1、2017-2018学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知z1，z2是复数，以下四个结论正确的是（）若z1+z20，则z10，z20若|z1|+|z2|0，则z10，z20若z1+0，则z10若|z1|z2|，则向量与重合A仅正确B仅正确C正确D仅正确3（5分）曲线yex在点A（0，1）处的切线斜率为（）A1B2CeD4（5分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*11
2、，（ii）（n+1）*1n*1+1，则n*1等于（）AnBn+1Cn1Dn25（5分）用反证法证明命题：“已知a、bN*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除6（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假7（5分）用数学归纳法证明等式1+2+3+（n+3）时，第一步验证n1时，左边应取的项是（）A1B1+2C1+2+3D1+2+3+48（5分）
3、由曲线yx2，y围成的封闭图形的面积为（）ABCD19（5分）已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0，）B，）C（，D，）10（5分）已知zC，且|z|1，则|z22i|（i为虚数单位）的最小值是（）A21B2+1CD211（5分）若函数f（x）x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A0b1Bb1Cb0Db12（5分）用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由nk到nk+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知（1+i）2
4、a+bi（a，bR，i为虚数单位），则a+b 14（5分）函数f（x）x3+ax2+bx+a2在x1时有极值为10，则a+b的值为 15（5分）已知x（0，+）有下列各式：x+2，x+3，x+4成立，观察上面各式，按此规律若x+5，则正数a 16（5分）dxsinxdx 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知mR，复数z（m22m3）+（m21）i（1）实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；（2）实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限18（12分）数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an+1（n1，2，3）证明：（1）数
5、列是等比数列；（2）Sn+14an19（12分）已知a，bR，abe（其中e是自然对数的底数），求证：baab（提示：可考虑用分析法找思路）20（12分）求由抛物线yx2+4x3与它在点A（0，3）和点B（3，0）的切线所围成的区域的面积21（12分）已知f（x）ax3+bx2+cx在区间0，1上是增函数，在区间（，0），（1，+）上是减函数，又（）求f（x）的解析式；（）若在区间0，m（m0）上恒有f（x）x成立，求m的取值范围22（12分）已知函数f（x）alnxax3（1）若f（1）5，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任
6、意的t1，2，函数g（x）x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围2017-2018学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置【解答】解：z+i，复数z在复平面上对应的点位于第一象限故选：A【点评】本题
7、考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具2（5分）已知z1，z2是复数，以下四个结论正确的是（）若z1+z20，则z10，z20若|z1|+|z2|0，则z10，z20若z1+0，则z10若|z1|z2|，则向量与重合A仅正确B仅正确C正确D仅正确【分析】举例说明错误；由|z1|+|z2|0，得|z1|z2|0，从而得到z10，z20，说明正确【解答】解：若z1+z20，则z10，z20，错误，如z11，z21；若|z1|+|z2|0，则|z1|z2|0，z10，z20，故正确；若z1+0，则z10，错误，如z1i，；若|z1|
8、z2|，则向量与重合错误，如z11+i，z21i，满足|z1|z2|，但向量与不重合正确的结论是故选：A【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念，是基础题3（5分）曲线yex在点A（0，1）处的切线斜率为（）A1B2CeD【分析】由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率【解答】解：由yex，得到yex，把x0代入得：y（0）e01，则曲线yex在点A（0，1）处的切线斜率为1故选：A【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题4（5分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1
9、*11，（ii）（n+1）*1n*1+1，则n*1等于（）AnBn+1Cn1Dn2【分析】根据定义中的运算法则，对（n+1）*1n*1+1反复利用，即逐步改变“n”的值，直到得出运算结果【解答】解：1*11，（n+1）*1n*1+1，（n+1）*1n*1+1（n1）*1+1+1（n2）*1+3n（n1）*1+n1+n，n*1n故选：A【点评】本题题型是给出新的运算利用运算性质进行求值，主要抓住运算的本质，改变式子中字母的值再反复运算性质求出值，考查了观察能力和分析、解决问题的能力5（5分）用反证法证明命题：“已知a、bN*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容
10、应为（）Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故选：B【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧6（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（
11、）A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|1|，而1与1不是互为共轭复数，原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题故选：B【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真
12、假关系是解题的关键7（5分）用数学归纳法证明等式1+2+3+（n+3）时，第一步验证n1时，左边应取的项是（）A1B1+2C1+2+3D1+2+3+4【分析】由等式 ，当n1时，n+34，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案【解答】解：在等式 中，当n1时，n+34，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选：D【点评】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误解此类问题时，注意n的取值范围8（5分）由曲线yx2，y围成的封闭图形的
13、面积为（）ABCD1【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线yx2，y围成的封闭图形的面积【解答】解：由曲线yx2，y，联立，因为x0，所以解得x0或x1所以曲线yx2与y所围成的图形的面积S01（x2）dxx3|01故选：B【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题9（5分）已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0，）B，）C（，D，）【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围【解答】解：因为y上的导数为y，ex+ex22，ex+ex+24，
14、y1，0）即tan1，0），0即的取值范围是，）故选：D【点评】本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义属于基础题10（5分）已知zC，且|z|1，则|z22i|（i为虚数单位）的最小值是（）A21B2+1CD2【分析】利用复数|z|1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值利用复数|z|1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值【解答】解：|z|1且zC，作图如图：|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，|z22i|的最小值为：|OP|121故选：A【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档
15、题11（5分）若函数f（x）x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A0b1Bb1Cb0Db【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上令f（x）3x23b0，得x2b，显然b0，x又x（0，1），010b1故选：A【点评】本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题12（5分）用数学归纳法证明不等式“+（n2）”时的过程中，由nk到nk+1时，不等式的左边（）A增加了一项B增加了两项C增加了两项，又减少了一项D增加了一项，又减少了一项【分析】本题考查的知识点是
16、数学归纳法，观察不等式“+（n2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由nk到nk+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论【解答】解：，故选：C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知（1+i）2a+bi（a，bR，i为虚数单位），则a+b2【分析】通过题意直接计算
17、即可【解答】解：（1+i）21+2i+i22i，（1+i）2a+bi（a，bR，i为虚数单位），a+b2，故答案为：2【点评】本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题14（5分）函数f（x）x3+ax2+bx+a2在x1时有极值为10，则a+b的值为7【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x1时有极值10可得 ，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可【解答】解：对函数f（x）求导得 f（x）3x2+2ax+b，又在x1时f（x）有极值10，解得 或 ，验证知，当a3，b3时，在x1无极值，故 a+b的值7故答案为：7【点评】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求
18、参数的能力15（5分）已知x（0，+）有下列各式：x+2，x+3，x+4成立，观察上面各式，按此规律若x+5，则正数a44【分析】由已知中的不等式，归纳推理得：x+n+1，进而根据n+15，求出n值，进而得到a值【解答】解：由已知中：x（0，+）时，x+2，x+3，x+4归纳推理得：x+n+1，若x+5，则n+15，即n4，此时ann44，故答案为44【点评】本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知归纳推理得：x+n+1，是解答的关键16（5分）dxsinxdx【分析】由定积分的几何意义求得dx，直接求定积分得到sinxdx，则答案可求【解答】解：求dxsinxdx由定积分的几何意义可知，dx
19、是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于sinxdxdxsinxdx故答案为：【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知mR，复数z（m22m3）+（m21）i（1）实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；（2）实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限【分析】（1）由虚部为0求得使z为实数的m值，再由实部为0且虚部不为0求得使z为纯虚数的m值；（2）由实部与虚部均小于0求解【解答】解：（1）当m210，即m1时，复数z（m22m3）+（m21）i为实数；当，即
20、m3时，复数z（m22m3）+（m21）i是纯虚数；（2）由题意，解得1m1当m（1，1）时，复数z对应的点在第三象限【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题18（12分）数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an+1（n1，2，3）证明：（1）数列是等比数列；（2）Sn+14an【分析】（1）由已知条件an+1（n1，2，3）、an+1Sn+1Sn推导出2（2）利用（1）中等比数列的公比为2得到：4，由此推得结论【解答】证明：（1）由an+1（n1，2，3），an+1Sn+1Sn得SnSn+1Sn，Sn+1Sn，2，数列是等比数列；（2）由（1）知，数列的
21、公比是2，则4，Sn+14an【点评】本题考查等比数列的通项公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用19（12分）已知a，bR，abe（其中e是自然对数的底数），求证：baab（提示：可考虑用分析法找思路）【分析】要证：baab只要证：alnbblna只要证构造函数f（x），利用函数的单调性即可证明【解答】证明：ba0，ab0，要证：baab只要证：alnbblna，只要证（abe），设f（x），f（x），当xe时，f（x）0，函数f（x）在（e，+）上是单调递减当abe时，有f（b）f（a），即，baab【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的
22、证明，属于中档题20（12分）求由抛物线yx2+4x3与它在点A（0，3）和点B（3，0）的切线所围成的区域的面积【分析】利用函数的导数求出切线方程，然后通过定积分求解图形的面积即可【解答】解：y2x+4，k1y（0）4，k2y（3）2，所以过点A（0，3）和点（3，0）的切线方程分别是y4x3和y2x+6，两条切线的交点是，围成的区域被直线x分成了两部分，分别计算再相加，得：S+（2x23x）+（x2+6x），即所求区域的面积是【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及定积分的应用，考查计算能力21（12分）已知f（x）ax3+bx2+cx在区间0，1上是增函数，在区间（，0），（1，+
23、）上是减函数，又（）求f（x）的解析式；（）若在区间0，m（m0）上恒有f（x）x成立，求m的取值范围【分析】（）由题意结合导函数与原函数切线的关系得到关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式（）结合（）中求得的函数解析式结合恒成立的条件整理计算即可求得实数m的取值范围【解答】解：（）f（x）3ax2+2bx+c，由已知f（0）f（1）0，即，解得 ，则f（x）3ax23ax，解得：a2，函数的解析式为：f（x）2x3+3x2（）令f（x）x，即2x3+3x2x0，则x（2x1）（x1）0，求解不等式可得：或x1，又f（x）x在区间0，m上恒成立【点评】本题考查导函数研究函数的切
24、线方程，导函数研究恒成立问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题22（12分）已知函数f（x）alnxax3（1）若f（1）5，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g（x）x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围【分析】（1）f（1）5，0a35，解得a利用导数研究函数的单调性即可得出（2）由f（x）alnxax3，可得f（x）a由题意可得：f（2）atan451，解得a2可得f（x）+2g（x）x3+x2x3+x22x，g（x）3x3+（m+4）x2g（0）2函数
25、g（x）x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，可得，由题意可知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立利用单调性即可得出【解答】解：（1）f（1）5，0a35，解得a2f（x）2lnx2x3f（x）2，（x0）函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）（2）f（x）alnxax3，f（x）a由题意可得：f（2）atan451，解得a2f（x）2lnx+2x3f（x）+2g（x）x3+x2f（x）+x3+x2x3+x22x，g（x）3x3+（m+4）x2g（0）2函数g（x）x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，由题意可知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立3t2+（m+4）t20，则（m+4）3t对任意的t1，2成立又3t在t1，2为增函数，则（m+4）61，m9【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题