1、2017-2018学年山西省太原五中高二（下）4月段考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1（3分）下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）Az的虚部为Bz为纯虚数C|z|2D2（3分）极坐标方程4cos化为直角坐标方程是（）Ax40Bx+40C（x+2）2+y24Dx2+（y+2）243（3分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角4（3分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的
2、方程是xy40，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为（）ABCD5（3分）在复平面内，复数+（1+i）2对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（3分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A6n2B8n2C6n+2D8n+27（3分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1
3、cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg8（3分）在极坐标系中，已知圆C的圆心为C（2，），半径为1，则该圆上的点与定点P（4，）距离的最大值为（）A1B21C2+1D29（3分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B67.7万元C65.5万元D72.0万元10（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A1BCD411（3分）设0，已知a12cos，an+1，猜想an（）
4、A2cos B2cos C2cos D2sin12（3分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”1 2 3 4 5 2013 2014 2015 20163 5 7 9 4027 4029 40318 12 16 8056 806020 28 16116该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答卷纸上.）13（4分）若复数，则 14（4分）在极
5、坐标系中，点（2，）到直线的距离是 15（4分）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R 16（4分）如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角ABC的内接正方形面积的最大值为 三、解答题（共4小题，满分48分）17（12分）已知f（x），分别求f（0）+f（1），f（1）+f（2），f（2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论18（12分）已知在直角坐标系xOy中，直线l的方程为：y（x+3），以
6、坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：24cos+30（1）求曲线C的直角坐标方程（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围19（12分）为了解某班关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下列联表：关注NBA不关注NBA总计男生6女生10总计48已知全班48人中随机地抽取1人，抽到关注NBA的学生的概率为（1）请将上面的表补充完整（不必写出计算过程），并判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为关注NBA与性别有关，请说明你的理由（2）现记不关注NBA的6名男生中某2人为a，b，关注NBA的10名女生中某3人为c，d
7、，e，从这5人中任选2人进行调查，求至少有一人不关注NBA的人被选取的概率20（12分）已知函数f（x）lnx+ax，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且e2，求证：（x1x2）f（x1+x2）2017-2018学年山西省太原五中高二（下）4月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1（3分）下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）Az的虚部为Bz为纯虚数C|z|2D【分析】由条件可得A、B、C都不正确求得z2i，从而得出结论【解答】解：复数，可得z的虚部为，|z|1，z不是纯虚数，故A、B、C都不正
8、确求得z2+i2ii，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，复数的乘方，属于基础题2（3分）极坐标方程4cos化为直角坐标方程是（）Ax40Bx+40C（x+2）2+y24Dx2+（y+2）24【分析】由极坐标方程4cos，化为24cos，把2x2+y2，xcos代入即可得出【解答】解：由极坐标方程4cos，化为24cos，可得直角坐标方程：x2+y24x，配方为（x+2）2+y24故选：C【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题3（3分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有
9、一个钝角或至少有两个钝角【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，故选：B【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，属于基础题4（3分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的方程是xy40，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为（）ABCD【分析】将圆C的极坐标方程化为普通方程，求出圆C的圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，再利用勾股定理求出直线l截圆C所得的弦长【解答
10、】解：在圆C的极坐标方程两边同时乘以得，24cos，由2x2+y2，cosx，代入圆C的极坐标方程可得x2+y24x，所以，圆C的标准方程为（x2）2+y24，圆心坐标为（2，0），半径为2，圆心到直线l的距离为，因此，直线l截圆C所得弦长为故选：D【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，解决本题的关键在于将曲线的方程化为普通方程，考查计算能力与推理能力，属于基础题5（3分）在复平面内，复数+（1+i）2对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的除法及乘法法则化简复数，利用复数的几何意义求出复数对应的点，据点坐标的符号判断所在象限【解答】解：复数对应的点为（）该点
11、在第二象限故选：B【点评】本题考查复数的除法及乘法法则及复数的几何意义6（3分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A6n2B8n2C6n+2D8n+2【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数【解答】解：第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+26个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n1）第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C【点评】本题考查归纳推理，考查
12、等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，看出规律7（3分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定【解答】解：对
13、于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x170cm时，0.8517085.7158.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题8（3分）在极坐标系中，已知圆C的圆心为C（2，），半径为1，则该圆上的点与定点P（4，）距离的最大值为（）A1B21C2+1D2【分析】利用极坐标系中两点的距离公式求出定点P到圆心C的距离，再写出所
14、求的距离最大值【解答】解：极坐标系中，圆C的圆心为C（2，），半径为1，定点P（4，）到圆心C的距离为d2，圆C上的点与定点P距离的最大值为2+1故选：C【点评】本题考查了极坐标系内两点间的距离计算问题，是基础题9（3分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B67.7万元C65.5万元D72.0万元【分析】根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程将x6代入回归直线
15、方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额【解答】解：由表中数据得：3.5，42，又回归方程x+中的为9.4，故429.43.59.1，9.4x+9.1将x6代入回归直线方程，得y9.46+9.165.5（万元）此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）故选：C【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目10（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A1BCD4【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i99，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可【解答】解：第1次判断后循环，S1，i2，第2
16、次判断后循环，S，i3，第3次判断后循环，S，i4，第4次判断后循环，S4，i5，第5次判断后循环，S1，i6，第6次判断后循环，S，i7，第7次判断后循环，S，i8，第8次判断后循环，S4，i9，第9次判断不满足98，推出循环，输出4故选：D【点评】本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力11（3分）设0，已知a12cos，an+1，猜想an（）A2cos B2cos C2cos D2sin【分析】先根据数列的递推关系式求出a2、a3、a4的值，根据归纳推理即可得到答案【解答】解：由题意an+1，可得a22，a3，a4，猜想an2cos ，故选：B【点评】本
17、题主要考查数列递推关系式的应用、归纳推理属基础题12（3分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”1 2 3 4 5 2013 2014 2015 20163 5 7 9 4027 4029 40318 12 16 8056 806020 28 16116该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014【分析】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为2
18、2014，可得：第n行的第一个数为：（n+1）2n2，即可得出【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+1）2n2，第2016行只有M，则M（1+2016）22014201722014，故选：B【点评】本题考查了等差和等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答卷纸上.）13（4分）若复数，则【分析】复数za+bi（a
19、，bR）的共轭复数 abi，模为|z|先将z化简成代数形式，再代入计算即可【解答】解：1+i，1i+3i（1i）+3i1+2i，所以故答案为：【点评】本题考查复数模、共轭复数、及代数形式的混合运算属于基础题14（4分）在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是1【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：点P（2，）化为，y21，P直线展开化为：1，化为直角坐标方程为：，即0点P到直线的距离d1故答案为：1【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（4分）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的
20、半径在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R【分析】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质但由于类比推理的结果不一定正确，故我们还需要进一步的证明【解答】解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于
21、内切球到各面的距离等于内切球的半径VS1r+S2r+S3r+S4rSr内切球半径r故答案为：【点评】本题考查的知识点是类比推理、棱锥的结构特征，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质16（4分）如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角ABC的内接正方形面积的最大值为2【分析】先求正方形的边长，而图中有三角形相似，利用相似三角形的对应高之比等于相似比而求出正方形的边长，最后利用基本不等
22、式求出正方形面积的最大值【解答】解：如图，作ANBC于N交GF与M，四边形GDEF是正方形GFGDMN，GFBCAGFABC设正方形的边长为x解得x由于三角形的面积为4，ah8，x，当且仅当ah时取等号，ABC的内接正方形面积的最大值为2故答案为：2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及基本不等式，重点是相似三角形的对应高之比等于相似比的运用三、解答题（共4小题，满分48分）17（12分）已知f（x），分别求f（0）+f（1），f（1）+f（2），f（2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论【分析】由f（x）计算各和式，得出结论然后归纳猜想，再证明一般性结论【解答】解：已知
23、f（x），所以f（0）+f（1）+，f（1）+f（2）+，f（2）+f（3）+，归纳猜想一般性结论：f（x）+f（1+x）证明如下：f（x）+f（x+1）+【点评】本题主要考查归纳推理，一般思路是从具体到一般，得到一般性结论，然后再证明属中档题18（12分）已知在直角坐标系xOy中，直线l的方程为：y（x+3），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：24cos+30（1）求曲线C的直角坐标方程（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围【分析】（1）将2x2+y2，cosx代入曲线C的极坐标方程可得出曲线C的直角坐标方程；（2）求出圆C的圆
24、心坐标和半径，并计算出圆心到直线l的距离，分别计算圆心到直线l的距离减半径与加半径，即可得出d的取值范围【解答】解：（1）将2x2+y2，cosx代入曲线C的极坐标方程可得x2+y24x+30，因此，曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y21；（2）圆C的圆心坐标为（2，0），半径为1，直线l的一般方程为，圆心到直线l的距离为，因此，点P到直线l的距离d的取值范围是【点评】本题考查曲线的极坐标方程，解决本题的关键在于将曲线的极坐标方程化为普通方程，考查计算能力与化简能力，属于中等题19（12分）为了解某班关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下列联表：关注NBA不关注NBA总
25、计男生6女生10总计48已知全班48人中随机地抽取1人，抽到关注NBA的学生的概率为（1）请将上面的表补充完整（不必写出计算过程），并判断是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为关注NBA与性别有关，请说明你的理由（2）现记不关注NBA的6名男生中某2人为a，b，关注NBA的10名女生中某3人为c，d，e，从这5人中任选2人进行调查，求至少有一人不关注NBA的人被选取的概率【分析】（1）将列联表补充完整，求出K24.286，从而在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为关注NBA与性别有关（2）利用列举法求出基本事件的情况共有 10种情形，至少有一人不关注NBA的情况有7种情况，由此能求出
26、至少有一人不关注NBA的人被选中的概率【解答】解：（1）将列联表补充完整有：关注NBA不关注NBA合 计男生22628女生101020合计321648K24.286，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为关注NBA与性别有关（2）基本事件的情况共有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e） 10种情形，至少有一人不关注NBA的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）7种情况，至少有一人不关注NBA的人被选中的概率为p【点评】本题考查独立性检验的应用，考查概率的求
27、法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（12分）已知函数f（x）lnx+ax，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且e2，求证：（x1x2）f（x1+x2）【分析】（1）含参函数的单调性判断其实质是解含参不等式，用好分子函数的动态图象能轻松化解分类讨论中的难点（2）将两个给定零点代入原方程作差，表达出a（x1x2）lnx2lnx1，再代入要证明的式子，消掉参数a，然后转化为一元函数，求其最小值即可【解答】（1）定义域是（0，+），我们注意到分子函数yax+1，恒过点（0，1），其斜率为a是动态变化的，故借助其动态函数图象（不需要关注
28、分母，分母恒为正），分类讨论如下：当a0时，f（x）0，f（x）单调递增，当a0时，令f（x）0，得到，则时，f（x）0，f（x）单调递增，则时，f（x）0，f（x）单调递减，综上所述，当a0时，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）0，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）由题目可知lnx1+ax10，lnx2+ax20，两式相减，得到lnx2lnx1a（x1x2）又接下来施行变量集中，为便于用一元函数求其最值，得到，令，则te2，这样上式转化为，令故函数g（t）在区间e2，+）上单调递增，故即：原不等式成立【点评】（1）含参函数的单调性的判断，在高考和平时的模拟考练中绝对是个高频考点，此时最好能借助导函数的图象或者导函数的部分图象基本上可以简化分类讨论，使得分类讨论有形可依不再抽象，这也是我们学习数学的一点收获（2）给定了函数零点的题目大多都将零点代入原函数，作差变形后，常常能转化为一元函数，然后借助一元函数来完成剩余命题的求解或证明