1、2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1（3分）已知命题p：xR，x20，则p是（）AxR，x20Bx0R，x020CxR，x20Dx0R，x0202（3分）椭圆的短轴长为（）A4B6C8D103（3分）已知函数f（x），则f（0）（）A.B.C.1D4（3分）已知空间直线a，b，c，且ab，则“bc”是“ca”的（）A充 分 不 必 要 条 件B必要不充分条件C充 要 条 件D既不充分也不必要条件5（3分）抛物线y24x的焦点坐标为（）A（0，1）B（1，0）C（0，2）D（2，0）6（3分）函数f（x）xex的单调减区间是（）A（，1B1，+）C1，+）
2、D（，17（3分）已知双曲线的一个顶点是 （1，0），其渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程（）ABCD8（3分）已知函数f（x）ax2+2x+c在 （1，+）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（1，0）D1，0）9（3分）已知命题“x1，2，x22ax+10”是真命题，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C（，1）D（1，+）10（3分）函数f（x）xln|x|的图象大致为（）ABCD11（3分）已知直线ykx+2与双曲线的右支相交于A，B两个不同点，则实数k的取值范围是（）ABCD12（3分）已知直棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ABA
3、C，点P是侧面ABB1A1内的动点，点P到棱AC的距离等于到平面BCC1B1的距离，则动点P的轨迹是（）A抛物线的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D直线的一部分二、填空题13（3分）命题“若x1，则x21”的否命题为 14（3分）双曲线y21的焦点坐标为 15（3分）函数f（x）在点（，0）处的切线方程为 16（3分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x22py（p0）交于M，N两点若|MF|+|NF|4|OF|，则该双曲线的离心率为 三、解答题17已知命题p：直线yx+m经过第一、第二和第三象限，q：方程x2+2x+m0无实数根（1）若pq是真命题，求实数m的取值范
4、围；（2）若（p）q是假命题，求实数m的取值范围18已知函数f（x）x3+ax23x+b在x1处的切线平行于x轴（1）求实数a的值；（2）求f（x）的极大值与极小值的差19已知抛物线C的准线经过双曲线的左焦点（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两个不同点，且|AB|10，求直线l的方程20已知函数f（x）ax2+（2a1）xlnx（aR）（1）当a时，求f（x）的单调区间；（2）当a时，求证：不等式f（x）在1，+）恒成立21已知函数f（x）ax2+（2a1）xlnx（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）在1，+）恒成
5、立，求实数a的取值范围22已知点F1，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，椭圆C的离心率e且（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值23已知点F1，F2分别是椭圆C：1（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，且1（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1（3分）已知命题p：xR，x20，则p是（）AxR，x20Bx0R，x020Cx
6、R，x20Dx0R，x020【分析】直接写出特称命题的否定得答案【解答】解：命题：xR，x20的否定是：x0R，x020故选：D【点评】本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题2（3分）椭圆的短轴长为（）A4B6C8D10【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可【解答】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b4，所以椭圆的短轴长为8故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查3（3分）已知函数f（x），则f（0）（）A.B.C.1D【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）sinx，f（0）sin0，故选：B【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题4（3分）已
7、知空间直线a，b，c，且ab，则“bc”是“ca”的（）A充 分 不 必 要 条 件B必要不充分条件C充 要 条 件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的平行性质进行判断即可【解答】解：若ab，当bc时，有ac，同时当ac时，bc也成立，即“bc”是“ca”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的平行性质是解决本题的关键5（3分）抛物线y24x的焦点坐标为（）A（0，1）B（1，0）C（0，2）D（2，0）【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线y24x的焦点在x轴上，且p21抛物线y24x的焦点坐标为（1，0）故
8、选：B【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题6（3分）函数f（x）xex的单调减区间是（）A（，1B1，+）C1，+）D（，1【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于等于0求x的范围即可【解答】解：函数f（x）xex，f（x）ex（1+x），令ex（1+x）0，则x1，故选：D【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系属基础题7（3分）已知双曲线的一个顶点是 （1，0），其渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程（）ABCD【分析】根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出【解答】解：双曲线的一个顶点是 （1，0），a1，且焦点在x轴上，渐近线
9、方程为y2x，2，b2，该双曲线的标准方程为x21，故选：A【点评】本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题8（3分）已知函数f（x）ax2+2x+c在 （1，+）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（1，0）D1，0）【分析】若函数f（x）ax2+2x+c在 （1，+）上单调递减，则函数图象开口朝下，且对称轴不能在x1的右侧，进而得到答案【解答】解：函数f（x）ax2+2x+c在 （1，+）上单调递减，解得：a（，1故选：B【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键9（3分）已知命题“x1，2，x22ax+10”是真命题，则实
10、数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C（，1）D（1，+）【分析】利用参数分离法求出在1，2上对应函数的最值即可【解答】解：若命题“x1，2，x22ax+10”是真命题，则“x1，2，x2+12ax，即a（x+）恒成立，（x+）1，a1，即实数a的取值范围是（，1），故选：C【点评】本题主要考查全称命题的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键10（3分）函数f（x）xln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可【解答】解：f（x）xln|x|xlnxf（x），则函数f（x）是奇函数，图象关
11、于原点对称，排除B，D，当x时，f（）ln|ln0，排除C，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键11（3分）已知直线ykx+2与双曲线的右支相交于A，B两个不同点，则实数k的取值范围是（）ABCD【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k联立求得k的范围【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，由ykx+2与双曲线，消去y可得（34k2）x216kx280，ykx+2与双曲线右支交于不同的两点，k，故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，考查学生分析解决问题
12、的能力，属于中档题12（3分）已知直棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ABAC，点P是侧面ABB1A1内的动点，点P到棱AC的距离等于到平面BCC1B1的距离，则动点P的轨迹是（）A抛物线的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D直线的一部分【分析】建立空间直角坐标系，设出P的坐标，利用已知条件列出方程，求解即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设P（x，y，z），设AB1，则AC1，点P到平面BCC1B1的距离：，点P到棱AC的距离：，点P到棱AC的距离等于到平面BCC1B1的距离，可得，化简可得：x2+2x+2z21，即，轨迹是椭圆的一部分故选：B【点评】本题考查
13、空间图象的应用，轨迹方程的求法与判断，是难题二、填空题13（3分）命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，故答案为：“若x1，则x21”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题14（3分）双曲线y21的焦点坐标为（2，0）【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论【解答】解：由双曲线的方程可知，a23，b21，则c2a2+b23+14，即c2，故双曲线的焦点坐标为：（2，0），故答案为：（2，0）【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，
14、b，c之间的关系是解决本题的关键15（3分）函数f（x）在点（，0）处的切线方程为x+y0【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程【解答】解：f（x）的导数为f（x），即有函数f（x）在点（，0）处的切线斜率为k，切点为（，0），则函数f（x）在点（，0）处的切线方程为y0（x），即：x+y0故答案为：x+y0【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，正确求导是解题的关键16（3分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x22py（p0）交于M，N两点若|MF|+|NF|
15、4|OF|，则该双曲线的离心率为【分析】把x22py（p0）代入双曲线，可得：a2y22pb2y+a2b20，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出【解答】解：把x22py（p0）代入双曲线，可得：a2y22pb2y+a2b20，yA+yB，|AF|+|BF|4|OF|，yA+yB+24，p，即该双曲线的离心率为：e故答案为：【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17已知命题p：直线yx+m经过第一、第二和第三象限，q：方程x2+2x+m0无实数根（1）若pq是真命题，求实数m的取值范围；（
16、2）若（p）q是假命题，求实数m的取值范围【分析】分别求出p、q为真命题的m的范围（1）由pq是真命题，可知p，q均为真命题，取交集得答案；（2）由（p）q是假命题，可知p为真命题，q为假命题，取交集得答案【解答】解：若p为真命题，则m0；若q为真命题，则44m0，即m1（1）若pq是真命题，则m的取值范围是m1；（2）若（p）q是假命题，则p与q均为假命题，即p为真命题，q为假命题，则实数m的取值范围是0m1【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查一元二次不等式的解集与判别式的关系，是基础题18已知函数f（x）x3+ax23x+b在x1处的切线平行于x轴（1）求实数a的值；（2）求f（x）的
17、极大值与极小值的差【分析】（1）先对函数进行求导，由题意可得f（1）0，代入可求出a的值，（2）通过（1）进而可以求出函数的单调区间，函数的极大值为f（1）2+b，极小值为f（1）2+b，即可得出函数的极大值与极小值的差【解答】解：（1）对函数求导可得f（x）3x2+2ax3，又因为图象在x1处的切线在x1处的切线平行于x轴，所以f（1）32a30，解得联立可得a1；（2）由（1）f（x）3x233（x21），当f（x）0时，x1或x1；当f（x）0时，1x1，所以函数的单调增区间是 （，1）和（1，+），函数的单调减区间是（1，1），因此求出函数的极大值为f（1）2+b，极小值为f（1）2+
18、b，故函数的极大值与极小值的差为2+b（2+b）4【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题19已知抛物线C的准线经过双曲线的左焦点（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两个不同点，且|AB|10，求直线l的方程【分析】（1）由抛物线C的准线经过双曲线的左焦点F1（2，0）能求出抛物线C的标准方程及其准线方程（2）法一：设直线l的倾斜角为，则|AB|10，从而k2，由此能求出直线l的方程法二：过抛物线焦点F（2，0）的直线l设为yk（x2），代入抛物线的方程，可得k
19、2x2（4k2+8）x+4k20，由抛物线的定义可得弦长为x1+x2+p4+410，从而得k2，由此能求出所求直线的方程【解答】解：（1）抛物线C的准线经过双曲线的左焦点F1（2，0）抛物线C的标准方程y28x，其准线方程为x2（2）法一：过抛物线C焦点F（2，0）的直线l与该抛物线交于A，B两个不同点，且|AB|10，设直线l的倾斜角为，则|AB|10，sin，cos，k2直线l的方程为y2（x2）法二：过抛物线焦点F（2，0）的直线l设为yk（x2），代入抛物线的方程，可得k2x2（4k2+8）x+4k20，即有x1+x24+，由抛物线的定义可得弦长为x1+x2+p4+410，解得k2，则
20、所求直线的方程为y（x2）【点评】本题考查抛物线方程及其准线方程的求法，考查直线方程的求法，考查抛物线、直线方程、焦点弦等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知函数f（x）ax2+（2a1）xlnx（aR）（1）当a时，求f（x）的单调区间；（2）当a时，求证：不等式f（x）在1，+）恒成立【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间，（2）不等式f（x）在1，+）恒成立转化为a，在1，+）恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可求出a的范围，问题得以证明【解答】解：（1）当a时，f（x）x2lnx，x0，f（x）x，当x（1，+）时，f（x）0，当x（0，1
21、）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，（2）要证不等式f（x）在1，+）恒成立，只要证ax2+（2a1）xlnx在1，+）恒成立，即a（x2+x）x+lnx+在1，+）恒成立，即证a，在1，+）恒成立，设g（x），x1，+），g（x），x2+10，lnx0，x1，x22xlnx2lnx+10恒成立，g（x）在1，+）上单调递减，g（x）g（1），a，显然成立，故当a时，不等式f（x）在1，+）恒成立【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题21已知函数f（x）ax2+（2a1）xlnx（aR）（1）讨论f
22、（x）的单调性；（2）若不等式f（x）在1，+）恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+），f（x）2ax+（2a1），令g（x）2ax2+（2a1）x1，当a0时，g（x）0，即f（x）0，则f（x）在（0，+）递减，当a0时，g（x）的图象如图所示：，则在（0，）上，g（x）0，在（，+）上g（x）0，则f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，综上，a0时，f（x）在（0，+）递减，当a0时，f（
23、x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）要使f（x）在1，+）恒成立，即使f（x）在1，+）上的最小值是f（x）min恒成立，由（1）得，当a0时，f（x）在1，+）递减，不合题意，舍，当a0时，在区间1，+）上，若1，即a时，f（x）在1，+）递增，则f（x）minf（1）3a1，即a，若1即0a时，f（x）在1，+）先减后增，则f（x）minf（）1+ln（2a），即ln（2a），由函数的单调性得yln（2a）在0a上递减，且y，则在0a上，yln（2a）与ln（2a）矛盾，舍，综上，a，+）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
24、22已知点F1，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，椭圆C的离心率e且（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值【分析】（1）由椭圆的离心率得到a2c，于是得到，利用向量数量积的坐标运算得到c1，从而得出a、b的值，进而求出椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为xmy+1，将直线l与椭圆C的方程联立，消去x，列出韦达定理得出F1MN的面积为，并令，转化为t的函数，利用函数的单调性求出面积的最大值【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c0），椭圆C的离心率为e，所以，a2c，则点F2（c，0）、A（2
25、c，0）、，所以，则，得c1，所以，a2c2，因此，椭圆C的方程为；（2）易知点F2（1，0），设直线l的方程为xmy+1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立得，消去x并化简得（3m2+4）y2+6my90，36m2+49（3m2+4）144（m2+1），由韦达定理可得，所以，F1MN的面积为，令，则f（f（，由双勾函数的单调性可知，函数在t1，+）上单调递增，所以，函数在t1，+）上单调递减，所以，当t1时，函数yf（t）取得最大值，且最大值为因此，F1MN面积的最大值为3【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键在于灵活利用韦达定理进行化简，
26、属于难题23已知点F1，F2分别是椭圆C：1（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，且1（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值【分析】（1）由三角形的面积可得（ac）b，于是得到利用向量数量积的坐标运算得到ac+c21，再根据a2b2+c2，从而得出a、b的值，进而求出椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为xmy+1，将直线l与椭圆C的方程联立，消去x，列出韦达定理得出F1MN的面积为，利用函数的单调性求出面积的最小值【解答】解：（1）由题意可知，F2（c，0），A（a，0），B（0，b），（ac，0），（c，b），ac+c21，（ac）b，又a2b2+c2，由解得a2，b，c1，椭圆C的方程为+1，（2）由（1）可得F2（1，0），由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l为xmy+1，由，可得（3m2+4）y2+6my90，36m24（9）（3m2+4）144m2+1440，设M（x1，y1），N（x2，y2），y1+y2，y1y2，|y1y2|4，又m2+11，当且仅当m2+11时，即m0时，|y1y2|max3，F1MN面积的S|F1F2|y1y2|233，故F1MN面积的最大值为3【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键在于灵活利用韦达定理进行化简，属于难题