1、2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z2x+3y的最小值为（）A6B7C8D232（5分）已知点（1，2）和（3，3）在直线3x+ya0的同侧，则a取值范围（）A（1，6）B（6，1）C（，1）（6，+）D（，6）（1，+）3（5分）设a，b为实数，且a+b3，则2a+2b的最小值是（）A6BC2D84（5分）设0ab，则下列不等式中正确的是（）AabBabCabDab5（5分）若函数f（x）x+（x2），在xa处取最小值，则a（）A1+B1+C3D46（5分
2、）不等式的解集是（）ABCD7（5分）方程x2+（m2）x+5m0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A（5，4B（，4C（，2D（，5）（5，48（5分）若函数f（x）（a2+4a5）x24（a1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（）A1，+）B（1，19）C1，19）D（1，199（5分）在ABC中，内角B60，边长a8，b7，则此三角形的面积为（）A6B9C6或10D9或1010（5分）若在ABC中，2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形11（5分）如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是（）A
3、an2（n2+n+1）Ban32nCan3n+1Dan23n12（5分）若正数x，y满足x+3y5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若x、y满足，则的最大值是 14（5分）已知，则的取值范围是 15（5分）已知三角形的三边为a，b，c和面积Sa2（bc）2，则cosA 16（5分）数列an中，a12，an+1an2n，则数列的通项an 三、解答题（共5小题，每小题0分，共70分）17解不等式（1）解关于x的不等式x2（3+a）x+3a0；（2）218已知函数f（x），x1，
4、+）（1）当a4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围19已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc0（1）求A；（2）若a2，ABC的面积为，求b，c20半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？21已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高二（上）期中数学试卷（
5、文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z2x+3y的最小值为（）A6B7C8D23【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【解答】解：画出不等式表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin4+37，故选：B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）
6、寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解2（5分）已知点（1，2）和（3，3）在直线3x+ya0的同侧，则a取值范围（）A（1，6）B（6，1）C（，1）（6，+）D（，6）（1，+）【分析】由于点（1，2）和（3，3）在直线3x+ya0的同侧，可得（3+2a）（93a）0，化为（a+1）（a6）0，解出即可【解答】解：点（1，2）和（3，3）在直线3x+ya0的同侧，（3+2a）（93a）0，化为（a+1）（a6）0，解得a1或a6故选：C【点评】本题考查了线性规划的有关知识、一元二次不等式的解法，属于基础题3（5分）设a，b为
7、实数，且a+b3，则2a+2b的最小值是（）A6BC2D8【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b2 2，结合题意a+b3，代入可得答案【解答】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b2 2，又由a+b3，则，故选：B【点评】本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件4（5分）设0ab，则下列不等式中正确的是（）AabBabCabDab【分析】举特值计算，排除选项可得【解答】解：取a1且b4，计算可得2，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B【点评】本题考查特值法比较式子的大小，属基础题5（5分）若函数f（x）
8、x+（x2），在xa处取最小值，则a（）A1+B1+C3D4【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值【解答】解：f（x）x+x2+24当x21时，即x3时等号成立xa处取最小值，a3故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用考查了分析问题和解决问题的能力6（5分）不等式的解集是（）ABCD【分析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解【解答】解：本小题主要考查分式不等式的解法易知x1排除B；由x0符合可排除C；由x3排除A，故选D也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解故选：D【点评】本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题7（5分）方程
9、x2+（m2）x+5m0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A（5，4B（，4C（，2D（，5）（5，4【分析】方程x2+（m2）x+5m0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）x2+（m2）x+5m与x轴的两个交点都在直线x2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）0，且0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围【解答】解：令f（x）x2+（m2）x+5m，其对称轴方程为x 由已知方程x2+（m2）x+5m0的两根都大于2，故有 即解得5m4 m的取值范围是（5，4 故应选A【点评】本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查知道了一元二次方程根的特
10、征，将其转化为方程组解参数范围的能力，本题解题技巧是数形结合，借助图象转化出不等式组，此是这一类题的常用方法8（5分）若函数f（x）（a2+4a5）x24（a1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（）A1，+）B（1，19）C1，19）D（1，19【分析】由题意可得（a2+4a5）x24（a1）x+30恒成立，按照a2+4a50，a2+4a50两种情况进行讨论，情况可求得a值，然后代入不等式检验即可；情况可等价转化为不等式组解决【解答】解：f（x）（a2+4a5）x24（a1）x+3的图象恒在x轴上方，即（a2+4a5）x24（a1）x+30（*）恒成立，（1）当a2+4a50时，可得
11、a5或a1，若a5，（*）式可化为24x+30，不恒成立；若a1，（*）式可化为30，恒成立；（2）当a2+4a50时，可得a5且a1，由题意可得，即，解得1a19；综上所述，a的取值范围是：1，19），故选：C【点评】本题考查二次函数的性质及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，属基础题9（5分）在ABC中，内角B60，边长a8，b7，则此三角形的面积为（）A6B9C6或10D9或10【分析】根据题意，利用余弦定理算出c的值，再由三角形的面积公式即可算出ABC的面积【解答】解：ABC中，b7，a8，B60，由余弦定理，得b2a2+c22accosB，即49c2+642c8cos60，整理得
12、c28c+150，解得c3或c5，ABC的面积为SacsinB6 或10故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题10（5分）若在ABC中，2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【分析】由题意和和差角公式易得sin（AB）0，进而可得AB，可判ABC为等腰三角形【解答】解：在ABC中2cosBsinAsinC，2cosBsinAsinCsin（A+B），2cosBsinAsinAcosB+cosAsinB，sinAcosBcosAsinB0，sin（AB）0，AB0，即AB，ABC为等腰
13、三角形，故选：C【点评】本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题11（5分）如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是（）Aan2（n2+n+1）Ban32nCan3n+1Dan23n【分析】利用数列中an与 Sn关系 ，得出，且a16，由此判定数列为等比数列，通项公式可求【解答】解：当n1时，解得a16当n2时，anSnSn1，化简整理，所以数列an是以6为首项，以3为公比的等比数列通项公式an63n123n故选：D【点评】本题考查利用数列中an与 Sn关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解需具有转化、变形、计算能力12（5分）若正数x，y满足x+3y
14、5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6【分析】将x+3y5xy转化成1，然后根据3x+4y（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值【解答】解：正数x，y满足x+3y5xy，13x+4y（）（3x+4y）+25当且仅当时取等号，3x+4y5，即3x+4y的最小值是5故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若x、y满足，则的最大值是3【分析】先根据约束条件画出可行域，设，利用z的几何意义求最值，只需求出区域内的点Q与点P（1，
15、1）连线的斜率的取值范围即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设，将z转化区域内的点Q与点P（1，1）连线的斜率，当动点Q在点A（2，4）时，z的值为：，最大，最大值3故答案为：3【点评】本题主要考查了简单线性规划，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想14（5分）已知，则的取值范围是【分析】由，可得，即可得出的取值范围【解答】解：，又，0，的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题15（5分）已
16、知三角形的三边为a，b，c和面积Sa2（bc）2，则cosA【分析】利用三角形得面积公式以及余弦定理结合三角函数得平方关系可得；【解答】解：由题意得，bcsinAa2b2c2+2bc2bccosA+2bc，所以sinA+4cosA4，又因为sin2A+cos2A1，解得cosA；故答案为：【点评】本题考查了三角形得面积公式、余弦定理以及三角函数公式，关键是熟练运用各公式解答16（5分）数列an中，a12，an+1an2n，则数列的通项an2n【分析】运用累加法求解：ana12+22+23+2+2n1即可得到答案【解答】解：a12，an+1an2n，a2a12，a3a222，anan12n1，相
17、加得：ana12+22+23+2n1，an2n，故答案为：2n【点评】本题考查了数列的函数性，等比数列的求和公式，属于中档题三、解答题（共5小题，每小题0分，共70分）17解不等式（1）解关于x的不等式x2（3+a）x+3a0；（2）2【分析】（1）由原不等式可得（x3）（xa）0，从而讨论a与3的大小关系，根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）可由原不等式得出x22x22（x2+x+1），解该一元二次不等式即可【解答】解：（1）由x2（3+a）x+3a0得，（x3）（xa）0，当a3时，xa或x3，不等式解集为x|xa或x3；当a3时，不等式为（x3）20，不等式解集为x|xR且x3；当a
18、3时，x3或xa，不等式解集为x|x3或xa（2）x2+x+10恒成立，由得，x22x22（x2+x+1），整理得，x2+4x+40，解得x2，原不等式的解集为x|x2【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题18已知函数f（x），x1，+）（1）当a4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围【分析】（1）将a4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）将恒成立问题转化为最值问题求解，【解答】解：（1）当a4时，f（x）x+22+26，（当且仅当x2时取得相等），即函数最小值为6；（
19、2）f（x）0即x+20对任意x1，+），恒成立，即ax（x+2）a（x+1）2+1，令g（x）（x+1）2+1，g（x）的最大值为当x1时取得，为g（1）3所以有a3【点评】本题考查函数最值问题，用到了基本不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型19已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc0（1）求A；（2）若a2，ABC的面积为，求b，c【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A30）即可求出A的值；（2）若a2，由ABC的面积为，求得bc4，再利用余弦定理可得b+c4，结合求得b和c的值【解答】解：（1）由正弦定理得：acos
20、C+asinCbc0，即sinAcosC+sinAsinCsinB+sinCsinAcosC+sinAsinCsin（A+C）+sinC，即sinAcosA1sin（A30）A3030A60；（2）若a2，ABC的面积，bc4再利用余弦定理可得：a2b2+c22bccosA（b+c）22bcbc（b+c）2344，b+c4结合求得bc2【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题20半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？【分析】在AOB中，由已知OA
21、2，OB1，设AOB，则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来，进而四边形OACB面积SSAOB+SAB表示成为的三角函数，再注意（0，），将三角函数化简成为yAsin（x+）+B的形式，就可求得使四边形OACB面积最大的角的值，从而就可确定点B的位置【解答】解：根据题意，设AOB，在AOB中，由余弦定理得AB2OA2+OB22OAOBcosAOB12+22212cos54cos，于是，四边形OACB的面积为SSAOB+SABCOAOBsin+AB221sin+（54cos）sincos+2sin（）+，因为0，所以当，即时，四边形OACB面积最大；故当时，四边形OACB面积最大【点评】
22、本题考查解三角形，涉及余弦定理的应用，关键是得到四边形OACB的面积关于的表达式21已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn【分析】（）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求an及Sn；（）求出bn的通项公式，利用裂项法即可得到结论【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，因为a37，a5+a726，所以有，解得a13，d2，所以an3+2（n1）2n+1；Sn3n+（）由（）知an2n+1，所以bn（），所以数列bn的前n项和Tn（1）（1），即数列bn的前n项和Tn【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的计算，以及利用裂项法进行求和