1、2017-2018学年陕西省安康市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ax|x25x140，Bx|3x3，则图中阴影部分表示的集合为（）A（3，2B（2，3C（2，3D3，7）2（5分）已知复数z满足iz1i，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知向量，若与垂直，则（）A2B3CD4（5分）若x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为（）A2B1C2D45（5分）下列命题正确的是（）A若bc，则a2ba2cB“x1”
2、是“x23x40”的必要不充分条件C命题“pq”、“pq”、“p”中至少有一个为假命题D“若a2+b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b20”6（5分）已知，是两个不同的平面，m，n是异面直线且mn，则下列条件能推出的是（）Am，nBm，nCm，nDm，n7（5分）曲线yeaxcosx在x0处的切线与直线x+2y0垂直，则a（）A2B1C1D28（5分）执行如图所示程序框图，输出的S的值为（）ABC3D49（5分）设，则（）AabcBbacCcabDcba10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC3D11（5分）为得到函数的图象，只需将函数图
3、象上所有的点（）A横坐标缩短到原来的倍B横坐标伸长到原来的倍C横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位D横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位12（5分）过抛物线E：y22px（p0）的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交E于A，C两点，直线l2交E于B，D两点，若四边形ABCD面积的最小值为64，则p的值为（）AB4CD8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）展开式中x5的系数为 14（5分）已知双曲线的焦距为，则其离心率为 15（5分）在区间2，2上随机取一个数b，若使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为，则a
4、16（5分）用五种不同的颜色给图中A、B、C、D、E、F六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法 种三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，a2b，（1）求sinB的值；（2）若ABC的面积为，求c的值18（12分）已知数列an的前n项和Sn（）求数列an的通项公式；（）设bnlog3a2n1，nN*，求数列的前n项和Tn19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PAB为正三角形，ABCD为正方形，平面PAB平面ABCD，E、F分别为AC、BP中点（1）证明：EF平
5、面PCD；（2）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值20（12分）某企业有A、B两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如表：A岗位B岗位总计女生12820男生245680总计3664100（1）根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投B岗位的人数为X，求X的分布列和数学期望参考公式：，其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.0500.0250.010k03.8415.0246.63521（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线交C于A、B两点，O为坐
6、标原点，求OAB面积的最大值22（12分）设函数f（x）x2ax+2+lnx（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a3时，f（x）在en，+）（nZ）上存在两个零点，求n的最大值2017-2018学年陕西省安康市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ax|x25x140，Bx|3x3，则图中阴影部分表示的集合为（）A（3，2B（2，3C（2，3D3，7）【分析】先分别求出集合A，B，UB，图中阴影部分表示的集合为A（UB），
7、由此能求出结果【解答】解：全集UR，集合Ax|x25x140x|2x7，Bx|3x3，UBx|x3或x3，图中阴影部分表示的集合为：A（UB）x|3x73，7）故选：D【点评】本题考查集合的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）已知复数z满足iz1i，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：iz1i，z，则复数在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意
8、义，是基础题3（5分）已知向量，若与垂直，则（）A2B3CD【分析】先求出（4，x），再由与垂直，得x28，由此能求出【解答】解：向量，（4，x），与垂直，（）4+x22（2+x2）0，解得x28，3故选：B【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）若x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为（）A2B1C2D4【分析】先画出满足条件的平面区域，通过解方程求出B点的坐标，根据zx2y变形为yxz，通过图象显然，直线过A时，z最大，求出即可【解答】解：作出x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得：A（2，
9、0），由zx2y得：yxz，显然，直线过A（2，0）时，z最大，z的最大值是2，故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题5（5分）下列命题正确的是（）A若bc，则a2ba2cB“x1”是“x23x40”的必要不充分条件C命题“pq”、“pq”、“p”中至少有一个为假命题D“若a2+b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b20”【分析】由a0，bc，即可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义，可判断B；讨论p真或假，结合复合命题的真假，即可判断C；由命题的逆否命题形式，可判断D【解答】解：对于A，若bc，a0，则a2ba2c，故
10、A错；对于B，x23x40，可得x1或x4，则“x1”是“x23x40”的充分不必要条件，故B错；对于C，命题“pq”、“pq”、“p”中若P真，p为假，若p假，则pq为假，即三个复合命题中至少有一个为假，故C正确；对于D，“若a2+b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b20”，故D错故选：C【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和复合命题的真假、四种命题的形式，考查判断能力和推理能力，属于基础题6（5分）已知，是两个不同的平面，m，n是异面直线且mn，则下列条件能推出的是（）Am，nBm，nCm，nDm，n【分析】在A中，与相交或平行；在B中，与
11、相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得【解答】解：由，是两个不同的平面，m，n是异面直线且mn，知：在A中，m，n，则与相交或平行，故A错误；在B中，m，n，则与相交或平行，故B错误；在C中，m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，m，n，由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题7（5分）曲线yeaxcosx在x0处的切线与直线x+2y0垂直，则a（）A2B1C1D2【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之
12、即可【解答】解：yeaxcosx，y（acosxsinx）eax曲线yeaxcosx在x0处的斜率为a，曲线yeaxcosx在x0处的切线与直线x+2y0垂直，a1，即a2故选：D【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题8（5分）执行如图所示程序框图，输出的S的值为（）ABC3D4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量Slog32log43log87故选：B【点评】
13、本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9（5分）设，则（）AabcBbacCcabDcba【分析】分别计算a，b，c与的关系，即可比较【解答】解：，（xx3），lne，则abc，故选：D【点评】本题考查了不等式的比较和定积分的计算，属于基础题10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC3D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的一部分，如图：多面体ABCDEF，正方体的棱长为2，所以几何体是体积为：故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何
14、体的形状是解题的关键11（5分）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A横坐标缩短到原来的倍B横坐标伸长到原来的倍C横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位D横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位【分析】利用诱导公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数cos（3x）sin（3x+），将函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，可得g（x）的图象，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题12（5分）过抛物线E：y22px（p0）的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交E于A，C两点，直线l2交E于B，D两点，
15、若四边形ABCD面积的最小值为64，则p的值为（）AB4CD8【分析】方法一：设直线l1的倾斜角为，则|AC|，|BD|，即可求出S四边形ABCD，根据三角函数的性质即可求出最小值，方法二：设l1：xky+，设l2：xy+，设A（x1，y1），C（x2，y2），根据韦达定理和抛物线的性质可得|AC|2p（k2+1），同理可得|BD|2p（+1），根据面积公式和基本不等式即可求出最小值，则p可求出【解答】解：方法一：设直线l1的倾斜角为，则|AC|，|BD|，S四边形ABCD|AB|CD|，当2时，S取的最小值8p2，8p264，解得p2，方法二：设l1：xky+，设l2：xy+，设A（x1，y
16、1），C（x2，y2）由，消x可得y22pky2p20，y1+y22pk，x1+x2k（y1+y2）+p2pk2+p，|AC|x1+x2+p2pk2+2p2p（k2+1），同理可得|BD|2p（+1），S四边形ABCD|AB|CD|2p2（k2+1）（+1）2p2（2+k2+）2p2（2+2）8p2，当且仅当k1时取等号，8p264，解得p2，故选：A【点评】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）展开式中x5的系数为28【分析】由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数，先写出二项式的
17、通项，使得变量x的指数等于5，解出r的值，把r的值代入通项得到这一项的系数【解答】解：Tr+1C8rx8r，要求x5的系数，85，r2，x5的系数是（1）2C8228，故答案为：28【点评】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的通项，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键14（5分）已知双曲线的焦距为，则其离心率为【分析】根据题意，由双曲线的标准方程，通过双曲线的焦距，列出方程求出m，然后求解离心率即可【解答】解：根据题意，双曲线，可得（3m）（m2）0，解得m3或m2，当m3时，双曲线的焦距为，可得m2+m33，解得m4，此时双曲
18、线的离心率为：当m2时，双曲线的焦距为，可得3m+2m3，解得m1，此时双曲线的离心率为：故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，注意双曲线的焦距是2c15（5分）在区间2，2上随机取一个数b，若使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为，则a【分析】求出直线与圆有交点时b的范围，再由长度比为求解a值【解答】解：圆x2+y2a的圆心为（0，0），半径为，圆心到直线yx+b的距离d，由，可得b，使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为，可得a故答案为：【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是中档题16（5分）用五种不同的颜色给图中A、B、C、
19、D、E、F六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法960种【分析】根据题意，先分析颜色相同的区域，进而将其他区域的颜色任意排列，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，用五种不同的颜色给6个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则必须有2个区域颜色相同，分2步进行分析：首先分析颜色相同的2个区域的情况：AE、AC、AF、BD、BF、CD、CE、DF，共8种情况，在5种颜色中任选1种，为其涂色，有5种情况，将剩余的种颜色给其他的4个区域涂色，有A4424种情况，则不同的涂色方法有8524960种；故答案为：960【点评】本题考查排列、组
20、合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，a2b，（1）求sinB的值；（2）若ABC的面积为，求c的值【分析】（1）由得，由a2b及正弦定理即可得出（2）根据余弦定理可得，把a2b代入上式，整理解得c2b，再利用面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由得，由a2b及正弦定理可得（2）根据余弦定理可得，代入a2b得，整理得2c2bc6b20，即（2c+3b）（c2b）0，解得c2b，解得c4【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计
21、算能力，属于中档题18（12分）已知数列an的前n项和Sn（）求数列an的通项公式；（）设bnlog3a2n1，nN*，求数列的前n项和Tn【分析】（）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求通项；（）求得bnlog3a2n12n1，运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和【解答】解：（）当n1时，由得a13；当n2时，由得，an是首项为3，公比为3的等比数列，nN*；（）由（）可知：，【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PAB
22、为正三角形，ABCD为正方形，平面PAB平面ABCD，E、F分别为AC、BP中点（1）证明：EF平面PCD；（2）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值【分析】（1）连接BD，证明EFPD，即可证明EF平面PCD（2）建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设AB2，求出，平面PAC的法向量，设BP与平面PAC所成角为，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：连接BD，ABCD是正方形，E是AC的中点，E是BD的中点，F是BP的中点，EFPD，EF平面PCD，PD平面PBD，EF平面PCD（2）解：建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，设AB2，则B（0，1，0），A（0，1，0），C（0，1
23、，2），设平面PAC的法向量，则，取得，设BP与平面PAC所成角为，则【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）某企业有A、B两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如表：A岗位B岗位总计女生12820男生245680总计3664100（1）根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投B岗位的人数为X，求X的分布列和数学期望参考公式：，其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.0500.0250.010k03.8415.
24、0246.635【分析】（1）根据题意计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【解答】解：（1）根据题意计算，故有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关；（2）X的可能取值为0，1，2，则，；X的分布列为：X012P数学期望为【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是基础题21（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线交C于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值【分析】（1）利用椭圆的离心率以及点在椭圆上，解得a2，b2，即可求出椭圆方程（2）
25、设A（x1，y1），B（x2，y2），将代入C方程整理得，通过0，以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可【解答】解：（1）由已知可得，且，解得a24，b22，椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将代入C方程整理得，2m24（m22）0，m24，当且仅当m22时取等号，OAB面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用22（12分）设函数f（x）x2ax+2+lnx（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a3时，f（x）在en，+）（nZ）上存在两个零点，求n的最大值【分析】（1）求出定义域为（0，+），求出，利用f（x）在其定义域上是增函数，列出不等式求解即可（2）当a3时，判断函数的单调性求解函数的极值，利用已知条件推出只需且f（en）0，即可求出结果【解答】解：（1）定义域为（0，+），f（x）在其定义域上是增函数，f'（x）0，实数a的取值范围是（2）当a3时，由f'（x）0得，由f'（x）0得，f（x）在处取得极大值，在x1处取得极小值f（1）0，x1是一个零点，当x1，f（x）0，故只需且f（en）0，n的最大值为2【点评】本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力