积是【分析】根据勾股定理求出圆锥的高,再利用公式计算圆锥的体积【解答】解:底面半径为r1,母线长为l2,所以圆锥的高为;所以圆锥的体积为Vr2h故答案为:【点评】本题考查了圆锥的体积计算问题,是基础题目14(4分)已知直线l经过点P(1,0)且与以A(2,1),B(3,2)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是0,45135,180)【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出【解答】

20、解:kPA1,kPB1直线PA,PB的倾斜角分别为45,135直线l与连接A(2,1),B(3,2)的线段有公共点,直线l的斜率k满足1k1直线l的倾斜角的取值范围是0,45135,180)故答案为:0,45135,180)【点评】本题考查了斜率计算公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题15(4分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则截面的面积是2【分析】取AB、C1D1的中点M、N,连结A1M、MC、CN、NA1由已知得四边形A1MCN是平行四边形,连结MN,作A1HMN于H,由题意能求出截面

21、的面积【解答】解:取AB、C1D1的中点M、N,连结A1M、MC、CN、NA1由于A1NPC1MC且A1NPC1MC,四边形A1MCN是平行四边形又A1NPC1,A1MBP,A1NA1MA1,PC1BPP,平面A1MCN平面PBC1因此,过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形又连结MN,作A1HMN于H,由于A1MA1N,MN2,则AH,故22故答案为:【点评】本题考查截面面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养16(4分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,下列结论:(1)棱AB与PD所在的直线垂直;(2

22、)平面PBC与平面PCD垂直;(3)PCD的面积大于PAB的面积;(4)直线AE与BF是异面直线以上结论正确的是(1),(3)(写出所有正确结论的编号)【分析】对于(1)可根据线面垂直的性质可推出,对于(2)根据二面角的大小可判定,对于(3)根据射影面积公式可判定,对于(4)可根据两平行线确定一平面进行判定【解答】解:对于(1)棱AB面PAD,PD面PAD,棱AB棱AB与PD所在的直线垂直,故正确;对于(2)平面PBC与平面PCD所成角为钝角,故不正确;对于(3)SPABSPCDcosx,PCD的面积大于PAB的面积,故正确对于(4)EFCDAB直线AE与BF不是异面直线,故不正确故答案为(1

23、)(3)【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及异面直线的判定和平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题三.解答题(本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17(10分)直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的方程【分析】设直线l的横截距为a,则纵截距为(6a),写出直线l的截距式方程,把(1,2)代入即可求出a的值,把a的值代入直线l的方程中,经过检验得到满足题意的直线l的方程【解答】解:设直线l的横截距为a,由题意可得纵截距为6a,直线l的方程为,点(1,2)在直线l上,解得:

24、a12,a23,当a2时,直线的方程为2x+y40,直线经过第一、二、四象限;当a3时,直线的方程为x+y30,直线经过第一、二、四象限综上所述,所求直线方程为2x+y40或x+y30【点评】此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程,是一道基础题学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意18(12分)如图,三棱锥PABC中,PC,AC,BC两两垂直,BCPC1,AC2,E,F,G分别是AB,AC,AP的中点(1)证明:平面GEF平面PCB;(2)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值【分析】(1)根据中位线定理可得EF平面PBC,GF平面PBC,故而平面GEF平面PCB;(2)建立坐标系,

25、求出与平面PAB的法向量,计算与法向量的夹角即可得出结论【解答】(1)证明:E,F,G分别是AB,AC,AP的中点,EFBC,又BC平面PBC,EF平面PBC,EF平面PBC,同理可得:GF平面PBC,又EF平面GEF,GF平面GEF,GFEFF,平面GEF平面PBC(2)以C为坐标原点,以CA,CB,CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:则P(0,0,1),A(2,0,0),B(0,1,0),F(1,0,0),(2,0,1),(2,1,0),(1,0,1),设平面PAB的法向量(x,y,z),1,2,2),则,令x1可得(1,2,2)cos,设PF与面PAB所成角为,则sin|cos,|P

26、F与面PAB所成角的正弦值为【点评】本题考查了面面平行的判定,空间向量与空间角的计算,属于中档题19(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD()证明:平面AEC平面BED;()若ABC120,AEEC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积【分析】()根据面面垂直的判定定理即可证明:平面AEC平面BED;()根据三棱锥的条件公式,进行计算即可【解答】证明:()四边形ABCD为菱形,ACBD,BE平面ABCD,ACBE,则AC平面BED,AC平面AEC,平面AEC平面BED;解:()设ABx,在菱形ABCD中,由ABC120,得AGGCx,GBGD,BE平

27、面ABCD,BEBG,则EBG为直角三角形,EGACAGx,则BEx,三棱锥EACD的体积V,解得x2,即AB2,ABC120,AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+4212,即AC,在三个直角三角形EBA,EBD,EBC中,斜边AEECED,AEEC,EAC为等腰三角形,则AE2+EC2AC212,即2AE212,AE26,则AE,从而得AEECED,EAC的面积S3,在等腰三角形EAD中,过E作EFAD于F,则AE,AF,则EF,EAD的面积和ECD的面积均为S,故该三棱锥的侧面积为3+2【点评】本题主要考查面面垂直的判定,以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公

28、式20(14分)如图,空间几何体ADEBCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD平面CDEF,ADDC,ABADDE2,EF4,M是线段AE上的动点(1)求证:AECD;(2)试确定点M的位置,使AC平面MDF,并说明理由;(3)在(2)的条件下,求空间几何体ADMBCF的体积【分析】(1)推导出CDED,ADDC,从而CD平面AED,由此能证明AECD(2)当M是线段AE的中点时,连结CE交DF于N,连结MN,则MNAC,由此得到AC平面MDF(3)将几何体ADEBCF补成三棱柱ADEBCF,空间几何体ADMBCF的体积VADMBCFVFDEM,由此能求出空间几何体

29、ADMBCF的体积【解答】证明:(1)四边形CDEF是矩形,CDED,(1分)ADDC,ADEDD,CD平面AED,(2分)AE平面AED,AECD (3分)解:(2)当M是线段AE的中点时,AC平面MDF,(4分)证明如下:连结CE交DF于N,连结MN,M、N分别是AE、CE的中点,(5分)MNAC,又MN平面MDF,AC平面MDF,(6分)AC平面MDF (7分)(3)将几何体ADEBCF补成三棱柱ADEBCF,三棱柱ADEBCF的体积VSADECD8,(8分)空间几何体ADMBCF的体积:VADMBCFVFDEM8(11分)空间几何体ADMBCF的体积为(12分)【点评】本题考查线线垂直的证明,考查满足线面平行的点的位置的确定与证明,考查几何体的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养