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2017-2018学年陕西省榆林市高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

1、2017-2018学年陕西省榆林市高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)复数z在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2(5分)已知z1,z2是复数,以下四个结论正确的是()若z1+z20,则z10,z20若|z1|+|z2|0,则z10,z20若z1+0,则z10若|z1|z2|,则向量与重合A仅正确B仅正确C正确D仅正确3(5分)曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1B2CeD4(5分)定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:(i)1*11

2、,(ii)(n+1)*1n*1+1,则n*1等于()AnBn+1Cn1Dn25(5分)用反证法证明命题:“已知a、bN*,如果ab可被5整除,那么a、b 中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除6(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A真,假,真B假,假,真C真,真,假D假,假,假7(5分)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)时,第一步验证n1时,左边应取的项是()A1B1+2C1+2+3D1+2+3+48(5分)

3、由曲线yx2,y围成的封闭图形的面积为()ABCD19(5分)已知点P在曲线y上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A0,)B,)C(,D,)10(5分)已知zC,且|z|1,则|z22i|(i为虚数单位)的最小值是()A21B2+1CD211(5分)若函数f(x)x33bx+3b在(0,1)内有极小值,则()A0b1Bb1Cb0Db12(5分)用数学归纳法证明不等式“+(n2)”时的过程中,由nk到nk+1时,不等式的左边()A增加了一项B增加了两项C增加了两项,又减少了一项D增加了一项,又减少了一项二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知(1+i)2

4、a+bi(a,bR,i为虚数单位),则a+b 14(5分)函数f(x)x3+ax2+bx+a2在x1时有极值为10,则a+b的值为 15(5分)已知x(0,+)有下列各式:x+2,x+3,x+4成立,观察上面各式,按此规律若x+5,则正数a 16(5分)dxsinxdx 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知mR,复数z(m22m3)+(m21)i(1)实数m取什么值时,复数z为实数、纯虚数;(2)实数m取值范围是什么时,复数z对应的点在第三象限18(12分)数列an的前n项和记为Sn,已知a11,an+1(n1,2,3)证明:(1)数

5、列是等比数列;(2)Sn+14an19(12分)已知a,bR,abe(其中e是自然对数的底数),求证:baab(提示:可考虑用分析法找思路)20(12分)求由抛物线yx2+4x3与它在点A(0,3)和点B(3,0)的切线所围成的区域的面积21(12分)已知f(x)ax3+bx2+cx在区间0,1上是增函数,在区间(,0),(1,+)上是减函数,又()求f(x)的解析式;()若在区间0,m(m0)上恒有f(x)x成立,求m的取值范围22(12分)已知函数f(x)alnxax3(1)若f(1)5,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任

6、意的t1,2,函数g(x)x3+x2f(x)+在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围2017-2018学年陕西省榆林市高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)复数z在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母根据平方差公式得到一个实数,分子进行复数的乘法运算,得到最简结果,写出对应的点的坐标,得到位置【解答】解:z+i,复数z在复平面上对应的点位于第一象限故选:A【点评】本题

7、考查复数的乘除运算,考查复数与复平面上的点的对应,是一个基础题,在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具2(5分)已知z1,z2是复数,以下四个结论正确的是()若z1+z20,则z10,z20若|z1|+|z2|0,则z10,z20若z1+0,则z10若|z1|z2|,则向量与重合A仅正确B仅正确C正确D仅正确【分析】举例说明错误;由|z1|+|z2|0,得|z1|z2|0,从而得到z10,z20,说明正确【解答】解:若z1+z20,则z10,z20,错误,如z11,z21;若|z1|+|z2|0,则|z1|z2|0,z10,z20,故正确;若z1+0,则z10,错误,如z1i,;若|z1|

8、z2|,则向量与重合错误,如z11+i,z21i,满足|z1|z2|,但向量与不重合正确的结论是故选:A【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查复数的有关概念,是基础题3(5分)曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1B2CeD【分析】由曲线的解析式,求出导函数,然后把切点的横坐标x0代入,求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率【解答】解:由yex,得到yex,把x0代入得:y(0)e01,则曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为1故选:A【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题4(5分)定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:(i)1

9、*11,(ii)(n+1)*1n*1+1,则n*1等于()AnBn+1Cn1Dn2【分析】根据定义中的运算法则,对(n+1)*1n*1+1反复利用,即逐步改变“n”的值,直到得出运算结果【解答】解:1*11,(n+1)*1n*1+1,(n+1)*1n*1+1(n1)*1+1+1(n2)*1+3n(n1)*1+n1+n,n*1n故选:A【点评】本题题型是给出新的运算利用运算性质进行求值,主要抓住运算的本质,改变式子中字母的值再反复运算性质求出值,考查了观察能力和分析、解决问题的能力5(5分)用反证法证明命题:“已知a、bN*,如果ab可被5整除,那么a、b 中至少有一个能被5整除”时,假设的内容

10、应为()Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除【分析】反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此得出此命题是成立的【解答】解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证命题“a,bN,如果ab可被5整除,那么a,b至少有1个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”故选:B【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用,用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧6(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(

11、)A真,假,真B假,假,真C真,真,假D假,假,假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假,再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假【解答】解:根据共轭复数的定义,原命题“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|z2|”是真命题;其逆命题是:“若|z1|z2|,则z1,z2互为共轭复数”,例|1|1|,而1与1不是互为共轭复数,原命题的逆命题是假命题;根据原命题与其逆否命题同真同假,否命题与逆命题互为逆否命题,同真同假,命题的否命题是假命题,逆否命题是真命题故选:B【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义,熟练掌握四种命题的真

12、假关系是解题的关键7(5分)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)时,第一步验证n1时,左边应取的项是()A1B1+2C1+2+3D1+2+3+4【分析】由等式 ,当n1时,n+34,而等式左边起始为1的连续的正整数的和,由此易得答案【解答】解:在等式 中,当n1时,n+34,而等式左边起始为1的连续的正整数的和,故n1时,等式左边的项为:1+2+3+4故选:D【点评】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤,在数学归纳法中,第一步是论证n1时结论是否成立,此时一定要分析等式两边的项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误解此类问题时,注意n的取值范围8(5分)由曲线yx2,y围成的封闭图形的

13、面积为()ABCD1【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标,然后对函数解析式求定积分即可得到曲线yx2,y围成的封闭图形的面积【解答】解:由曲线yx2,y,联立,因为x0,所以解得x0或x1所以曲线yx2与y所围成的图形的面积S01(x2)dxx3|01故选:B【点评】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,属于基础题9(5分)已知点P在曲线y上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A0,)B,)C(,D,)【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率,再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围【解答】解:因为y上的导数为y,ex+ex22,ex+ex+24,

14、y1,0)即tan1,0),0即的取值范围是,)故选:D【点评】本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义属于基础题10(5分)已知zC,且|z|1,则|z22i|(i为虚数单位)的最小值是()A21B2+1CD2【分析】利用复数|z|1的几何意义即可求得|z22i|(i为虚数单位)的最小值利用复数|z|1的几何意义即可求得|z22i|(i为虚数单位)的最小值【解答】解:|z|1且zC,作图如图:|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,|z22i|的最小值为:|OP|121故选:A【点评】本题考查复数求模,着重考查复数模的几何意义,考查作图、用图的能力,属于中档

15、题11(5分)若函数f(x)x33bx+3b在(0,1)内有极小值,则()A0b1Bb1Cb0Db【分析】先对函数f(x)进行求导,然后令导函数等于0,由题意知在(0,1)内必有根,从而得到b的范围【解答】解:因为函数在(0,1)内有极小值,所以极值点在(0,1)上令f(x)3x23b0,得x2b,显然b0,x又x(0,1),010b1故选:A【点评】本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题12(5分)用数学归纳法证明不等式“+(n2)”时的过程中,由nk到nk+1时,不等式的左边()A增加了一项B增加了两项C增加了两项,又减少了一项D增加了一项,又减少了一项【分析】本题考查的知识点是

16、数学归纳法,观察不等式“+(n2)左边的各项,他们都是以开始,以项结束,共n项,当由nk到nk+1时,项数也由k变到k+1时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论【解答】解:,故选:C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知(1+i)2a+bi(a,bR,i为虚数单位),则a+b2【分析】通过题意直接计算

17、即可【解答】解:(1+i)21+2i+i22i,(1+i)2a+bi(a,bR,i为虚数单位),a+b2,故答案为:2【点评】本题考查复数的相关知识,注意解题方法的积累,属于基础题14(5分)函数f(x)x3+ax2+bx+a2在x1时有极值为10,则a+b的值为7【分析】首先对f(x)求导,然后由题设在x1时有极值10可得 ,解方程得出a,b的值,最后求它们的即可【解答】解:对函数f(x)求导得 f(x)3x2+2ax+b,又在x1时f(x)有极值10,解得 或 ,验证知,当a3,b3时,在x1无极值,故 a+b的值7故答案为:7【点评】掌握函数极值存在的条件,考查利用函数的极值存在的条件求

18、参数的能力15(5分)已知x(0,+)有下列各式:x+2,x+3,x+4成立,观察上面各式,按此规律若x+5,则正数a44【分析】由已知中的不等式,归纳推理得:x+n+1,进而根据n+15,求出n值,进而得到a值【解答】解:由已知中:x(0,+)时,x+2,x+3,x+4归纳推理得:x+n+1,若x+5,则n+15,即n4,此时ann44,故答案为44【点评】本题考查的知识点是归纳推理,其中根据已知归纳推理得:x+n+1,是解答的关键16(5分)dxsinxdx【分析】由定积分的几何意义求得dx,直接求定积分得到sinxdx,则答案可求【解答】解:求dxsinxdx由定积分的几何意义可知,dx

19、是以原点为圆心,以1为半径的四分之一圆的面积,等于sinxdxdxsinxdx故答案为:【点评】本题考查了定积分,考查了定积分的几何意义,是基础的计算题三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知mR,复数z(m22m3)+(m21)i(1)实数m取什么值时,复数z为实数、纯虚数;(2)实数m取值范围是什么时,复数z对应的点在第三象限【分析】(1)由虚部为0求得使z为实数的m值,再由实部为0且虚部不为0求得使z为纯虚数的m值;(2)由实部与虚部均小于0求解【解答】解:(1)当m210,即m1时,复数z(m22m3)+(m21)i为实数;当,即

20、m3时,复数z(m22m3)+(m21)i是纯虚数;(2)由题意,解得1m1当m(1,1)时,复数z对应的点在第三象限【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数的基本概念,是基础题18(12分)数列an的前n项和记为Sn,已知a11,an+1(n1,2,3)证明:(1)数列是等比数列;(2)Sn+14an【分析】(1)由已知条件an+1(n1,2,3)、an+1Sn+1Sn推导出2(2)利用(1)中等比数列的公比为2得到:4,由此推得结论【解答】证明:(1)由an+1(n1,2,3),an+1Sn+1Sn得SnSn+1Sn,Sn+1Sn,2,数列是等比数列;(2)由(1)知,数列的

21、公比是2,则4,Sn+14an【点评】本题考查等比数列的通项公式,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用19(12分)已知a,bR,abe(其中e是自然对数的底数),求证:baab(提示:可考虑用分析法找思路)【分析】要证:baab只要证:alnbblna只要证构造函数f(x),利用函数的单调性即可证明【解答】证明:ba0,ab0,要证:baab只要证:alnbblna,只要证(abe),设f(x),f(x),当xe时,f(x)0,函数f(x)在(e,+)上是单调递减当abe时,有f(b)f(a),即,baab【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的

22、证明,属于中档题20(12分)求由抛物线yx2+4x3与它在点A(0,3)和点B(3,0)的切线所围成的区域的面积【分析】利用函数的导数求出切线方程,然后通过定积分求解图形的面积即可【解答】解:y2x+4,k1y(0)4,k2y(3)2,所以过点A(0,3)和点(3,0)的切线方程分别是y4x3和y2x+6,两条切线的交点是,围成的区域被直线x分成了两部分,分别计算再相加,得:S+(2x23x)+(x2+6x),即所求区域的面积是【点评】本题考查函数的导数的应用,切线方程以及定积分的应用,考查计算能力21(12分)已知f(x)ax3+bx2+cx在区间0,1上是增函数,在区间(,0),(1,+

23、)上是减函数,又()求f(x)的解析式;()若在区间0,m(m0)上恒有f(x)x成立,求m的取值范围【分析】()由题意结合导函数与原函数切线的关系得到关于a,b,c的方程组,求解方程组即可确定函数的解析式()结合()中求得的函数解析式结合恒成立的条件整理计算即可求得实数m的取值范围【解答】解:()f(x)3ax2+2bx+c,由已知f(0)f(1)0,即,解得 ,则f(x)3ax23ax,解得:a2,函数的解析式为:f(x)2x3+3x2()令f(x)x,即2x3+3x2x0,则x(2x1)(x1)0,求解不等式可得:或x1,又f(x)x在区间0,m上恒成立【点评】本题考查导函数研究函数的切

24、线方程,导函数研究恒成立问题等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题22(12分)已知函数f(x)alnxax3(1)若f(1)5,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意的t1,2,函数g(x)x3+x2f(x)+在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围【分析】(1)f(1)5,0a35,解得a利用导数研究函数的单调性即可得出(2)由f(x)alnxax3,可得f(x)a由题意可得:f(2)atan451,解得a2可得f(x)+2g(x)x3+x2x3+x22x,g(x)3x3+(m+4)x2g(0)2函数

25、g(x)x3+x2f(x)+在区间(t,3)上总不是单调函数,可得,由题意可知:对于任意的t1,2,g(t)0恒成立利用单调性即可得出【解答】解:(1)f(1)5,0a35,解得a2f(x)2lnx2x3f(x)2,(x0)函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+)(2)f(x)alnxax3,f(x)a由题意可得:f(2)atan451,解得a2f(x)2lnx+2x3f(x)+2g(x)x3+x2f(x)+x3+x2x3+x22x,g(x)3x3+(m+4)x2g(0)2函数g(x)x3+x2f(x)+在区间(t,3)上总不是单调函数,由题意可知:对于任意的t1,2,g(t)0恒成立3t2+(m+4)t20,则(m+4)3t对任意的t1,2成立又3t在t1,2为增函数,则(m+4)61,m9【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题