1、专题三圆的综合题类型一 与切线有关 (2019泉州模拟)已知BC是O的直径，点D是BC延长线上一点，ABAD，AE是O的弦，AEC30.(1)求证：直线AD是O的切线；(2)若AEBC，垂足为M，O的半径为4，求AE的长【分析】(1)先求出ABC30，进而求出BAD120，再求出OAB30，结论即可得证；(2)先求出AOC60，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论【自主解答】1(2019龙岩武平一模)如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DFAC于点F.(1)试说明DF是O的切线；(2)若AC3AE，求tan C.2(2019莆田
2、模拟)如图，在ABC中，BCA90，以BC为直径的O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D.(1)判断直线PQ与O的位置关系，并说明理由；(2)若AP4，tan A.求O的半径的长；求PD的长3(2019福建大联考)已知，AB是O的直径，点C在O上，点P是AB延长线上一点，连接CP.(1)如图1，若PCBA.求证：直线PC是O的切线；若CPCA，OA2，求CP的长；(2)如图2，若点M是的中点，CM交AB于点N，MNMC9，求BM的值4如图，以ABC的边AB为直径画O，交AC于点D，半径OEBD，连接BE，DE，BD.设BE交AC于点F，若DEBDBC.(1)求证：B
3、C是O的切线；(2)若BFBC2，求图中阴影部分的面积类型二 与圆的基本性质有关 (2018福建A卷)已知四边形ABCD是O的内接四边形，AC是O的直径，DEAB，垂足为E.(1)延长DE交O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1.求证：PCPB；(2)过点B作BGAD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2.若AB，DH1，OHD80，求BDE的大小【分析】(1)先判断出BCDF，再利用同位角相等判断出FPBC，即可得出结论；(2)先判断出四边形DHBC是平行四边形，得出BCDH1，再用锐角三角函数求出ACB60，进而判断出DHOD，求出OAD20，即可得出结论【自主
4、解答】5如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EFAE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD7，BE2，求半圆和菱形ABFC的面积6(2019厦门二检)如图，已知ABC及其外接圆，C90，AC10.(1)若该圆的半径为5，求A的度数；(2)点M在AB边上且AMBM，连接CM并延长交该圆于点D，连接DB，过点C作CE垂直DB的延长线于E.若BE3，CE4，试判断AB与CD是否互相垂直，并说明理由类型三 与动点结合 (2018福建B卷)如图，D是ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧DEAB，垂足为E，DE的延长线
5、交此圆于点F.BGAD，垂足为G，BG交DE于点H.DC，FB的延长线交于点P，且PCPB.(1)求证：BGCD；(2)设ABC外接圆的圆心为O，若ABDH，OHD80，求BDE的大小【分析】(1)根据等边对等角得PCBPBC，由四点共圆的性质得BADBCD180，从而得BFDPCBPBC，根据平行线的判定得BCDF，可得ABC90，AC是O的直径，从而得ADCAGB90，根据同位角相等可得结论；(2)先证明四边形BCDH是平行四边形得BCDH，根据特殊的三角函数值得ACB60，BAC30，所以DHAC，分两种情况讨论【自主解答】7(2019晋江质检)如图，在O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰
6、好在O上，连接AC，BC，BO，AO.(1)求证：四边形AOBC是菱形；(2)若点Q是优弧(不含端点A，B)上任意一点，连接CQ交AB于点P，O的半径为2.试探究：线段CP与CQ的积CPCQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；求CPPO的取值范围8(2019龙岩武平一模)如图，AB是O的直径，弦BCOB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G.(1)求DGE的度数；(2)若，求的值；(3)记CFB，DGO的面积分别为S1，S2，若k，求的值(用含k的式子表示)拓展类型 与坐标系结合1如图1，直线l：yxb与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C是
7、线段OA上一动点(0AC)以点A为圆心，AC长为半径作A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连接OE并延长交A于点F. 图1 图2(1)求直线l的函数解析式和tanBAO的值；(2)如图2，连接CE，当CEEF时求证：OCEOEA；求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求OEEF的最大值2在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(10，0)，点C为OA的中点，以C为圆心，OC长为半径作圆，点B是该半圆圆周上的一动点，连接OB，AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线OB于点E，F，点E为垂足，连接CF.(1)当AOB30时，求的长；(2)当DE8时，求线段E
8、F的长参考答案类型一【例1】 (1)AEC30，ABC30.ABAD，DABC30.根据三角形的内角和定理得BAD120.如图，连接OA，OAOB，OABABC30，OADBADOAB90，OAAD.点A在O上，直线AD是O的切线(2)如图，AEC30，AOC60.BCAE于M，AE2AM，OMA90.在RtAOM中，AMOAsinAOM2，AE2AM4.跟踪训练1解：(1)如图，连接OD.OBOD，OBDODB.ABAC，ABCC，ODBC，ODAC.DFAC，ODDF，点D在O上，DF是O的切线(2)如图，连接BE.AB是直径，AEB90.ABAC，AC3AE，AB3AE，CE4AE，BE
9、2AE.在RtBEC中，tan C.2解：(1)PQ与O相切理由如下：如图，连接OP，CP.BC为O的直径，CPB90.在RtAPC中，Q是AC的中点，PQCQAQ，34.OCOP，12，231490，OPPQ，PQ为O的切线(2)在RtAPC中，tan A，PCPA42，AC2.在RtABC中，tan A，BC2，O的半径的长为.在RtABC中，AB5，BPABAP1.点O为BC的中点，OQ为ABC的中位线，OQAB，OQAB.PQAC，PQ.PBOQ，DBPDOQ，即，PD.3(1)证明：OAOC，AACO.PCBA，ACOPCB.AB是O的直径，ACOOCB90，PCBOCB90，即OC
10、CP.OC是O的半径，PC是O的切线解：CPCA，PA，COB2A2P.OCP90，P30.OCOA2，OP2OC4，PC2.(2)解：如图，连接MA，MB.点M是的中点，AMBM.ACMBAM.AMCAMN，AMCNMA，AM2MNMC.MNMC9，AM3，BMAM3.4(1)证明：AB是O的直径，ADB90，AABD90.ADEB，DEBDBC，ADBC.DBCABD90，ABC90.又点B在圆上，BC是O的切线(2)解：如图，连接OD.BFBC2，且ADB90，CBDFBD.OEBD，FBDOEB.OEOB，OEBOBE，CBDOEBOBEADB9030，C60，ABBC2，O的半径为，
11、S阴影S扇形DOBSDOB3.类型二【例2】 (1)AC是O的直径，ABC90.又DEAB，DEA90，DEAABC，BCDF，FPBC.四边形BCDF是O内接四边形，FDCB180.又PCBDCB180，FPCB，PBCPCB，PCPB.(2)如图，连接OD.AC是O的直径，ADC90，又BGAD，AGB90，ADCAGB，BGDC.又BCDE，四边形DHBC为平行四边形，BCDH1.在RtABC中，AB，tanACB，ACB60，BCACOD，DHOD.在等腰三角形DOH中，DOHOHD80，ODH20.设DE交AC于点N.BCDE，ONHACB60，NOH180(ONHOHD)40，DO
12、CDOHNOH40.OAOD，OAD20，则CBDOAD20.BCDE，BDECBD20.跟踪训练5(1)证明：AB是O的直径，AEB90，即AEBC.ABAC，BECE.AEEF，四边形ABFC是平行四边形ACAB，四边形ABFC是菱形(2)解：设CDx.如图，连接BD.AB是直径，ADBBDC90，AB2AD2CB2CD2，(7x)27242x2，解得x1或8(舍去)，AC8，BD，S菱形ABFC2SABC2ACBD8，S半圆428.6解：(1)C90，AB为ABC外接圆的直径该圆的半径为5，AB10.在RtABC中，AC2BC2AB2.AC10，102BC2(10)2，BC10，ACBC
13、，AB，A45.(2)AB与CD互相垂直，理由如下：由(1)得AB为直径，取AB中点O，则点O为圆心，如图，连接OC，OD.CEDB，E90，在RtCBE中，BE2CE2BC2，即3242BC2，BC5.，ABOC，CDEBOC，ACDE.ACB90，在RtACB中，tan A，tanCDEtan A.又在RtCED中，tanCDE，即，DE8，BDDEBE835，BCBD，BOCBOD.OCOD，OMCD.即ABCD.类型三【例3】 (1)PCPB，PCBPBC.四边形ABCD内接于圆，BADBCD180.又BCDPCB180，BADPCB.BADBFD，BFDPCBPBC，BCDF.DEA
14、B，DEB90，ABC90，AC是直径，ADC90.又BGAD，AGB90，ADCAGB，BGCD.(2)由(1)知，BCDF，BGCD，四边形BCDH是平行四边形，BCDH.在RtABC中，ABDH，tanACB，ACB60，BAC30，ADB60，BCAC，DHAC.()当点O在DE的左侧时，如图，作直径DM，连接AM，则DAM90，AMDADM90.DEAB，BED90，BDEABD90.AMDABD，ADMBDE.DHAC，DHOD，DOHOHD80，ODH20.ADB60，ADMBDE40，BDEADM20.()当点O在DE的右侧时，如图，作直径DN，连接BN.同()可得ADEBDN
15、20，ODH20，BDEBDNODH40.综上所述，BDE20或BDE40.跟踪训练7(1)证明：如图，连接OC交AB于点I，圆心O与点C关于弦AB对称，AB垂直平分OC.OC是半径，OCAB，OC平分AB，四边形AOBC是菱形(2)解：CPCQ为定值12.理由如下：由(1)证得四边形AOBC是菱形，ACOA2.如图，连接AQ.ACCB，CABAQC.又ACPQCA，ACPQCA，即CPCQAC2OA2(2)212.四边形AOBC是菱形，AOACCBOB，AB2AI.又OCOA，AOACCBOBOC，AOC与OCB均是等边三角形，AOCCAOACO60.在RtAIO中，AOC60，AI AOs
16、in 6023，AB2AI6.如图，连接BQ，则CABCQB，ACQABQ，APCQPB，CPPQPAPB.设PAx，则PB6x，CPPQAPPBx(6x)6xx2(x3)29(0x6)，当x3时，CPPQ的最大值为9.当点Q移动到点A(或点B)的位置时，点P，Q重合，此时CPPQ0，CPPQ的取值范围是0CPPQ9.8解：(1)BCOBOC，COB60，CDBCOB30.OCOD，点E为CD中点，OECD，GED90，DGE60.(2)如图，过点F作FHAB于点H.设CF1，则OF2，OCOB3.COB60，OHOF1，HFOH，HBOBOH2.在RtBHF中，BF.由OCOB，COB60得
17、OCB60.又OGBDGE60，OGBOCB.OFGCFB，FGOFCB，GF，.(3)如图，过点F作FHAB于点H.设OF1，则CFk，OBOCk1.COB60，OHOF，HFOH，HBOBOHk.在RtBHF中，BF.由(2)得FGOFCB，即，GO.如图，过点C作CPBD于点P.CDB30，PCCD.点E是CD中点，DECD，PCDE.DEOE，.拓展类型1(1)解：把A(4，0)代入yxb得4b0，解得b3.直线l的函数解析式为yx3.AOBO，OA4，BO3，tanBAO.(2)证明：如图，连接AF.CEEF，CAEEAF.又ACAEAF，ACEAEF，OCEOEA.又COEEOA，
18、OCEOEA.解：如图，过点E作EHx轴于点H.tanBAO，设EH3x，则AH4x，AEAC5x，OH44x.OCEOEA，即OE2OAOC.又OE2OH2EH2，(44x)2(3x)24(45x)，解得x1，x20(不合题意，舍去)，E(，)(3)解：如图，过点A作AMOF于点M，过点O作ONAB于点N.tanBAO，cosBAO，ANOAcosBAO.设ACAEr，ENr.ONAB，AMOF，ONEAME90，且EMEF.又OENAEM，OENAEM，即OEEFAEEN，OEEF2AEEN2r(r)，OEEF2r2r(0r)，当r时，OEEF有最大值，最大值为.2解：(1)如图，连接BC.A(10，0)，OA10，CA5.AOB30，ACB2AOB60，的长.(2)若D在第一象限，如图，连接OD.OA是C的直径，OBA90.又ABBD，OB是AD的垂直平分线，ODOA10.在RtODE中，OE6，AEAOOE1064.由AOBADE90OAB，OEFDEA得OEFDEA，即，EF3.若D在第二象限，如图，连接OD.OA是C的直径，OBA90.又ABBD，OB是AD的垂直平分线，ODOA10.在RtODE中，OE6，AEAOOE10616.由AOBADE90OAB，OEFDEA得OEFDEA，即，EF12.综上，线段EF的长为3或12.