1、2017-2018学年陕西省渭南市澄城县高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求）1（4分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3B2C1D2（4分）若复数z满足2z+32i，其中i为虚数单位，则z（）A1+2iB12iC1+2iD12i3（4分）一物体在变力F（x）5x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时F（x）作的功为（）A1JBJCJD2J4（4分）设曲线在点（）处的切线与直线xay+10平行，则实数a等于（）A1BC2D25（4分）若
2、复数z满足（34i）z|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D6（4分）直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2B4C2D47（4分）函数f（x）x2lnx的递减区间为（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）8（4分）已知f（x）1+xsinx，则f（2），f（3），f（）的大小关系正确的是（）Af（2）f（3）f（）Bf（3）f（2）f（）Cf（2）f（）f（3）Df（）f（3）f（2）9（4分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B
3、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）10（4分）已知函数f（x）xlnx，若直线l过点（0，1），并且与曲线yf（x）相切，则直线l的方程为（）Ax+y10Bxy10Cx+y+10Dxy+1011（4分）设动直线xm与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（）ABC1+ln2Dln2112（4分）如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依次规律A（8，2）为（）ABCD二、填空题（共4个小题，每小题4分，共分16分.答案填在题中横线上）13（4
4、分）曲线ylog2x在点（1，0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 14（4分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为 15（4分）已知函数f（x）x3x2x+m在0，1上的最小值为，则实数m的值为 16（4分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 三、解答题（6个大题，共56分.解答应有必要的过程
5、）17（9分）设函数f（x）lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x（1，+）时，118（9分）已知函数f（x）alnxbx2，若函数f（x）的图象在x1处与直线y相切（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在，e上的最大值19（9分）已知aR，函数f（x）+lnx1求当0ae时f（x）在区间（0，e上的最小值20（9分）已知二次函数f（x）ax2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）0，且0xc时，f（x）0（1）证明：是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明c21（10分）已知函数f（x）lnxax（aR）求函数f（x）的单调区间；22（10分）先
6、阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1+a21，求证：a12+a22；证明：构造函数f（x）（xa1）2+（xa2）2，f（x）2x22（a1+a2）x+a12+a222x22x+a12+a22，因为对一切xR，恒有f（x）0，所以48（a12+a22）0，从而a12+a22（1）已知a1，a2，anR，a1+a2+an1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若+1，求x+y+z的最大值2017-2018学年陕西省渭南市澄城县高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分.在每小题给出的
7、四个选项中，只有一项是符合题目的要求）1（4分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3B2C1D【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）曲线的一条切线的斜率为，y，解得x03或x02（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选：A【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域比如，该题的定义域为x02（4分）若复数z满足2z+32i，其中i为虚数单位，则z（）A1+2iB12iC1+2iD12i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可【解答】解：复数z满足2z+32i，设za+
8、bi，可得：2a+2bi+abi32i解得a1，b2z12i故选：B【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3（4分）一物体在变力F（x）5x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时F（x）作的功为（）A1JBJCJD2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移力”只要求W12（5x2）cos30dx，进而计算可得答案【解答】解：由于F（x）与位移方向成30角如图：F在位移方向上的分力FFcos30，W12（5x2）cos30dx12（5x2）dx（5xx3）|12故选：C【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合
9、的思想方法，属于基础题4（4分）设曲线在点（）处的切线与直线xay+10平行，则实数a等于（）A1BC2D2【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得【解答】解：切线与直线xay+10平行，斜率为，又y'，所以切线斜率kf（）1，所以xay+10的斜率为1，即1，解得a1故选：A【点评】此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题5（4分）若复数z满足（34i）z|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D【分析】由题意可得 z，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部【解
10、答】解：复数z满足（34i）z|4+3i|，z+i，故z的虚部等于，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题6（4分）直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2B4C2D4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线yx3与直线y4x在第一象限所围成的图形的面积是（4xx3）dx，而（4xx3）dx（2x2x4）844，曲边梯形的面积是4，故选：D【点评】考
11、查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题7（4分）函数f（x）x2lnx的递减区间为（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）x，令f（x）0，解得：0x1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题8（4分）已知f（x）1+xsinx，则f（2），f（3），f（）的大小关系正确的是（）Af（2）f（3）f（）Bf（3）f（2）f（）Cf（2）f（）f（
12、3）Df（）f（3）f（2）【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，进行比较大小即可【解答】解：f（x）1+xsinx，函数的导数f（x）1cosx0，则函数f（x）为增函数，23，f（）f（3）f（2），故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件求函数导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键9（4分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D函数f（x）有极大值f（
13、2）和极小值f（2）【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值【解答】解：由函数的图象可知，f（2）0，f（2）0，并且当x2时，f（x）0，当2x1，f（x）0，函数f（x）有极大值f（2）又当1x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，故函数f（x）有极小值f（2）故选：D【点评】本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用10（4分）已知函数f（x）xlnx，若直线l过点（0，1），并且与曲线yf（x）相切，则直线l的方程为（）Ax+y10Bxy10Cx+y+10Dxy+10【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何
14、意义即可得到结论【解答】解：f（x）xlnx，函数的导数为f（x）1+lnx，设切点坐标为（x0，x0lnx0），f（x）xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为yx0lnx0（lnx0+1）（xx0），切线l过点（0，1），1x0lnx0（lnx0+1）（x0），解得x01，直线l的方程为：yx1即直线方程为xy10，故选：B【点评】本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键11（4分）设动直线xm与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（）ABC1+ln2Dln21【分析】将两个函数作差，得到函数yf（x）g（x），再求此函数的最小值
15、，即可得到结论【解答】解：设函数yf（x）g（x）x2lnx（x0），求导数得y2x（x0）令y0，x0，0x函数在（0，）上为单调减函数，令y0，x0，x函数在（，+）上为单调增函数，x时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：ln故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值：故选：A【点评】本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题12（4分）如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依次规律A（8，2）为（）ABCD【分析】由题意，第8行的分母为45，122，225，298，298，225，122，45，即可得到所求【解答】解：由题
16、意，第8行的分母为45，122，225，298，298，225，122，45，故选：C【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础二、填空题（共4个小题，每小题4分，共分16分.答案填在题中横线上）13（4分）曲线ylog2x在点（1，0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于【分析】求导函数，可得切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程【解答】解：ylog2x，y，x1时，y，y0，曲线ylog2x在点x1处的切线方程为y（x1），即xyln210令x0，可得y，令y0，可得x1，三角形的面积等于1故答案为：【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，
17、属于基础题14（4分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为40【分析】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果【解答】解：由题设知y'x239x40，令y'0，解得x40，或x1，故函数在40，+）上增，在（0，40上减，当x40，y取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40【点评】考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型15（4分）已知函数f（x）x3x2x+m在0，1上的最小值为，则实数m的值为2【
18、分析】求出函数的导数，通过求解极值点，端点的函数求出最小值，然后求解m即可【解答】解：函数f（x）x3x2x+m，可得f（x）x22x1令x22x10，可得x1，x（1，1+）时，f（x）0，函数是减函数，x1时函数取得最小值：可得：，解得m2故答案为：2【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力16（4分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3【分析】可先根据丙的
19、说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是1和3故答案为：1和3【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口三、解
20、答题（6个大题，共56分.解答应有必要的过程）17（9分）设函数f（x）lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x（1，+）时，1【分析】（1）求出函数的定义域，求出导函数f（x）1，令f（x）0，解得x1通过当0x1时，当x1时，判断导函数的符号，判断函数的单调性（2）由（1）知，f（x）在x1处取得最大值，最大值为f（1）0转化求解即可【解答】解：（1）由题设，f（x）的定义域为（0，+），f（x）1，令f（x）0，解得x1当0x1时，f（x）0，f（x）是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）是减函数 （5分）（2）证明由（1）知，
21、f（x）在x1处取得最大值，最大值为f（1）0所以当x1时，ln xx1故当x（1，+）时，ln xx1，故1 （9分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力18（9分）已知函数f（x）alnxbx2，若函数f（x）的图象在x1处与直线y相切（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在，e上的最大值【分析】（）求出原函数的
22、导函数，得到f（1），由f（1）0且f（1），列方程组求得实数a，b的值；（）由（）求得函数f（x）的解析式，然后利用导数求函数在，e上的最大值【解答】解：（）由f（x）alnxbx2，得f（x）2bx，f（1）a2b，则，解得a1，b；（）由（）知，f（x）lnxx2f（x）x（x0）当x（，1）时，f（x）0，当x（1，e）时，f（x）0f（x）在（，1）上为增函数，在（1，e）上为减函数，则f（x）maxf（1）【点评】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题19（9分）已知aR，函数f（x）+lnx1求当0ae时f（x）在区间（0，e上
23、的最小值【分析】求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可【解答】解：因为f（x）+lnx1，所以f（x）+，x（0，e （2分）令f（x）0，得xa由0ae，则当x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，a）上是减少的；当x（a，e时，f（x）0，函数f（x）在区间（a，e上是增加的，（7分）所以当xa时，函数f（x）取得最小值lna； （9分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查计算能力20（9分）已知二次函
24、数f（x）ax2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）0，且0xc时，f（x）0（1）证明：是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明c【分析】（1）由题意得c、是方程f（x）0的两个根，（2）欲比较 c，利用反证法去证明c不可能，从而得到 c；【解答】证明：（1）f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）0有两个不等实根x1，x2，f（c）0，x1c是f（x）0的根，又x1x2，x2（c），是f（x）0的一个根即是函数f（x）的一个零点（2）假设c，又0，由0xc时，f（x）0，知f（）0，与f（）0矛盾，c，又c，c【点评】本题主要考查不等式的证明，有些不等式无
25、法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法反证法去证明，即通过否定原结论导出矛盾从而达到肯定原结论的目的21（10分）已知函数f（x）lnxax（aR）求函数f（x）的单调区间；【分析】求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间【解答】解：f（x）a （x0），当a0时，f（x）a0，即函数f（x）的递增区间为（0，+）当a0时，令f（x）a0，可得x，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0，故函数f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+），综上可知，当a0时，函数f（x）的递增区间为（0，+）；当a0时，函数f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（
26、，+）【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用函数单调性和导数之间的关系，即可得到结论，注意要对参数进行讨论22（10分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1+a21，求证：a12+a22；证明：构造函数f（x）（xa1）2+（xa2）2，f（x）2x22（a1+a2）x+a12+a222x22x+a12+a22，因为对一切xR，恒有f（x）0，所以48（a12+a22）0，从而a12+a22（1）已知a1，a2，anR，a1+a2+an1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若+1，求x+y+z的最大值【分析】（1）由已
27、知中已知a1，a2R，a1+a21，求证a12+a22及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，anR，a1+a2+an1，则a12+a22+an2；（2）观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明；（3）由（2）知，a1+a2+a31，a12+a22+a32，令a1+，a2，a3，则1x+2y+3z，即可求出x+y+z的最大值【解答】解：（1）若a1，a2，anR，a1+a2+an1，求证：a12+a22+an2（2）证明：构造函数f（x）（xa1）2+（xa2）2+（xan）2nx22（a1+a2+an）x+a12+a22+an2nx22x+a12+a22+an2因为对一切xR，都有f（x）0，所以44n（a12+a22+an2）0从而证得：a12+a22+an2；（3）由（2）知，a1+a2+a31，a12+a22+a32，令a1，a2，a3，则1x+2y+3z，x+y+z，当且仅当x，y，z时，x+y+z的最大值为【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）（3）对归纳得到的一般性结论进行证明