1、2017-2018学年山西省吕梁市孝义市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（下列各题都只有一个最符合题意的答案，请将其字母标号填入题后的括号内每小题2分，共20分）1（2分）二次根式有意义的条件是（）Aa3Ba0CaDa02（2分）下列计算正确的是（）AB3C7D23（2分）下列定理中，没有逆定理的是（）A两直线平行，同位角相等B全等三角形的对应边相等C全等三角形的对应角相等D在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上4（2分）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用
2、形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（）A几何原本B九章算术C周髀算经D海岛算经5（2分）如图，ABCD中，ABC和BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE4，CE3，则AB的长是（）AB3C4D56（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB6，BC8，则ABO的周长为（）A16B18C20D227（2分）我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形矩形、菱形和正方形根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现
3、的数学思想是（）A转化B分类讨论C数形结合D由一般到特殊8（2分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF若AD2，则菱形AECF的面积为（）A16B8C4D29（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE1，若点P为对角线BD上的一个动点，则PAE周长的最小值是（）A3B4C5D610（2分）如图，ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2018个三角形的周长为（）ABCD二、填空题（每小题3分，共18分）11（3分）若y+6，则xy 12（3分）若一直角三
4、角形两边长分别为6和8，则斜边长为 13（3分）用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 14（3分）九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程 15（3分）已知x，则x的值为 16（3分）如图，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 三、解答题（本大题共6个小题，
5、共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算：（1）（6）（）（2）（2+）（2）（2）218（6分）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x25，解得x，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式
6、如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图中画出分割线，并在图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形（说明：直接画出图形，不要求写分析过程）19（7分）已知，如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BEDF，连接EF，与对角线AC交于点O，则线段AC与EF有什么关系？请说明理由20（8分）观察下列各式及其验证过程：验证：；验证：；验证：；验证：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n2）表示的等式，并给出证明21（9分）如图，某港口P位于南
7、北方向的海岸线上，甲、乙两艘渔船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点Q、R处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由22（12分）综合与探究问题情境：在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图（1），正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的一个顶点（正方形OEFG的边长足够长），将正方形OEFG绕点O做旋转实验，OE与BC交于点M，OG与DC交于点N“兴趣小组”写出的两个数学结论是：SOMC+SONCS正方形ABCD；BM
8、2+CM22OM2问题解决：（1）请你证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性类比探究：（2）解决完“兴趣小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题；“智慧小组“提出的问题是：如图（2），将正方形OEFG在图（1）的基础上旋转一定的角度，当OE与CB的延长线交于点M，OG与DC的延长线交于点N，则“兴趣小组”所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由2017-2018学年山西省吕梁市孝义市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题都只有一个最符合题意的答案，请将其字母标号填入题后的括号内每小题2分，共20分）1（2分）二次根式有意义的条件是（）Aa3Ba0CaDa0
9、【分析】根据被开方数是非负数，可得答案【解答】解：由题意，得3a0，解得a0，故选：B【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键2（2分）下列计算正确的是（）AB3C7D2【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题【解答】解：，故选项A错误，故选项B错误，故选项C正确，故选项D错误，故选：C【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法3（2分）下列定理中，没有逆定理的是（）A两直线平行，同位角相等B全等三角形的对应边相等C全等三角形的对应角相等D在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
10、【分析】写出各个定理的逆命题，判断是否正确即可【解答】解：两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，正确，A有逆定理；全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确，B有逆定理；全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，错误，C没有逆定理；在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，正确，D有逆定理；故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆定理的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理4（2分）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很
11、早就尝试对勾股定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（）A几何原本B九章算术C周髀算经D海岛算经【分析】在周髀算经中赵爽提过”“赵爽弦图”；【解答】解：在周髀算经中赵爽提过”“赵爽弦图”，故选：C【点评】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在周髀算经提到过5（2分）如图，ABCD中，ABC和BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE4，CE3，则AB的长是（）AB3C4D5【分析】根据平行四边形的性质可证明BEC是直角三角形，
12、利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出ABEAEB，DECDCE，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABC、BCD的角平分线的交点E落在AD边上，BEC18090，BE4，CE3，BC5，ABEEBC，AEBEBC，DCEECB，DECECB，ABEAEB，DECDCE，ABAE，DEDC，即AEEDADBC，由题意可得：ABCD，ADBC，ABAE，故选：A【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质和角平分线的性质，勾股定理等知识，正确把握平行四边形的性质是解题关键6（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC
13、，BD相交于点O，且AB6，BC8，则ABO的周长为（）A16B18C20D22【分析】由矩形的性质得出OAOB，由勾股定理求出AC，得出OAOBAC5，即可求出ABO的周长【解答】解：四边形ABCD是矩形，OAAC，OBBD，ACBD，ABC90，AC10，OAOB，OAOBAC5，ABO的周长OA+OB+AB5+5+616；故选：A【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AC是解决问题的关键7（2分）我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形矩形、菱形和正方形根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的
14、性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A转化B分类讨论C数形结合D由一般到特殊【分析】依据探究过程并结合选项可作出判断【解答】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊故选：D【点评】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键8（2分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF若AD2，则菱形AECF的面积为（）A16B8C4D2【分析】根据翻折的性质可得DAFOAF，OAAD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得OAFOAE，然后求出OAE30，然后解直角三角形求出AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：由
15、翻折的性质得，DAFOAF，OAAD2，在菱形AECF中，OAFOAE，OAE9030，AEAOcos3024，菱形AECF的面积AEAD8故选：B【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，熟记翻折前后图形能够重合并求出OAE30是解题的关键9（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE1，若点P为对角线BD上的一个动点，则PAE周长的最小值是（）A3B4C5D6【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案【解答】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，四边形ABCD是正方形，OAOC，ACBD，即A和C关于BD对称，
16、APCP，即AP+PECE，此时AP+PE的值最小，所以此时PAE周长的值最小，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE1，ABC90，BE413，由勾股定理得：CE5，PAE的周长的最小值是AP+PE+AECE+AE5+16，故选：D【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键10（2分）如图，ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2018个三角形的周长为（）ABCD【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角
17、形的周长的一半，然后根据指数的变化规律求解即可【解答】解：根据三角形中位线定理可得第2个三角形的各边长都等于第1个三角形各边的一半，第1个三角形的周长是1，第2个三角形的周长第1个三角形的周长1，第3个三角形的周长为第2个三角形的周长（）2，第4个三角形的周长为第3个三角形的周长（）2（）3，第2018个三角形的周长（）2017故选：C【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并判断出后一个三角形的周长等于上一个三角形的周长的一半是解题的关键二、填空题（每小题3分，共18分）11（3分）若y+6，则xy3【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值【解答】
18、解：由题意可知：，解得：x，y0+066，xy3，故答案为：3【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型12（3分）若一直角三角形两边长分别为6和8，则斜边长为10或8【分析】由于没有明确直角，所以应考虑两种情况：8是直角边或8是斜边根据勾股定理进行计算【解答】解：分两种情况：当8是直角边时，斜边长10；当8是斜边时，斜边长8；故答案为：10或8【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解13（3分）用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的
19、依据是对角线相等的平行四边形是矩形【分析】根据矩形和平行四边形的判定方法填空即可【解答】解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形【点评】本题主要考查了矩形的定义和判定，牢记判定定理及定义是解答本题的关键14（3分）九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列
20、方程x2+42（10x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，利用勾股定理解题即可【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x2+42（10x）2故答案为x2+42（10x）2【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题15（3分）已知x，则x的值为【分析】根据x，可以求得的值，进而求得的值，从而可以求得所求式子的值【解答】解：x，（x）266，10，x，故答案为：【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法16（3分）
21、如图，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是3【分析】过点D作DEDP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出ADPCDE，再利用“角角边”证明ADP和CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DEDP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可【解答】解：如图，过点D作DEDP交BC的延长线于E，ADCABC90，四边形DPBE是矩形，CDE+CDP90，ADC90，ADP+CDP90，ADPCDE，DPAB，APD90，APDE90，在ADP和CDE中，ADPCDE（AAS
22、），DEDP，四边形ABCD的面积四边形DPBE的面积18，矩形DPBE是正方形，DP3故答案为：3【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算：（1）（6）（）（2）（2+）（2）（2）2【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算【解答】解：（1）原式2+35；（2）原式45（34+4）17+448【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次
23、根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18（6分）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x25，解得x，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长，于是，画出如图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10
24、个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图中画出分割线，并在图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形（说明：直接画出图形，不要求写分析过程）【分析】参考小东同学的做法，可得新正方形的边长为，由此可知新正方形的边长等于三个小正方形组成的矩形对角线的长于是，画出分割线，拼出新正方形即可【解答】解：所画图形如图所示说明：图1与图2中所画图形正确各得（2分）分割方法不唯一，正确者相应给分【点评】此题主要考查对正方形与三角形之间关系的灵活掌握19（7分）已知，如图，在ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BEDF，连接E
25、F，与对角线AC交于点O，则线段AC与EF有什么关系？请说明理由【分析】由平行四边形的性质得出ABCD，ABCD，证出AECF，EF，OAEOCF，由ASA证明AOECOF，即可得出结论【解答】证明：线段AC与EF互相平分理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BEDF，AB+BECD+DF，即AECF，ABCD，AECF，EF，OAEOCF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），OEOFOAOC，线段AC与EF互相平分【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键20（8分）观察下列各
26、式及其验证过程：验证：；验证：；验证：；验证：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n2）表示的等式，并给出证明【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a（a0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号
27、内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1【解答】解：（1）验证如下：左边右边，故猜想正确；（2）证明如下：左边右边【点评】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式21（9分）如图，某港口P位于南北方向的海岸线上，甲、乙两艘渔船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点Q、R处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由【分析】直接利用勾股定理逆定理得出PQR是直角三角形，进而得出方向角【解答】
28、解：由题意可得：APQ75，PQ12224（海里），PR16232（海里），在PQR中，PQ2+PR2242+3221600，QR24021600，PQ2+PR2QR2，PQR是直角三角形，且QPR90，BPR180APQQRP180759015，乙船沿南偏东15方向航行【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出PQR是直角三角形是解题关键22（12分）综合与探究问题情境：在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图（1），正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的一个顶点（正方形OEFG的边长足够长），将正方形OEFG绕点O做旋转实验，O
29、E与BC交于点M，OG与DC交于点N“兴趣小组”写出的两个数学结论是：SOMC+SONCS正方形ABCD；BM2+CM22OM2问题解决：（1）请你证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性类比探究：（2）解决完“兴趣小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题；“智慧小组“提出的问题是：如图（2），将正方形OEFG在图（1）的基础上旋转一定的角度，当OE与CB的延长线交于点M，OG与DC的延长线交于点N，则“兴趣小组”所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由【分析】（1）利用正方形的性质判断出BOMCON，利用面积和差即可得出结论；先得出OMON，BMCN，再用勾股定理即可得出结论；（
30、2）同（1）的方法即可得出结论【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线相交于O，SBOCS正方形ABCD，OBOC，BOC90，OBMOCN，四边形OEFG是正方形，MON90，BOCMOCMONMOC，BOMCOM，BOMCON，SBOMSCON，SOMC+SONCSOMC+SBOMS正方形ABCD；由知，BOMCON，OMON，BMCN，在RtMCN中，MN2CM2+CN2CM2+BM2，在RtMON中，MN2OM2+ON22OM2，BM2+CM22OM2；（2）结论不成立，理由：正方形ABCD的对角线相交于O，SBOCS正方形ABCD，OBBD，OCAC，ACBD，ACBD，ABCBCD90，AC平分BCD，BD平分ABC，OBOC，BOC90，OBCOCD45，OBMOCN135，四边形OEFG是正方形，MON90，BOMCON，BOMCON，SBOMSCON，SOMCSBOMSOMCSCONSBOCS正方形ABCD，结论不成立；结论成立，理由：如图（2）连接MN，BOMCON，OMON，BMCN，在RtMCN中，MN2CM2+CN2CM2+BM2，在RtMON中，MN2OM2+ON22OM2，BM2+CM22OM2，结论成立【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等式的性质，判断出BOMCON是解本题是关键