1、2018-2019学年山西省长治二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设复数，则|z|（）ABCD2（5分）三本不同的书给7位学生，每位至多1本，则不同的给法数是（）A343B210C35D603（5分）过两点的直线的倾斜角为（）ABCD4（5分）设f（x）x22x4lnx，则f（x）的递减区间为（）A（1，2）B（0，2）C（，1），（2，+）D（2，+）5（5分）已知双曲线1的一个焦点在圆x2+y24x50上，则双曲线的渐近线方程为（）AByxCD6（5分）设函数f（
2、x）x4+（a1）x3+a若f（x）为偶函数，则f（x）在x1处的切线方程为（）Ay5x4By5x3Cy4x2Dy4x37（5分）从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A24B27C30D368（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A甲、乙可以知道对方的成绩B甲、乙可以知道自己的成绩C乙可以知道四人的成绩D甲可以知道四人的成绩9（5分）网格的小正方形边长为1，一
3、个正三棱锥的侧视图为如图所示的三角形，则该正三棱锥的侧面积为（）ABCD10（5分）已知，函数f（x）的导数f（x）a（x+m）（x+a），若f（x）在xa处取得极大值，则a的取值范围是（）Aa1B1a0Ca1或a0D0a1或a011（5分）如图，过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为（）A5B6CD12（5分）设f（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f（x）+xf（x）lnx，f（e），则下列结论正确的是（）Af（x）在（0，+）单调递增Bf（x）在（0，+）单调递减Cf（x）在（0，+）上有极大值D
4、f（x）在（0，+）上有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13（5分）已知点M（1，0）是圆C：（x2）2+（y1）25内一点，则过点M的圆的最短弦所在直线的方程是 14（5分）（）dx 15（5分）已知A、B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A不排两端，3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有 16（5分）椭圆+1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数（2m23m2）+（m22m）i（1）表示纯虚数； （2）表
5、示的点位于第三象限18（12分）已知有3位女生，4位男生（1）这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，求有多少种不同的站法；（2）从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法19（12分）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+n）2n135（2n1）（nN*）20（12分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点（1）求证：AF平面PCE；（2）若二面角PCDB为45角，AD2，CD3，求PD与平面PCE所成角的正弦值21（12分）已知椭圆+y21的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；
6、（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围22（12分）已知函数（）设a0，讨论yf（x）的单调性；（）若对任意x（0，1）恒有f（x）1，求a的取值范围2018-2019学年山西省长治二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设复数，则|z|（）ABCD【分析】直接利用复数的模的求法，求解即可【解答】解：复数，则|z|故选：C【点评】本题考查复数的模的运算法则的应用，是基本知识的考查2
7、（5分）三本不同的书给7位学生，每位至多1本，则不同的给法数是（）A343B210C35D60【分析】从7位学生选3人，一人一本，问题得以解决【解答】解：从7位学生选3人，一人一本，故有A73210，故选：B【点评】本题考查了简单的排列问题，属于基础题3（5分）过两点的直线的倾斜角为（）ABCD【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解【解答】解：过两点的直线的斜率k，设过两点的直线的倾斜角为（0），则tan，故选：A【点评】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题4（5分）设f（x）x22x4lnx，则f（x）的递减区间为（）A（1，2）B（0，
8、2）C（，1），（2，+）D（2，+）【分析】求函数的定义域，然后求函数导数，解导数不等式即可【解答】解：函数f（x）x22x4lnx的定义域为x|x0，则f（x）2x2，由题意，f（x）0，得x2x20，解得1x2，x0，不等式的解为0x2，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，比较基础5（5分）已知双曲线1的一个焦点在圆x2+y24x50上，则双曲线的渐近线方程为（）AByxCD【分析】确定双曲线1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x50上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意，双曲线1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x50
9、上，（）24505m16双曲线方程为1双曲线的渐近线方程为故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）设函数f（x）x4+（a1）x3+a若f（x）为偶函数，则f（x）在x1处的切线方程为（）Ay5x4By5x3Cy4x2Dy4x3【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数f（x）x4+（a1）x3+af（x）为偶函数，可得a1，所以函数f（x）x4+1，可得f（x）4x3，f（1）2；曲线yf（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线yf（x）在点（1，2）处的切线方程为：y24（x1）即y4x2
10、故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力7（5分）从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A24B27C30D36【分析】根据题意，可分两类，有0时，和无0时，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，从从0，2，4中选一个数字，选为0，则0只能排在十位，故有A326，第二类，从从0，2，4中选一个数字，不选0，先排个位，再排其它，故有C32C21C21A2224，故有6+2430个，故选：C【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键8（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询
11、问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A甲、乙可以知道对方的成绩B甲、乙可以知道自己的成绩C乙可以知道四人的成绩D甲可以知道四人的成绩【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丁知道乙、丙的成绩后仍无法得知自己的成绩，故乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；然后进行推理即可【解答】解：由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩；由于丁和甲也是一个优秀，一个良好
12、，所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩故选：B【点评】本题主要考查合情推理的应用，根据条件得到乙和丙只能一个是优秀，一个是良好是解题的关键；考查学生的推理能力9（5分）网格的小正方形边长为1，一个正三棱锥的侧视图为如图所示的三角形，则该正三棱锥的侧面积为（）ABCD【分析】由已知中的三视图可得：三棱锥的底面边长和高，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：三棱锥的底面上的高为PD3，故三棱锥的底边ABACBC2，正三棱锥的斜高为：PF，故三棱锥的侧面积为：33故选：D【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积
13、，简单几何体的三视图，难度中档10（5分）已知，函数f（x）的导数f（x）a（x+m）（x+a），若f（x）在xa处取得极大值，则a的取值范围是（）Aa1B1a0Ca1或a0D0a1或a0【分析】利用定积分公式可求出m1，讨论a的正负，结合二次函数图象要求f（x）在xa附近左正右负，结合图象可得出a的取值范围【解答】解：m，f（x）a（x+1）（x+a），（1）若a0，则10a，当x1或xa时，f（x）0；当1xa时，f（x）0，此时，函数f（x）在xa处取得极大值；（2）若a0，则二次函数f（x）的图象开口向上，若使得函数f（x）在xa处取得极大值，结合二次函数的图象可知，a1，则a1综上所
14、述，实数a的取值范围是（，0）（1，+）故选：C【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，同时也考查了二次函数的图象，考查推理能力与分析能力，属于中等题11（5分）如图，过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为（）A5B6CD【分析】设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FHp，由点F是AC的中点，得p2，设BFBFx，则，即，解得x，即可求解【解答】解：设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FHp，由于点F是AC的中点，|AF|4，AM42p，p2，设BFBNx，
15、则，即，解得x，故选：C【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，平面几何知识，转化化归的思想方法，属中档题12（5分）设f（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f（x）+xf（x）lnx，f（e），则下列结论正确的是（）Af（x）在（0，+）单调递增Bf（x）在（0，+）单调递减Cf（x）在（0，+）上有极大值Df（x）在（0，+）上有极小值【分析】第一步：在x2f（x）+xf（x）lnx两边同时除以x，使得左边为xf（x）；第二步：令g（x）xf（x），用g（x）表示f（x），并写出f（x）；第三步：对f（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：
16、判断f（x）的符号，即可判断f（x）的单调性【解答】解：由x2f（x）+xf（x）lnx，得xf（x）+f（x），从而xf（x），令g（x）xf（x），则f（x），令h（x）lnxg（x），则h（x）（x0），令h（x）0，即1lnx0，得0xe时，h（x）为增函数；令h（x）0，即1lnx0，得xe时，h（x）为减函数；由f（e），得g（e）ef（e）1h（x）在（0，+）上有极大值h（e）lneg（e）110，也是最大值，h（x）0，即f（x）0，当且仅当xe时，f（x）0，f（x）在（0，+）上为减函数故选：B【点评】本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大“在x2f（
17、x）+xf（x）lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13（5分）已知点M（1，0）是圆C：（x2）2+（y1）25内一点，则过点M的圆的最短弦所在直线的方程是x+y1【分析】根据题意，设过点M的圆的最短弦所在直线为直线l，由圆的方程可得圆的圆心，分析可得当M为弦的中点，即MC与弦垂直时，过点M的圆的弦最短，求出MC的斜率，即可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案【解答】解：根据题意，设过点M的圆的最短弦所在直线为直线l，圆C：（x2）2+（y1）25的圆心为（2，1），当M为弦的
18、中点，即MC与弦垂直时，过点M的圆的弦最短，此时KMC1，此时直线l的斜率K1，则直线l的方程为y（x1），即x+y1；故答案为：x+y1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析过点M的圆的最短弦成立的条件14（5分）（）dx2【分析】（）dx（）dx+（）dx，而（）dx表示半径为2的半圆的面积，可得【解答】解：依题意，（）dx（）dx+（）dx（）dxx|（）dx4而（）dx的几何意义为圆x2+y24（y0）在x轴上方的面积，所以（）dx442故填：2【点评】本题考查了定积分，定积分的几何意义，主要考查了计算能力，属于基础题15（5分）已知A、B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A不排
19、两端，3个大人有且只要两个相邻，则不同的排法种数有48【分析】从甲、乙、丙三个大人中任取2人“捆”在一起，共有C32A226种不同排法，则A必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有6212种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入B，即可得出结论【解答】解：从甲、乙、丙三个大人中任取2人“捆”在一起，共有C32A226种不同排法，则A必须在捆绑的整齐与另一个大人之间，此时共有6212种排法，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入B，共有12448种不同排法故答案为：48【点评】本题考查的是排列问题，这是比较典型的排列题目，题目中有限制的条件有两个，注意解题时要分清两个条件所指16（5
20、分）椭圆+1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b与c之间的关系，然后求解离心率即可【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（c，0），如图连接Q1F，QF，设QF与直线yx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，F1QOM，又OMFQ，F1QQF，|F1Q|2|OM|，在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|，由椭圆定义得|QF|+|QF1|+2a，得bc，ac，故e【点评】
21、本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数（2m23m2）+（m22m）i（1）表示纯虚数； （2）表示的点位于第三象限【分析】（1）根据复数是纯虚数得到实部等于0，虚部不等于0，（2）点在第三象限，则实部小于0，虚部小于0，进行求解即可【解答】解：（1）若表示纯虚数，则得，得m（2）若表示的点位于第三象限则，得【点评】本题主要考查复数几何意义以及复数概念的应用，根据定义转化为相应的表达式关系是解决本题的关键18（12分）已知有3位女生，4位男生（1）这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，
22、求有多少种不同的站法；（2）从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：，将4名男生全排列，分析排好后的空位，在5个空位中任选3个，安排3位女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用间接法分析：先计算在7人中任选3人的选法，再计算其中没有女生即全部为男生的选法，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：，将4名男生全排列，有A44种排法，排好后有5个空位；，在5个空位中任选3个，安排3位女生，有A53种情况，则有种排法；（2）根据题意，用间接法分析：在7人中任选3人，有C73种选法，其中没有女生即全部为
23、男生的选法有C43种，则至少有1位女生入选的选法有种【点评】本题考查排列、组合的应用，注意常见问题的处理方法，属于基础题19（12分）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+n）2n135（2n1）（nN*）【分析】先验证n1结论成立，假设nk结论成立，根据条件计算（k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2）的结果即可得出nk+1结论成立【解答】证明：（1）当n1时，左边1+12，右边212左边右边，故当n1时，结论成立；（2）假设nk（k1）结论成立，即（k+1）（k+2）（k+3）（k+k）2k13（2k1），（k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2）（2k+1）
24、（2k+2）2k+113（2k1）（2k+1），当nk+1时，结论成立，故对任意nN*，结论都成立【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于中档题20（12分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点（1）求证：AF平面PCE；（2）若二面角PCDB为45角，AD2，CD3，求PD与平面PCE所成角的正弦值【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF平面PCE（2）法一：证明PACD，CDPD，说明PDA为二面角PCDB的平面角，设D到平面PCE的距离为h，由VPDCEVDPCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正
25、弦值法二：证明PACD，CDPD，说明PDA为二面角PCDB的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，PCD中，FG为中位线，FGCD且，由AECD且得四边形AEGF为平行四边形，AFEG，AF平面PCE，EG平面PCE，AF平面PCE（4分）（2）法一：PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，CDPD，PDA为二面角PCDB的平面角，PDA45（8分）由AD2得设D到平面PCE的距离为h，由VPDCEVDPCE得：SPCEhSBCEPA，所
26、以PD与平面PCE所成角的正弦值为（12分）（也可以得出二面角为PDA后，借助AF平面PCD得EG平面PCD，得平面PCE平面PCD，过D作DMPC即可得DMPCE）法二：PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，CDPD，PDA为二面角PCDB的平面角，PDA45（8分）以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设平面PCE的法向量为由，得所以PD与平面PCE所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力21（12分）已知椭圆+y21的左焦点为F，O为坐标原点（1
27、）求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围【分析】（1）由a22，b21，可得c1，F（1，0），由于圆过点O、F，可得圆心M在直线x上，设M，则圆半径 r，由|OM|r，得，解得t即可得出（2）设直线AB的方程为yk（x+1）（k0），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，由于直线AB过椭圆的左焦点F，可得方程有两个不等实根设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系可得AB的垂直平分线
28、NG的方程为，令y0，得xG+，即可得出【解答】解：（1）a22，b21，c1，F（1，0），圆过点O、F，圆心M在直线x上，设M，则圆半径 r，由|OM|r，得，解得t所求圆的方程为（2）设直线AB的方程为yk（x+1）（k0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）x1+x2，AB的垂直平分线NG的方程为，y0k（x0+1）令y0，得xGx0+ky0+，k0，xG0点G横坐标的取值范围为【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得
29、根与系数的关系、线段的垂直平分线，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12分）已知函数（）设a0，讨论yf（x）的单调性；（）若对任意x（0，1）恒有f（x）1，求a的取值范围【分析】（）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（）若对任意x（0，1）恒有f（x）1即要讨论当0a2时，当a2时，当a0时三种情况讨论得到a的取值范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（，1）（1，+）对f（x）求导数得f（x）eax（）当a2时，f（x）e2x，f（x）在（，0），（0，1）和（1，+）均大于0，所以f（x）在（
30、，1），（1，+）为增函数（）当0a2时，f（x）0，f（x）在（，1），（1，+）为增函数（）当a2时，01，令f（x）0，解得x1，x2当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表： x （1，+）f（x）+ f（x）f（x）在（，），（，1），（1，+）为增函数，f（x）在（，）为减函数（）（）当0a2时，由（）知：对任意x（0，1）恒有f（x）f（0）1（）当a2时，取x0（0，1），则由（）知f（x0）f（0）1（）当a0时，对任意x（0，1），恒有1且eax1，得f（x）eax1综上当且仅当a（，2时，对任意x（0，1）恒有f（x）1【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立时所取的条件