1、2017-2018学年山西省朔州市怀仁一中、应县一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1+i，则+i（）A2B2iC2D2i2（5分）已知命题p：x0，2x1；命题q：若xy，则x2y2则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq3（5分）抛物线y4x2的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（）D（）4（5分）若f（x）x22x4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A（1，0）B（1，0）（2，+）C（2，+）D（0，+）5（5分）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲
2、、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A70种B112种C140种D168种6（5分）已知双曲线my2x21（mR）与椭圆+x21有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDy3x7（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）68.26%，P（2+2）95.44%）A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%8（5分）设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A若a，b与所成的角相等，则ab
3、B若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab9（5分）由yx2与直线y2x3围成的图形的面积是（）ABCD910（5分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A0.960B0.864C0.720D0.57611（5分）某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）AC（）6BA（）6CC（）6DC（）612（5分）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对
4、任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据上表可得回归方程x+中的为7据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 （万元）14（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 15（5分）若二项式（2x+）7的展开式
5、中的系数是84，则实数a 16（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为1，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为 三、解答题（第17题10分，其余各题均为12分，共70分）17（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心
6、C的距离最小时，求点P的坐标18（12分）设函数f（x）|x2|x+1|（1）解不等式f（x）2；（2）若关于x的不等式a22af（x）解集是空集，求实数a的取值范围19（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概 率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保
7、费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值21（12分）已知点A（0，2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，求OPQ面积的取值范围22（12分）已知函数f（x）2exax2（xR，aR）（）当a1时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（）当x0时，若不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围2
8、017-2018学年山西省朔州市怀仁一中、应县一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1+i，则+i（）A2B2iC2D2i【分析】把z及代入+i，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解：z1+i，+i故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（5分）已知命题p：x0，2x1；命题q：若xy，则x2y2则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题之间的关系进行判断即可【解答】解：命题p：x0，2
9、x1为真命题，命题q：若xy，则x2y2为假命题，（如x0，y3），故q为真命题，则pq为真命题故选：B【点评】本题主要考查命题真假的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键3（5分）抛物线y4x2的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（）D（）【分析】将抛物线化简得x2y，解出，结合抛物线标准方程的形式，即得所求焦点坐标【解答】解：抛物线的方程为y4x2，即x2y2p，解得因此抛物线y4x2的焦点坐标是（0，）故选：D【点评】本题给出抛物线方程，求抛物线的焦点坐标着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题4（5分）若f（x）x22x4lnx，则f（x）的单调递增
10、区间为（）A（1，0）B（1，0）（2，+）C（2，+）D（0，+）【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间【解答】解：函数的定义域为（0，+）求导函数可得：f（x）2x2，令f（x）0，可得2x20，x2x20，x1或x2x0，x2f（x）的单调递增区间为（2，+）故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导是关键5（5分）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A70种B112种C140种D168种【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10
11、个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案【解答】解：从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法；甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C104C8421070140种不同挑选方法，故选：C【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单6（5分）已知双曲线my2x21（mR）与椭圆+x21有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDy3x【分析】
12、确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：椭圆+x21的焦点坐标为（0，2）双曲线my2x21（mR）的焦点坐标为（0，），双曲线my2x21（mR）与椭圆+x21有相同的焦点，2，m，双曲线的渐近线方程为yx故选：A【点评】本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）68.26%，P（2+2）95.44%）A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%【分
13、析】由题意P（33）68.26%，P（66）95.44%，可得P（36）（95.44%68.26%），即可得出结论【解答】解：由题意P（33）68.26%，P（66）95.44%，所以P（36）（95.44%68.26%）13.59%故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题8（5分）设a，b为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A若a，b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab【分析】A根据直线a，b的位置关系和直线所成角的定义进行判断B根据线面平行
14、和面面平行的定义和性质进行判断C根据面面平行的判定定理进行判断D根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断【解答】解：A等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和所成的角相等，但ab不成立，A错误B平行于平面的两条直线不一定平行，B错误C根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知，当a，b，ab，则不成立，C错误D根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知，若a，则a或a，又b，ab成立，D成立故选：D【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握线面平行和垂直的定义和性质9（5分）由yx2与直线y2x3围成的图形的面积是（）ABCD9【分析】先联立方程，组成方程
15、组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出yx2与直线y2x3的面积，即可求得结论【解答】解：由yx2与直线y2x3联立，解得yx2与直线y2x3的交点为（3，9）和（1，1）因此，yx2与直线y2x3围成的图形的面积是S（x22x+3）dx（x3x2+3x）故选：B【点评】本题给出yx2与直线y2x3，求它们围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题10（5分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率
16、为（）A0.960B0.864C0.720D0.576【分析】首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1P（）P（）10.20.20.96；则系统正常工作的概率为0.90.960.864；故选：B【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事
17、件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系11（5分）某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）AC（）6BA（）6CC（）6DC（）6【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击3次，再根据相互独立事件的概率乘法公式运算求得结果【解答】解：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为（）6，恰有两次连续击中目标的概率为 ，故此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为，故选：B【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于中档题12（5分）定义“规范01数
18、列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1
19、，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元）3456销售额y（万元）
20、25304045根据上表可得回归方程x+中的为7据此模型预报广告费用为10万元时销售额为73.5（万元）【分析】根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将x10代入，即可得到预报销售额【解答】解：由题意，4.5，35回归方程：为73574.5+，3.5x10时，710+3.573.5元故答案为：73.5【点评】本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数14（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A【
21、分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A故答案为：A【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题15（5分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a1【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出a即可【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x3项的系数为84，所以T
22、r+1，令7+2r3，解得r2，代入得：84，解得a1，故答案为：1【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查16（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为1，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为【分析】连接OD，交BC于点G，由题意得ODBC，OGBC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OGx，则BC2x，DG1x，把棱锥的底面积与高用含有x的函
23、数表示，再由导数求最值【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得ODBC，OGBC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OGx，则BC2x，DG1x，三棱锥的高h，则VSABCh，令f（x）x42x5，x（0，），f（x）4x310x4，令f（x）0，即x42x30，解得x，则f（x）f（），V，体积最大值为故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，训练了利用导数求最值，是中档题三、解答题（第17题10分，其余各题均为12分，共70分）17（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
24、（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法，写出圆C的直角坐标方程；（2）设P（3+，t），利用距离公式，可得结论【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为，可得直角坐标方程为x2+y22，即x2+（y）23；（2）设P（3+，t），C（0，），|PC|，t0时，P到圆心C的距离最小，P的直角坐标是（3，0）【点评】本题考查极坐标与直角坐标互化，考查参数方程的运用，属于中档题18（12分）设函数f（x）|x2|x+1|（1）解不
25、等式f（x）2；（2）若关于x的不等式a22af（x）解集是空集，求实数a的取值范围【分析】（1）由绝对值几何意义取绝对值，写成分段函数形式，分别求解即可求出最小值，（2）由绝对值几何意义即可求出最大值，问题转a22af（x）max，解出a即可【解答】解：（1）由|x2|x+1|2，得，或，或，解得，即解集为（2）a22af（x）的解集为空集，a22af（x）max，而f（x）|x2|x+1|（x2）（x+1）|3，a22a3，即a3或a1【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，考查了转化思想，是一道中档题19（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保
26、人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概 率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【分析】（I）根据概率加法公式计算；（II）利用条件概率计算；（III）求出本年度的保费的数学期望即可得出结论【解答】解：（I）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，则P（A）
27、0.2+0.2+0.1+0.050.55（II）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，则（III）解：设本年度所交保费为随机变量X则X的分布列为：X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX0.85a0.30+0.15a+1.25a+50.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.050.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a1.23a，平均保费与基本保费比值为1.23【点评】本题考查了概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面AB
28、CD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【分析】（1）推导出AB平面PAD，从而ABPD，再由PAPD，能证明PD平面PAB（2）取AD的中点O，连接PO，CO，推导出POAD，从而平面PAD平面ABCD，进而PO平面ABCDPOCO由ACCD，得COAD，建立空间直角坐标系Oxyz利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】证明：（1）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD（2分）又PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB（4分）
29、解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO（6分）因为PAPD，所以POAD，PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因为CO平面ABCD，所以POCO因为ACCD，所以COAD（8分）如图，建立空间直角坐标系Oxyz由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）设平面PCD的一个法向量为n（x，y，z），则，即（10分）令z2，则x1，y2所以n（1，2，2）又（1，1，1），所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面
30、间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知点A（0，2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，求OPQ面积的取值范围【分析】（）设F（c，0），由条件知，得，通过离心率求出a，然后求解椭圆的方程（）当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将ykx2代入得（1+4k2）x216kx+120，利用韦达定理以及点到直线的距离表示三角形的面积，然后求解即可【解答】解：（）设F（c，0），由条件知，得，又，所以a2，b2a2c21，故E的
31、方程为（）当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将ykx2代入得（1+4k2）x216kx+120，当16（4k23）0，即时，从而，又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积，设，则t0，因为，所以OPQ的面积的取值范围为（0，1【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力22（12分）已知函数f（x）2exax2（xR，aR）（）当a1时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（）当x0时，若不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）当a1时，f（x）2exax2，求出f（x）2ex1，求出切线的斜率，切
32、点坐标，然后求解切线方程（）当x0时，若不等式f（x）0恒成立f（x）min0，可得f（x）2exa，通过若a0，若a0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求解实数a的取值范围【解答】解：（）当a1时，f（x）2exax2，f（x）2ex1，f（1）2e1，即曲线yf（x）在x1处的切线的斜率为k2e1，又f（1）2e3，所以所求切线方程为y（2e1）x2（）当x0时，若不等式f（x）0恒成立f（x）min0，易知f（x）2exa，若a0，则f（x）0恒成立，f（x）在R上单调递增；又f（0）0，所以当x0，+）时，f（x）f（0）0，符合题意若a0，由f（x）0，解得，则当时，f（x）0，f（x）单调递减；当时，f（x）0，f（x）单调递增所以时，函数f（x）取得最小值则当，即0a2时，则当x0，+）时，f（x）f（0）0，符合题意当，即a2时，则当时，f（x）单调递增，f（x）f（0）0，不符合题意综上，实数a的取值范围是（，2【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及最值的求法，切线方程的求法，考查计算能力