1、2018-2019学年山西大学附中高二（下）5月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）复数z12i的虚部是（）A2B2C2iD2i2（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（）A某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列an）中，a11，an，可得a21，a31，由此归纳出an的通项公式an13（5分）6本相同的数学书和3本相同的语文书分给
2、9个人，每人1本，共有不同分法（）ACBACADAA4（5分）已知，则常数t的值为（）ABCD5（5分）已知函数f（x）ax3+6x23x+1在区间（1，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A（，3B（，C3，D（，+6（5分）用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk+1时，为了使用假设，应将5k+12k+1变形为（）A5（5k2k）+32kB（5k2k）+45k2kC（52）（5k2k）D2（5k2k）35k7（5分）（x3）4的展开式中常数项为（）ABCD8（5分）已知，f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）ABCD9（5分）某地区高考改革，实行“3+2+1”
3、模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A8种B12种C16种D20种10（5分）已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A（1，0）B（1，+）C（2，0）D（2，1）11（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，当x0时，lnxf（x）f（x），则使得（x24）f（x）0成立的x的取值范围是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（，2）（0
4、，2）12（5分）已知函数f（x）ex，g（x）a（a0），若函数yf（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得yf（x）在点P（x0，y0）处的切线与yg（x）的图象也相切，则a的取值范围是（）A（0，1B（0，C（1，D（，2e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设复数z满足（3i）z1i，则|z| 14（5分）已知，设，则a1+a2+an 15（5分）在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果： 16（5分）已知函数f（x）ex（a1）x1（e为自然对数的底数），若x0（0，+），使得
5、f（lgx0）f（x0）成立，则a的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）已知m为实数，设复数z（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的点在直线xy+70的下方，求m的取值范围18（12分）（请写出式子在写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？19（12分）已知二项式（x+3x2）n（1）若它的二项式系数之和为128求展开式中系数最大的项；
6、（2）若x3，n2016，求二项式的值被7除的余数20（12分）已知正项数列an满足a11，前n项和Sn满足，（）求a2，a3，a4的值（）猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明21（12分）已知函数f（x）e2x+mx，其中m0（）当m1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若不等式f（x）0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围22（12分）已知函数，mR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m（1，0），证明：对任意的x1，x21，1m，4f（x1）+x252018-2019学年山西大学附中高二（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题
7、，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）复数z12i的虚部是（）A2B2C2iD2i【分析】利用虚部的定义即可得出【解答】解：复数z12i的虚部是2故选：A【点评】本题考查了虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）下面几种推理过程是演绎推理的是（）A某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列an）中，a11，an，可得a21，a31，由此归纳出an的通项公式an1【分析
8、】推理分为合情推理（特殊特殊或特殊一般）与演绎推理（一般特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断【解答】解：A中是从特殊一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理故选：C【点评】本题考查简单的演绎推理，易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念，属于基础题3（5分）6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（）ACBACADAA【分析】从9个人中选3个人，一人一本语文书
9、，其他的一人一本数学书，问题得以解决【解答】解：从9个人中选3个人，一人一本语文书，其他的一人一本数学书，故有C93种，故选：A【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，属于基础题4（5分）已知，则常数t的值为（）ABCD【分析】由定积分、微积分基本定理得：（sinxtx）1，所以t，得解【解答】解：因为，所以（sinxtx）1，所以t，故选：A【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理，属基础题5（5分）已知函数f（x）ax3+6x23x+1在区间（1，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A（，3B（，C3，D（，+【分析】对函数f（x）求导，转化成f（x）在（1，2）上有f（x）0恒成立，
10、从而求出a的取值范围【解答】解：f（x）ax3+6x23x+1，f（x）3ax2+12x3，又f（x）在（1，2）上是减函数，f（x）在（1，2）上恒有f（x）0，即3ax2+12x30在（1，2）上恒成立a（2）24，因为x（1，2），所以（，1），所以：a3实数a的取值范围是a|a3故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题6（5分）用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk+1时，为了使用假设，应将5k+12k+1变形为（）A5（5k2k）+32kB（5k2k）+45k2kC（52）（5k2k）D2（5k2k）35k【分
11、析】本题考查的数学归纳法的步骤，在使用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的过程中，由nk时成立，即“5k2k能被3整除”时，为了使用已知结论对5k+12k+1进行论证，在分解的过程中一定要分析出含5k2k的情况【解答】解：假设nk时命题成立，即：5k2k被3整除当nk+1时，5k+12k+155k22k5（5k2k）+52k22k5（5k2k）+32k故选：A【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自
12、然数n都成立7（5分）（x3）4的展开式中常数项为（）ABCD【分析】由二项式定理及展开式的通项公式得：Tr+1（）4r（x3）r（1）r（）4rx4r4，令4r40，解得r1，即展开式中常数项为（1）（）3，得解【解答】解：由（x3）4的展开式得通项Tr+1（）4r（x3）r（1）r（）4rx4r4，令4r40，解得r1，即展开式中常数项为（1）（）3，故选：D【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题8（5分）已知，f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）ABCD【分析】求的导数，得f（x）的表达式，判断f（x）的奇偶性和对称性，然后设g（x）f（x），求g（x），
13、研究函数g（x）的单调性，利用极限思想求出当x0时，f（x）2，利用排除法进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）x+sinx，设g（x）f（x），则g（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D：g（x）1+cosx0，即函数f（x）为增函数，当x0且x0，g（x）1+cosx2，故排除B，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，求出函数的导数，利用函数的对称性和极限思想是解决本题的关键9（5分）某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这
14、五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A8种B12种C16种D20种【分析】若在物理、历史两门科目中只选一门，若在物理、历史两门科目中选两门，根据分类计数原理可得【解答】解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有C21C4212种，若在物理、历史两门科目中选两门，则有C22C414种，根据分类计数原理可得，共有12+416种，故选：C【点评】本题考查了分类计数原理，考查了运算能力和转化能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A（1，0）B（1，+）C（2，0）D（2，1）【分析】通过分离变量，构造函数，利用函
15、数的单调性，求解函数的最小值，结合数形结合求解即可【解答】解：由alnx+x2（a+2）x0得令，则，在（0，1）上递减，在（1，+）上递增，所以g（x）ming（1）1，又当x（0，1）时，x22x0，所以实数的取值范围是（1，0）故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用有解计算能力11（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，当x0时，lnxf（x）f（x），则使得（x24）f（x）0成立的x的取值范围是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（2，+）D（，2）（0，2）【分析】根据题意，设g（x）lnxf（x），（x
16、0），对g（x）求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g（x）在（0，+）上为减函数，分析g（x）的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间（0，1）和（1，+）上，都有f（x）0，结合函数的奇偶性可得在区间（1，0）和（，1）上，都有f（x）0，进而将不等式变形转化，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，设g（x）lnxf（x），（x0），其导数g（x）（lnx）f（x）+lnxf（x）f（x）+lnxf（x），又由当x0时，lnxf（x）f（x），则有g（x）f（x）+lnxf（x）0，即函数g（x）在（0，+）上为减函数，又由g（1）ln1f（x）0，则在区间（0，1）上，
17、g（x）lnxf（x）0，又由lnx0，则f（x）0，在区间（1，+）上，g（x）lnxf（x）0，又由lnx0，则f（x）0，则f（x）在（0，1）和（1，+）上，f（x）0，又由f（x）为奇函数，则在区间（1，0）和（，1）上，都有f（x）0，（x24）f（x）0或，解可得：x2或0x2，则x的取值范围是（，2）（0，2）；故选：D【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f（x）0与f（x）0的解集12（5分）已知函数f（x）ex，g（x）a（a0），若函数yf（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得yf（x）在点P（x0，y0）处的切线与yg（x）的
18、图象也相切，则a的取值范围是（）A（0，1B（0，C（1，D（，2e【分析】设yf（x）的图象在点P（x0，）处的切线与yg（x）的图象切于（t，a），由题意可得，解得x01t则a，t0构造函数h（t），t0，利用导数求其最值得答案【解答】解：设yf（x）的图象在点P（x0，）处的切线与yg（x）的图象切于（t，a），依题意有，解得x01ta，t0记h（t），t0h（t），令h（t）0，得t当t0时，h（t）0，当0t时，h（t）0，函数h（t）在（0，）上单调递增；当t时，h（t）0，函数h（t）在（，+）上单调递减由当t0+时，h（0）0，h（），当t+时，h（0）0，故ah（t）（0，故
19、选：B【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设复数z满足（3i）z1i，则|z|【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算公式求解【解答】解：由（3i）z1i，得z|z|故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题14（5分）已知，设，则a1+a2+an1023【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n10，再分别令x1、x2，可得a1+a2+an的值【解答】解：已知，n10，即 （3x4）10a
20、0+a1（x1）+a2（x1）2+a10（x1）10，令x1，可得a01；再令x2，可得1+a1+a2+an210，a1+a2+an21011023，故答案为：1023【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15（5分）在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：C144【分析】本题根据题干中的四个式子的特点可以很明显写出下一个算式，然后根据组合的定义式进行计算可得到结果【解答】解：根据题中的四个式子的特点可以很明显写出下一个算式为：C6+35+56+36+10+114
21、4故答案为：C144【点评】本题主要考查对算式规律的归纳能力，以及根据发现的规律猜想出下一个算式本题属基础题16（5分）已知函数f（x）ex（a1）x1（e为自然对数的底数），若x0（0，+），使得f（lgx0）f（x0）成立，则a的取值范围为（1，+）【分析】可知lgx0x0，从而根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f（x）exa+1，从而可判断（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程a1ex有解，这样由指数函数yex的单调性即可得出a的取值范围【解答】解：lgx0x0；要满足x0（0，+），使f（lgx0）f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；
22、f（x）ex（a1）；x（0，+）时，f（x）0不恒成立，即f（x）不是减函数；只能f（x）存在极值点，f（x）0有解，即a1ex有解；aex+11a（1，+）；故答案为：（1，+）【点评】考查函数ylgx和yx图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）已知m为实数，设复数z（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数z对应的点在直线xy+70的下方，求m的取值范围【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）由复数z对应的
23、点在直线xy+70的下方，得（m2+5m+6）（m22m15）+70，求解不等式得答案【解答】解：（1）由题意得：，解得m2（2）复数z对应的点的坐标为（m2+5m+6，m22m15），直线xy+70的下方的点的坐标（x，y）应满足xy+70，即：（m2+5m+6）（m22m15）+70，解得m4，m的取值范围为（4，+）【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题18（12分）（请写出式子在写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放
24、法？【分析】（1）每个球都有4种方法，故根据分步计数原理可求，（2）将4个不同的小球全排列即可求出（3）由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果【解答】解：（1）每个球都有4种方法，故有4444256种，（2）每个盒子不空，共有A4424不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43144种不同的放法【点评】本题考查察排列、组合的实际
25、应用，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列19（12分）已知二项式（x+3x2）n（1）若它的二项式系数之和为128求展开式中系数最大的项；（2）若x3，n2016，求二项式的值被7除的余数【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再根据通项公式可得展开式中第r+1项的系数，从而求得展开式中系数最大的项（2）二项式即（28+2）2016，按照二项式定理展开，问题化为22016被7除的余数再根据220168672（7+1）672，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数【解答】解：（1）二项式（x+3x2）n的二项式系数之和为128，2n128，n7由 ，展开式中系
26、数最大的项为第6，7项，为 （2）若x3，n2016，（x+3x2）n，问题转化为22016被7除的余数，220168672（7+1）6727672+7671+7670+7+7k+1，即余数为1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题20（12分）已知正项数列an满足a11，前n项和Sn满足，（）求a2，a3，a4的值（）猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明【分析】（）分别令n2，3，4，解方程可得数列的前三项；（）由（）猜想an2n1；用数学归纳法证明an2n1注意步骤，由nk等式成立，运用数列的递推式推理证得nk+1也成立【解答】解（）
27、当n2时，4S2（a2+1）2，4（a2+1）（a2+1）2，解得a23，当n3时，4S3（a3+1）2，4（S2+a3）（a3+1）2，解得a35，当n4时，4S4（a4+1）2，解得a47，（）猜想得an2n1，下面用数学归纳法证明：当n1，2时a11，a23，满足an2n1假设nk时，结论成立，即ak2k1，则nk+1时4Sk+1（ak+1+1）2，4（Sk+ak+1）（ak+1）2+4ak+1（ak+1+1）2，将ak2k1代入化简得（ak+11）24k2，ak+12k+12（k+1）1，故nk+1时结论成立综合可知，an2n1【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，考查数列的通项公式，
28、正确运用数学归纳法是关键，属于中档题21（12分）已知函数f（x）e2x+mx，其中m0（）当m1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若不等式f（x）0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）当m1时，f（x）2e2x1，可得f（0）1，又f（0）1，即可得曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程（） f（x）2e2x+m，其中m0 对实数m进行讨论：当m0，当m0可得f（x）在x处取得最小值，解得2em0【解答】解：（）当m1时，f（x）e2xxf（x）2e2x1（2分）则f（0）1，又f（0）1（4分）曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为：yx+1
29、（5分）（）函数f（x）定义域为（，+），且f（x）2e2x+m，其中m0（6分）下面对实数m进行讨论：当m0时，f（x）e2x0恒成立，满足条件（7分）当m0时，由f（x）0解得x，从而知函数f（x）在（）内递增；同理函数f（x）在（，）内递减（9分）因此f（x）在x处取得最小值（10分）0解得2em0（12分）综上：当m（2e，0时，不等式f（x）0在定义域（，+）内恒成立（13分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了函数零点存在但是无法求出的情况下研究函数的单调性极值问题，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12分）已知函数，mR（1）
30、讨论f（x）的单调性；（2）若m（1，0），证明：对任意的x1，x21，1m，4f（x1）+x25【分析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可（2）将不等式进行转化，构造函数g（x）x+，则不等式转化为最值问题进行求解即可【解答】解：（1）（2分）当11m，即m0时，（，1m）和（1，+）上f（x）0，f（x）单调减；（1m，1）上f（x）0，f（x）单调增（3分）当11m，即m0时，（，+）上f（x）0，f（x）单调减（4分）当11m，即m0时，（，1）和（1m，+）上f（x）0，f（x）单调减；（1，1m）上f（x）0，f（x）单调增（5分）（2）对任意的x1，x
31、21，1m，4f（x1）+x25可转化为，设g（x）x+，则问题等价于x1，x21，1m，f（x）maxg（x）min（6分）由（1）知，当m（1，0）时，f（x）在1，1m上单调递增，（7分）g（x）在1，1m上单调递减，（8分）即证，化简得4（2m）e1m5（1m）令1mt，t（1，2）设h（t）et（5t）4（t+1），t（1，2），（9分）h（t）et（4t）42et40，故h（t）在（1，2）上单调递增（10分）h（t）h（1）4e80，即4（2m）e1m5（1m）（11分）故，得证（12分）【点评】本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数之间关系进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度