1、2017-2018学年陕西省西安市铁一中高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题12个小题，每小题4分，满分48分请将每小题唯一正确答案前的代码在答题卡上涂黑）1（4分）若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A6B6C5D42（4分）4名学生选修3门不同的课程，每个学生只能选修其中的一门，则不同的选修方法有（）A4种B24种C64种D81种3（4分）已知函数f（x），则f（x）dx（）AB1C2D4（4分）对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）ABCD5（4分）在ABC中，AB3，AC2，BC
2、，则（）ABCD6（4分）已知随机变量服从正态分布，P（4）0.84，则P（0）（）A0.16B0.32C0.68D0.847（4分）若（12x）2014a0+a1x+a2x2+a2014x2014（xR），则+的值为（）A2B0C1D28（4分）图中，阴影部分是由直线yx4和抛物线y22x所围成，则其面积是（）A16B18C20D229（4分）某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（）A150B240C360D54010（4分）已知三个正实数a、b、c满足a+b+c1，给出以下几个结论：；则正确的结
3、论个数为（）A1B2C3D411（4分）某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）A48B54C72D8412（4分）已知函数f（x）2x2+（4m）x+4m，g（x）mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A4，4B（4，4）C（，4）D（，4）二、填空题（本题4个小题，每小题4分，满分16分请将正确答案填在答题卡的相应位置）13（4分）若复数z1+i+i2+i2017，则
4、 （表示复数z的共轭）14（4分）已知随机变量X的分布列为：X101Pa随机变量Y2X+1，则X的数学期望EX ；Y的方差DY 15（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角为60；其中正确结论是 （写出所有正确结论的序号）16（4分）已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置 门高炮？（用数字作答，已知lg20.3010，lg30.4771）三
5、、解答题（本题6个小题，满分56分，解答时写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）已知在的展开式中，第6项为常数项（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式中所有的有理项18（10分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为
6、茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率；（2）以这15天的PM2.5日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级19（10分）已知数列an满足a11，（nN*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论20（8分）在2016年8月巴西里约热内卢举办的第31届奥运会上，乒乓球比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如表：出场顺序1号2号3
7、号4号5号获胜概率pq若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为（1）求p，q的值；（2）求甲队获胜场数的分布列和数学期望21（10分）已知椭圆C：（ab0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形（）求椭圆C的方程；（）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1（）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；（）求OA1B面积的取值范围22（10分）已知函数f（x）lnxax2+x（a0），其导函数为f'（x）（1）当f'（x）f'（2），求yf（x）图象在x1处的切
8、线方程；（2）设f（x）在定义域上是单调函数，求a得取值范围；（3）若f（x）的极大值和极小值分别为m、n，证明：m+n32ln22017-2018学年陕西省西安市铁一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题12个小题，每小题4分，满分48分请将每小题唯一正确答案前的代码在答题卡上涂黑）1（4分）若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A6B6C5D4【分析】先将 化简为代数形式，再根据纯虚数的概念，令其实部为0，虚部不为0，求出a值【解答】解：i根据纯虚数的概念得出解得a6故选：A【点评】本题考查复数的除法运算，复数的分类，纯虚数的概念属于基础题2（4分）4
9、名学生选修3门不同的课程，每个学生只能选修其中的一门，则不同的选修方法有（）A4种B24种C64种D81种【分析】根据题意，每个学生选修一门课程，每人都有3种选法，由分步乘法原理即可求解【解答】解：根据题意，4名学生选修3门不同的课程，且每个学生只能选修其中的一门，每人都有3种选法，则四人一共有333381种选法；故选：D【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意没有要求每一门课程都有人选修，属于基础题3（4分）已知函数f（x），则f（x）dx（）AB1C2D【分析】由题意得到f（x）dx（x+1）dx+cosxdx，解得即可【解答】解：f（x），则f（x）dx（x+1）dx+cosxdx（x2
10、+x）+（1）+sinsin0+1，故选：A【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题4（4分）对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）ABCD【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则事件A和事件B相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：P（B|A）故选：D【点评】本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用
11、5（4分）在ABC中，AB3，AC2，BC，则（）ABCD【分析】在三角形中以两边为向量，求两向量的数量积，夹角不知，所以要先用余弦定理求三角形一个内角的余弦，再用数量积的定义来求出结果【解答】解：由余弦定理得cosA，故选：D【点评】由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系，所以本题能考虑到需要先求向量夹角的余弦值，有时数量积用坐标形式来表达6（4分）已知随机变量服从正态分布，P（4）0.84，则P（0）（）A0.16B0.32C0.68D0.84【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴2，根据正态曲线的特点，即
12、可得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，2），2，P（4）0.84，P（4）10.840.16，P（0）P（4）1P（4）0.16，故选：A【点评】本题考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布7（4分）若（12x）2014a0+a1x+a2x2+a2014x2014（xR），则+的值为（）A2B0C1D2【分析】先令x0，求出a0，再令x，得到恒等式，移项即可得到所求的值【解答】解：由题意，令x0时，则a01，令x时，则a0+a1（）+a2（）2+a2014（）2014（12）20140，+的
13、值为0a01故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的运用，考查解决的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键8（4分）图中，阴影部分是由直线yx4和抛物线y22x所围成，则其面积是（）A16B18C20D22【分析】联立方程组可得交点的坐标，由定积分的意义可求【解答】解：由，解得y2或y4，故其面积S（y+4y2）dy（y2+4yy3）18，故选：B【点评】本题考查定积分求面积，属基础题9（4分）某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（）A150B240C360D540【分析】根据题意，分两类，2步
14、进行分析，将5队分为3、1、1；2、2、1的三组，再将分好的3组对应3个演习点，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则可将5队分为3、1、1的三组，有10种分组方法，将分好的3组对应对应3个演习点，有A336种方法，共有10660种分配方案；将5队分为2、2、1的三组，有15种分组方法，将分好的3组对应对应3个演习点，有A336种方法，共有15690种分配方案；故共有60+90150种分配方案故选：A【点评】本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个演习点至少安排1个消防队”的要求，
15、明确要将将5个队分为3、1、1；2、2、1的三组10（4分）已知三个正实数a、b、c满足a+b+c1，给出以下几个结论：；则正确的结论个数为（）A1B2C3D4【分析】，由a2+b2+c2ab+bc+ac，可得a2+b2+c2，由（a+b+c）2a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），得ab+bc+ac由，由柯西不等式得，即可【解答】解：，a2+b2+c2ab+bc+ac，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3（a2+b2+c2）a2+b2+c2，故不正确，由（a+b+c）2a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）3（ab+bc+ac），故正确，故正确，由柯西不等式得，则
16、正确故选：C【点评】本题考查了不等式的证明，属于中档题11（4分）某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）A48B54C72D84【分析】根据题意，分2步进行分析：，先将3名乘客全排列，3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，再在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，先将3名乘客全排列，有A336种情况，3名乘客排好后，有
17、4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，则恰好有2个连续空座位的候车方式有64372种；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题12（4分）已知函数f（x）2x2+（4m）x+4m，g（x）mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A4，4B（4，4）C（，4）D（，4）【分析】对函数f（x）判断m2160时一定成立，可排除D，再对特殊值m4和4进行讨论可得答案【解答】解：当m2160时，即4m4，显然成立，排除D当m4，f（0）g（
18、0）0时，显然不成立，排除A；当m4，f（x）2（x+2）2，g（x）4x显然成立，排除B；故选：C【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式二、填空题（本题4个小题，每小题4分，满分16分请将正确答案填在答题卡的相应位置）13（4分）若复数z1+i+i2+i2017，则（表示复数z的共轭）【分析】根据虚数单位i的性质：当nN时，i4n1，i4n+1i，i4n+21，i4n+3i，计算求出z，再求出，然后利用复数模的公式计算得答案【解答】解：根据虚数单位i的性质：当nN时，i4n1，i4n+1i，i4n+21，i4n+3i，z1+i+i
19、2+i3+i4+i20171+（i+i2+i3+i4）+（i2013+i2014+i2015+i2016）+i20171+0+0+i1+i，则故答案为：【点评】本题考查虚数单位i的性质，考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题14（4分）已知随机变量X的分布列为：X101Pa随机变量Y2X+1，则X的数学期望EX；Y的方差DY【分析】由随机变量X的分布列得求出a，从而求出E（X），D（X），再由随机变量Y2X+1，能求出X的数学期望和Y的方差【解答】解：由随机变量X的分布列得：1，解得a，E（X）1+0+1，D（X）+（0+）2+（1）2，随机变量Y2X+1，X的数学期望E
20、X；Y的方差DY4D（Y）故答案为：，【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题15（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角为60；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论【解答】解：作出如图的图象，其中ABDC90，E是BD的中点，可以证明出AED90即为此直二面角的平面角对于命题，由于BD面AEC，故
21、ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题AB与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知是正确的故答案为【点评】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法综合性较强，对空
22、间立体感要求较高16（4分）已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置11门高炮？（用数字作答，已知lg20.3010，lg30.4771）【分析】设需要至少布置n门高炮，则1（10.2）n0.9，由此能求出结果【解答】解：设需要至少布置n门高炮，某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，1（10.2）n0.9，解得n10.3，nN，需要至少布置11门高炮故答案为：11【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考
23、查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题（本题6个小题，满分56分，解答时写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）已知在的展开式中，第6项为常数项（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式中所有的有理项【分析】（1）在二项展开式的第六项的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n的值（2）在二项展开式中，令x1，可得展开式的所有项的系数之和（3）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0整数，求出r的值，即可求得展开式中所有的有理项【解答】解：（1）在的展开式中，第6项为T6 为常数项，0，n10（2）在的展开式中，令x1，可得展开式的所有项的系数
24、之和为（3）二项式的展开式的通项公式为Tr+1，令为整数，可得r2，5，8，故有理项分别为T3x2x2，T6（）x0；T9x2x2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题18（10分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图
25、所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率；（2）以这15天的PM2.5日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级【分析】（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，PM2.5日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，由此能求出从这15天的数据中任取3天的数据，至少有一天空气质量达到一级的概率（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P，一年中空气质量达到一级的天数为，则B（360，），由此能求出一年中大致有多少天的空气质量达到一级【解答】解：（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，
26、PM2.5日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，从这15天的数据中任取3天的数据，则至少有一天空气质量达到一级的概率为：p+（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P，一年中空气质量达到一级的天数为，则B（360，），E360120（天），一年中平均有120天的空气质量达到一级【点评】本题考查等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（10分）已知数列an满足a11，（nN*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论【分析】（1）由an+1与an的关系，我们从
27、n1依次代入整数值，即可求出a2，a3，a4；（2）由a1，a2，a3的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明【解答】解：（1）a11，a2，（2）由a2，a3，a4的值，可猜想an，证明：当n1时，由a11得结论成立；假设nk（kN*）时结论成立，即ak当nk+1时，当nk+1时结论成立由可知，an对任意正整数n都成立【点评】本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想20（8分）在2016年8月巴西里约热内卢举办的第31届奥运会上，乒乓球比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一
28、方获胜三场比赛即结束甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如表：出场顺序1号2号3号4号5号获胜概率pq若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为（1）求p，q的值；（2）求甲队获胜场数的分布列和数学期望【分析】（1）利用甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为，建立方程组，即可求p，q的值；（2）求得甲队获胜场数的可能取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望【解答】解：（1）由题意，解得pq（）设甲队获胜场数为，则的可取的值为0，1，2，3P（0）（）3，P（1），
29、P（2），P（3）（）3+，的分布列为 0 1 23 P E0【点评】本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题21（10分）已知椭圆C：（ab0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形（）求椭圆C的方程；（）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1（）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；（）求OA1B面积的取值范围【分析】（）根据焦点坐标求得c，根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形求得a和c的关系式，进而求得a和b，则椭圆的方程可得（）（i）设出
30、直线l的方程，与椭圆方程联立消去x，设出A，B的坐标，则可利用韦达定理求得y1y2和y1+y2的表达式，根据A点坐标求得关于x轴对称的点A1的坐标，设出定点，利用TB和TA1的斜率相等求得t（ii）由（i）中判别式0求得m的范围，表示出三角形OA1BD面积，利用m的范围，求得m的最大值，继而求得三角形面积的范围【解答】解：（）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c1因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形所以，解得a2，b所以椭圆的标准方程为（）（i）设直线l：xmy+4与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+360记，由A关于x轴的对称点为A1，得A1（x1，y1），根
31、据题设条件设定点为T（t，0），得，即所以即定点T（1，0）（ii）由（i）中判别式0，解得|m|2可知直线A1B过定点T（1，0）所以|OT|y2（y1）|，得，令t|m|记，得，当t2时，（t）0在（2，+）上为增函数所以，得故OA1B的面积取值范围是【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力22（10分）已知函数f（x）lnxax2+x（a0），其导函数为f'（x）（1）当f'（x）f'（2），求yf（x）图象在x1处的切线方程；（2）设f（x）在定义域上是单调函数，求a得取值范围；（3）若f（x）
32、的极大值和极小值分别为m、n，证明：m+n32ln2【分析】（1）先求导数，由f（1）f（2），即可得到a的值可求出f（1），进而得到函数函数f（x）的解析式，得到f（1），则函数在x1处的切线的方程可求出；（2）f（x）在定义域上是单调函数，可得f'（x）0或f'（x）0恒成立，分离参数，构造函数，求出函数的最值即可，（3）先设x1，x2为方程f（x）0的两个实数根，由韦达定理得到，由于f（x）的极大值和极小值分别为m，n，可求出参数a的范围，将m+nf（x1）+f（x2），进而求出m+n32ln2，即得证【解答】解：（1）f（x）lnxax2+x（a0），f'（x）
33、2ax+1，f（1）f（2），2a，即a，f（x）lnxx2+x，f（1），f（1），f（x）图象在x1处的切线的方程为y（x1），即2x+4y50；（2）f（x）在定义域上是单调函数，f'（x）0或f'（x）0恒成立，即2a或2a，设h（x），h（x），当0x2时，h（x）0，函数h（x）单调递增，当x2时，h（x）0，函数h（x）单调递减，h（x）maxh（2），2a，a；（3）设x1，x2为方程f（x）0的两个实数根，则x1+x2，x1x2由题意，得，解得0a；则m+nf（x1）+f（x2）lnx1ax12+x1lnx2ax22+x2lnx1x2a（x1+x2）22x1x2+x1+x2lna+ln2+1，令g（a）lna+ln2+1，则g（a），故当0a时，g（a）0，g（a）是减函数，则g（a）g（），即m+n32ln2【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于难题