1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：（每小题4分，共40分）1（4分）设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线yf（x）上点（1，f（1）处的切线率为（）A2B1C1D22（4分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图，则下列叙述正确的是（）A函数f（x）在（，4）上单调递减B函数f（x）在x1处取得极大值C函数f（x）在x4处取得极值D函数f（x）只有一个极值点3（4分）等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于（）A8B10C12D144（4分）若cos ，是第三象限的角，则sin（+）（）ABCD5（4分）设P是椭
2、圆上一点，M、N分别是两圆（x+12）2+y21和（x12）2+y21上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为（）A18，24B16，22C24，28D20，266（4分）已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数对于任意的xR，f（x）f（x）0恒成立，则（）Af（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）Bf（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）Cf（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）Df（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）7（4分）已知函数f（x）（2x）ex（e为自然对数的底数），则f（x）的图象大致为（）ABCD8（4分）函数f
3、（x）x3ax2bx+a2在x1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在9（4分）已知M（x0，y0）是双曲线C：1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）ABCD10（4分）已知函数f（x）x2+2ax，g（x）3a2lnx+b，设两曲线yf（x），yg（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a（0，+）时，实数b的最大值是（）ABCD二、填空题（每小题4分，共16分）11（4分）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a122e5，则lna1+lna2+lna20 12（4分）设aR，若函数f（x
4、）eax+3x，（xR）有大于零的极值点，则a的取值范围为 13（4分）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，则|MN|+|PQ|的最小值为 14（4分）对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线ykx+m1和ykx+m2，使得对任意xD都有kx+m1f（x）kx+m2恒成立，则称函数f（x）（xD）有一个宽度为d的通道给出下列函数：f（x）；f（x）sinx；f（x）；f（x）其中在区间1，+）上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号）三、解答题（共4小题，共44分）15（10分）已知
5、函数f（x）x1，xR（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，f（C）1，sinB2sinA，求a，b的值16（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭园C的极坐标方程为2cos2+32sin248，其左焦点F在直线l上（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|+|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值17（12分）已知函数f（x）（2a+2）lnx+2ax2+5（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a1，若对任意不相等的正数x1，x
6、2，恒有，求a的取值范围18（12分）已知椭圆C1：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y22px（p0）的焦点，C2的准线被椭圆C1和圆x2+y2a2截得的弦长分别为2和4（1）求C1和C2的方程（2）已知动直线l与抛物线C2相切（切点异于原点），且l与椭圆C1相交于M，N两点，若椭圆C1上存在点Q，使得，求实数的取值范围附加题（本题20分）19（20分）已知函数f（x）ln（x+m）+n的图象在点（1，f（1）处的切线方程是yx1，函数g（x）ax2+bx（a、bR，a0）在x2处取得极值2（1）求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）若函数yf（x+1）g（x）（其
7、中g（x）是g（x）的导函数）在区间（t，t+）没有单调性，求实数t的取值范围；（3）设kZ，当x1时，不等式k（x1）xf（x）+3g（x）+4恒成立，求k的最大值2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共40分）1（4分）设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线yf（x）上点（1，f（1）处的切线率为（）A2B1C1D2【分析】由导数的几何意义，求出在曲线yf（x）上点（1，f（1）处的导数，即求得在此点处切线的斜率【解答】解：，即y|x11，yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1，故选：B【点评】本题考
8、查导数及其运算，求解问题的关键，是对所给的极限极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求出曲线yf（x）上点（1，f（1）处的切线率2（4分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图，则下列叙述正确的是（）A函数f（x）在（，4）上单调递减B函数f（x）在x1处取得极大值C函数f（x）在x4处取得极值D函数f（x）只有一个极值点【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案；【解答】解：由已知函数f（x）的导函数f（x）的图象可知，f（x）0在区间（，4），（4，2），f（x）0在x4，f（x）0在区间（2，+），根据导函数的定义和集合意义，导函数大于0
9、时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，导函数等于0 时是原函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得：A、x（，4），f（x）0，所以函数f（x）在（，4）上单调递减错误；B、x（4，2），f（x）0，x（2，+），f（x）0，函数f（x）在x1处取得极大值错误；C、x（，4），f（x）0，x4，f（x）0，x（4，2），f（x）0，函数f（x）在x4处取得极值错误；D、x（4，2），f（x）0，x（2，+），f（x）0，函数f（x）只有一个极值点x2正确；故选：D【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，体现
10、了数形结合的思想方法，属于中档题3（4分）等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于（）A8B10C12D14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3a1+a2+a33a212，解得a24，公差da2a1422，a6a1+5d2+5212，故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题4（4分）若cos ，是第三象限的角，则sin（+）（）ABCD【分析】根据的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案【解答】解：是第三象限的角sin，所以sin（+）sincos+c
11、ossin故选：A【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的5（4分）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆（x+12）2+y21和（x12）2+y21上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为（）A18，24B16，22C24，28D20，26【分析】圆外一点P到圆C上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|r，其中C为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点P与两圆心并延长与两圆各交于两处取得最值，最大值为2a+两圆半径之和，最小值为2a两圆半径之和【解答】解：两圆圆心F1（12，0），F
12、2（12，0）恰好是椭圆的焦点，椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a26，两圆半径相等，都是1，即r1，（|PM|+|PN|）min|PF1|+|PF2|2r26224（|PM|+|PN|）max|PF1|+|PF2|+2r26+228故选：C【点评】本题考查椭圆的定义和方程和性质，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用，考查数形结合思想方法，属于中档题6（4分）已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数对于任意的xR，f（x）f（x）0恒成立，则（）Af（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）Bf（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）Cf（1）ef（0），f（2
13、018）e2018f（0）Df（1）ef（0），f（2018）e2018f（0）【分析】构造函数h（x），求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可【解答】解：设h（x），则h（x）0，即h（x）在R上是减函数，则h（1）h（0），h（0）h（2018），即，则f（1）ef（0），f（2018）e2018f（0），故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的判断，根据条件构造函数，研究函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质进行判断是解决本题的关键7（4分）已知函数f（x）（2x）ex（e为自然对数的底数），则f（x）的图象大致为（）ABCD【分析】排除法：分别用x1，
14、x，x1排除C、D、B，只能选A【解答】解：当x1时，f（x）（2x）ex0恒成立，排除C；当x时，f（x）（28）e0，排除D；当x1时，f（x）e10，排除B；故选：A【点评】本题考查了函数的图象与图象变换属中档题8（4分）函数f（x）x3ax2bx+a2在x1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x1时有极值10可得 解之即可求出a和b的值【解答】解：对函数f（x）求导得 f（x）3x22axb，又在x1时f（x）有极值10，解得 或 ，验证知，当a3，b3时，在x1无极值，故选：B【点评】掌
15、握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题9（4分）已知M（x0，y0）是双曲线C：1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）ABCD【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围【解答】解：由题意，（x0，y0）（x0，y0）x023+y023y0210，所以y0故选：A【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础10（4分）已知函数f（x）x2+2ax，g（x）3a2lnx+b，设两曲线yf（x），yg（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a（0，+）时，实数b的最大值是
16、（）ABCD【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数由于两曲线yf（x），yg（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）g（x0），且f（x0）g（x0），解出x0a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值【解答】解：函数f（x）的导数为f（x）x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线yf（x），yg（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x00，a0则x0a，因此构造函数，由h（t）2t（13lnt），当时，h（t）0即h（t）单调递增；当时，h（t）0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值故选：D【点评】本题考查
17、导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查分离参数法和构造函数，运用导数求单调区间和极值、最值，同时考查运算能力，属于中档题二、填空题（每小题4分，共16分）11（4分）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a122e5，则lna1+lna2+lna2050【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案【解答】解：数列an为等比数列，且a10a11+a9a122e5，a10a11+a9a122a10a112e5，a10a11e5，lna1+lna2+lna20ln（a1a2a20）ln（a10a11）10ln（
18、e5）10lne5050故答案为：50【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题12（4分）设aR，若函数f（x）eax+3x，（xR）有大于零的极值点，则a的取值范围为（，3）【分析】求导数令导数为零求极值，列不等式解之【解答】解：f（x）aeax+3，令f（x）0即aeax+30当a0无解，无极值当a0时，x当x时，f（x）0；x时f（x）0为极大值点0解之得a3故答案为（，3）【点评】本题考查利用导数求极值13（4分）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，则|M
19、N|+|PQ|的最小值为16【分析】根据题意可判断当P与M，N与Q关于x轴对称，即直线MN的斜率为1，|MN|+|PQ|的最小值，根据弦长公式计算即可【解答】解：如图，l1l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，要使|MN|+|PQ|最小，则P与M，N与Q关于x轴对称，即直线MN的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为yx1，联立方程组，则y24y40，y1+y24，y1y24，|MN|y1y2|8，P与M，N与Q关于x轴对称时，|MN|PQ|MN|+|PQ|的最小值为16故答案为：16【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式
20、，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题14（4分）对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线ykx+m1和ykx+m2，使得对任意xD都有kx+m1f（x）kx+m2恒成立，则称函数f（x）（xD）有一个宽度为d的通道给出下列函数：f（x）；f（x）sinx；f（x）；f（x）其中在区间1，+）上通道宽度可以为1的函数有（写出所有正确的序号）【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论【解答】解：函数，在区间1，+）上的值域为（0，1，满足0f（x）1，该函数在区间1，+）上通道宽度可以为1；函数，在区间1，+）上的值域为1，1，满足1
21、f（x）1，该函数在区间1，+）上通道宽度可以为2；函数，在区间1，+）上的图象是双曲线x2y21在第一象限的部分，其渐近线为yx，满足x1f（x）x，该函数在区间1，+）上通道宽度可以为1；函数，在区间1，+）上的值域为0，满足0f（x）1，该函数在区间1，+）上通道宽度可以为1故满足题意的有故答案为【点评】本题考查函数性质以及函数图象的灵活应用，属于中档题三、解答题（共4小题，共44分）15（10分）已知函数f（x）x1，xR（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，f（C）1，sinB2sinA，求a，b的值【分析】（1
22、）根据辅助角公式即可求得f（x），即可求得f（x）最小正周期及单调递减区间；（2）由f（C）1，即可求得C，利用余弦定理及正弦定理即可求得a和b的值【解答】解：由，（2分）（1）周期为T，（3分）因为，（4分）所以，函数的单减区间为；（6分）（2）因为，所以；（7分）所以，a2+b2ab3，（9分）又因为sinB2sinA，所以b2a，（10分）解得：a1，b2，a，b的值1，2（12分）【点评】本题考查辅助角公式，正弦函数的性质，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题16（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极
23、坐标系，椭园C的极坐标方程为2cos2+32sin248，其左焦点F在直线l上（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|+|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值【分析】（1）先把椭圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再把直线l的参数方程代入并利用参数t的几何意义可求得；（2）利用椭圆C的参数方程设出矩形的一个顶点，计算面积后用三角函数求最值【解答】解（1）将代入2cos2+32sin248，得x2+3y248，即，因为c2481632，所以F的坐标为（，0），又因为F在直线l上，所以把直线l的参数方程代入x2+3y248，化简得t24t80，所以t1+t24，t1t28，所以 （
24、5分）（2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（，4sin）（），所以内接矩形的面积，当时，面积S取得最大值 （10分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题17（12分）已知函数f（x）（2a+2）lnx+2ax2+5（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a1，若对任意不相等的正数x1，x2，恒有，求a的取值范围【分析】（1）求得导数，讨论当a0时，当a1时，当1a0时，导数的符号，进而得到单调区间；（2）不妨设x1x2，而a1，由（1）知f（x）在（0，+）单调递减，由题意可得|f（x1）f（x2）|8|x1x2|f（x1）f（x2）8（x2x1）f（
25、x1）+8x1f（x2）+8x2，令g（x）f（x）+8x，求得导数，由g（x）在（0，+）单调递减，运用参数分离，求得右边函数的最小值，即可得到a的范围【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调递增；当a1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调递减；当1a0时，令f（x）0，解得x，即x（0，），f（x）0；x（，+）时，f（x）0；故f（x）在（0，）单调递增，在（，+）时单调递减；（2）不妨设x1x2，而a1，由（1）知f（x）在（0，+）单调递减，从而对任意x1，x2（0，+），恒有|f（x1）f（x2）|8|x1x2|f（x1
26、）f（x2）8（x2x1）f（x1）+8x1f（x2）+8x2，令g（x）f（x）+8x，则，原不等式等价于g（x）在（0，+）单调递减，即+2ax+40，从而a2，而右边函数的最小值为2，故a的取值范围为（，2另解：设，则，当，a的取值范围为（，2【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查构造函数求得导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题18（12分）已知椭圆C1：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y22px（p0）的焦点，C2的准线被椭圆C1和圆x2+y2a2截得的弦长分别为2和4（1）求C1和C2的方程（2）已知动直线l与抛物线C2相切（切点异于原点），且l
27、与椭圆C1相交于M，N两点，若椭圆C1上存在点Q，使得，求实数的取值范围【分析】（I）由a2，b2，p2c4即可；（2）设出直线l：xmy+n，联立椭圆、抛物线方程，运用韦达定理及向量运算可求解【解答】解：（1）由题得a2，b2，p2c4，故C1：，C2：y28x（4分）（2）由题知l存在斜率且不为0，直线l：xmy+n，（m0）M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0）（5分）联立y28my8n0，因为l与C2相切，故由0，可得2m2+n0（6分）联立（m2+2）y2+2mny+n280，两根y1，y2，y1+y2，（7分）0n24m282n+8n（4，2），又2m2n0因此n（4
28、，0）（8分）由，由韦达定理易得（9分）而，因此，n（4，0）（10分）令t4n（4，8），则22（t+8）（0，4）（2，0）（0，2）（12分）【点评】本题考查椭圆、抛物线的方程的求法，考查存在性问题的处理方法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题附加题（本题20分）19（20分）已知函数f（x）ln（x+m）+n的图象在点（1，f（1）处的切线方程是yx1，函数g（x）ax2+bx（a、bR，a0）在x2处取得极值2（1）求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）若函数yf（x+1）g（x）（其中g（x）是g（x）的导函数）在区间（t，t+）没有单调性，求实数
29、t的取值范围；（3）设kZ，当x1时，不等式k（x1）xf（x）+3g（x）+4恒成立，求k的最大值【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线方程，求出g（x）的导数，由极值的定义可得方程，由条件解得mn0，a，b2进而得到f（x），g（x）的解析式；（2）求出函数y的导数，求得单调区间，可得t的不等式，即可得到t的范围；（3）原不等式等价于k（x1）xlnx+3x2，即为k（x1），令（x）（x1），求得导数，求得单调区间，运用函数的零点存在定理，可得k的增大整数【解答】解：（1）由f（x）ln（x+m）+n（xm），可得f（x）（xm），f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是yf（1）f
30、（1）（x1），即yf（1）x+f（1）f（1），依题该直线与直线yx1重合，可解得mn0又g（x）ax2+bx可得g（x）2ax+b，且g（x）在x2处取得极值2，解得a，b2所求f（x）lnx（x0），g（x）x22x（xR）；（2）yf（x+1）g（x）ln（x+1）x+2，令（x）ln（x+1）x+2（x1）（x）1（x1），（x）在（1，0递增，在0，+）上递减，（x）在区间（t，t+）不单调，1t0且t+0t0故所求实数t（，0）；（3）不等式k（x1）xf（x）+3g（x）+4等价于k（x1）xlnx+3x2，即为k（x1），令（x）（x1）（x）又令（x）xlnx2（x1），（x）10（x1）由x1（x）（1）1，故存在唯一x01，使（x0）0，即x0lnx020满足当x（1，x0时，（x）0；当x（x0，+）时，（x）0；x（1，x0时，（x）0，x（x0，+）时，（x）0；也即（x）在（1，x0上递减，在（x0，+）上递增；k（x）min（x0）x0+2 （lnx0x02），又（3）1ln30，（4）22ln20，且（x）在（1，+）连续不断，3x04，k（x0）x0+2（5，6）故所求最大整数k的值为5【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查函数的单调性的运用和不等式恒成立思想的运用，考查运算化简的能力，属于中档题