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2017-2018学年陕西省安康市高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2017-2018学年陕西省安康市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知全集UR,集合Ax|x25x140,Bx|3x3,则图中阴影部分表示的集合为()A(3,2B(2,3C(2,3D3,7)2(5分)已知复数z满足iz1i,则其共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3(5分)已知向量,若与垂直,则()A2B3CD4(5分)若x,y满足约束条件,则zx2y的最大值为()A2B1C2D45(5分)下列命题正确的是()A若bc,则a2ba2cB“x1”

2、是“x23x40”的必要不充分条件C命题“pq”、“pq”、“p”中至少有一个为假命题D“若a2+b20,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b20”6(5分)已知,是两个不同的平面,m,n是异面直线且mn,则下列条件能推出的是()Am,nBm,nCm,nDm,n7(5分)曲线yeaxcosx在x0处的切线与直线x+2y0垂直,则a()A2B1C1D28(5分)执行如图所示程序框图,输出的S的值为()ABC3D49(5分)设,则()AabcBbacCcabDcba10(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABC3D11(5分)为得到函数的图象,只需将函数图

3、象上所有的点()A横坐标缩短到原来的倍B横坐标伸长到原来的倍C横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位D横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位12(5分)过抛物线E:y22px(p0)的焦点作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1交E于A,C两点,直线l2交E于B,D两点,若四边形ABCD面积的最小值为64,则p的值为()AB4CD8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)展开式中x5的系数为   14(5分)已知双曲线的焦距为,则其离心率为   15(5分)在区间2,2上随机取一个数b,若使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为,则a  

4、16(5分)用五种不同的颜色给图中A、B、C、D、E、F六个区域涂色,要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全,则共有涂色方法   种三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,a2b,(1)求sinB的值;(2)若ABC的面积为,求c的值18(12分)已知数列an的前n项和Sn()求数列an的通项公式;()设bnlog3a2n1,nN*,求数列的前n项和Tn19(12分)如图,四棱锥PABCD中,PAB为正三角形,ABCD为正方形,平面PAB平面ABCD,E、F分别为AC、BP中点(1)证明:EF平

5、面PCD;(2)求直线BP与平面PAC所成角的正弦值20(12分)某企业有A、B两个岗位招聘大学毕业生,其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如表:A岗位B岗位总计女生12820男生245680总计3664100(1)根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关?(2)从投简历的女生中随机抽取两人,记其中投B岗位的人数为X,求X的分布列和数学期望参考公式:,其中na+b+c+d参考数据:P(K2k0)0.0500.0250.010k03.8415.0246.63521(12分)已知椭圆C:的离心率为,且过点(1)求椭圆C的方程;(2)设直线交C于A、B两点,O为坐

6、标原点,求OAB面积的最大值22(12分)设函数f(x)x2ax+2+lnx(1)若f(x)在其定义域上是增函数,求实数a的取值范围;(2)当a3时,f(x)在en,+)(nZ)上存在两个零点,求n的最大值2017-2018学年陕西省安康市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知全集UR,集合Ax|x25x140,Bx|3x3,则图中阴影部分表示的集合为()A(3,2B(2,3C(2,3D3,7)【分析】先分别求出集合A,B,UB,图中阴影部分表示的集合为A(UB),

7、由此能求出结果【解答】解:全集UR,集合Ax|x25x140x|2x7,Bx|3x3,UBx|x3或x3,图中阴影部分表示的集合为:A(UB)x|3x73,7)故选:D【点评】本题考查集合的求法,考查交集、补集等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题2(5分)已知复数z满足iz1i,则其共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:iz1i,z,则复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第二象限故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意

8、义,是基础题3(5分)已知向量,若与垂直,则()A2B3CD【分析】先求出(4,x),再由与垂直,得x28,由此能求出【解答】解:向量,(4,x),与垂直,()4+x22(2+x2)0,解得x28,3故选:B【点评】本题考查向量的模的求法,考查向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4(5分)若x,y满足约束条件,则zx2y的最大值为()A2B1C2D4【分析】先画出满足条件的平面区域,通过解方程求出B点的坐标,根据zx2y变形为yxz,通过图象显然,直线过A时,z最大,求出即可【解答】解:作出x,y满足约束条件的平面区域,如图示:由,解得:A(2,

9、0),由zx2y得:yxz,显然,直线过A(2,0)时,z最大,z的最大值是2,故选:C【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题5(5分)下列命题正确的是()A若bc,则a2ba2cB“x1”是“x23x40”的必要不充分条件C命题“pq”、“pq”、“p”中至少有一个为假命题D“若a2+b20,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b20”【分析】由a0,bc,即可判断A;由二次方程的解法和充分必要条件的定义,可判断B;讨论p真或假,结合复合命题的真假,即可判断C;由命题的逆否命题形式,可判断D【解答】解:对于A,若bc,a0,则a2ba2c,故

10、A错;对于B,x23x40,可得x1或x4,则“x1”是“x23x40”的充分不必要条件,故B错;对于C,命题“pq”、“pq”、“p”中若P真,p为假,若p假,则pq为假,即三个复合命题中至少有一个为假,故C正确;对于D,“若a2+b20,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b20”,故D错故选:C【点评】本题考查命题的真假判断,主要是充分必要条件的判断和复合命题的真假、四种命题的形式,考查判断能力和推理能力,属于基础题6(5分)已知,是两个不同的平面,m,n是异面直线且mn,则下列条件能推出的是()Am,nBm,nCm,nDm,n【分析】在A中,与相交或平行;在B中,与

11、相交或平行;在C中,与相交或平行;在D中,由面面垂直的判定定理得【解答】解:由,是两个不同的平面,m,n是异面直线且mn,知:在A中,m,n,则与相交或平行,故A错误;在B中,m,n,则与相交或平行,故B错误;在C中,m,n,则与相交或平行,故C错误;在D中,m,n,由面面垂直的判定定理得,故D正确故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题7(5分)曲线yeaxcosx在x0处的切线与直线x+2y0垂直,则a()A2B1C1D2【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x0处的导数,从而求出切线的斜率,再根据两直线垂直建立等式关系,解之

12、即可【解答】解:yeaxcosx,y(acosxsinx)eax曲线yeaxcosx在x0处的斜率为a,曲线yeaxcosx在x0处的切线与直线x+2y0垂直,a1,即a2故选:D【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的应用等有关问题,属于基础题8(5分)执行如图所示程序框图,输出的S的值为()ABC3D4【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量Slog32log43log87故选:B【点评】

13、本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题9(5分)设,则()AabcBbacCcabDcba【分析】分别计算a,b,c与的关系,即可比较【解答】解:,(xx3),lne,则abc,故选:D【点评】本题考查了不等式的比较和定积分的计算,属于基础题10(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABC3D【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可【解答】解:由三视图可知,几何体是正方体的一部分,如图:多面体ABCDEF,正方体的棱长为2,所以几何体是体积为:故选:D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何

14、体的形状是解题的关键11(5分)为得到函数的图象,只需将函数图象上所有的点()A横坐标缩短到原来的倍B横坐标伸长到原来的倍C横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位D横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位【分析】利用诱导公式,函数yAsin(x+)的图象变换规律,得出结论【解答】解:函数cos(3x)sin(3x+),将函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍,可得g(x)的图象,故选:A【点评】本题主要考查诱导公式,函数yAsin(x+)的图象变换规律,属于基础题12(5分)过抛物线E:y22px(p0)的焦点作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1交E于A,C两点,直线l2交E于B,D两点,

15、若四边形ABCD面积的最小值为64,则p的值为()AB4CD8【分析】方法一:设直线l1的倾斜角为,则|AC|,|BD|,即可求出S四边形ABCD,根据三角函数的性质即可求出最小值,方法二:设l1:xky+,设l2:xy+,设A(x1,y1),C(x2,y2),根据韦达定理和抛物线的性质可得|AC|2p(k2+1),同理可得|BD|2p(+1),根据面积公式和基本不等式即可求出最小值,则p可求出【解答】解:方法一:设直线l1的倾斜角为,则|AC|,|BD|,S四边形ABCD|AB|CD|,当2时,S取的最小值8p2,8p264,解得p2,方法二:设l1:xky+,设l2:xy+,设A(x1,y

16、1),C(x2,y2)由,消x可得y22pky2p20,y1+y22pk,x1+x2k(y1+y2)+p2pk2+p,|AC|x1+x2+p2pk2+2p2p(k2+1),同理可得|BD|2p(+1),S四边形ABCD|AB|CD|2p2(k2+1)(+1)2p2(2+k2+)2p2(2+2)8p2,当且仅当k1时取等号,8p264,解得p2,故选:A【点评】本题考查了抛物线的性质,直线和抛物线的位置关系,考查了转化思想和运算能力,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)展开式中x5的系数为28【分析】由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数,先写出二项式的

17、通项,使得变量x的指数等于5,解出r的值,把r的值代入通项得到这一项的系数【解答】解:Tr+1C8rx8r,要求x5的系数,85,r2,x5的系数是(1)2C8228,故答案为:28【点评】本题是一个典型的二项式问题,主要考查二项式的通项,注意二项式系数和项的系数之间的关系,这是容易出错的地方,本题考查展开式的通项式,这是解题的关键14(5分)已知双曲线的焦距为,则其离心率为【分析】根据题意,由双曲线的标准方程,通过双曲线的焦距,列出方程求出m,然后求解离心率即可【解答】解:根据题意,双曲线,可得(3m)(m2)0,解得m3或m2,当m3时,双曲线的焦距为,可得m2+m33,解得m4,此时双曲

18、线的离心率为:当m2时,双曲线的焦距为,可得3m+2m3,解得m1,此时双曲线的离心率为:故答案为:【点评】本题考查双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用,注意双曲线的焦距是2c15(5分)在区间2,2上随机取一个数b,若使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为,则a【分析】求出直线与圆有交点时b的范围,再由长度比为求解a值【解答】解:圆x2+y2a的圆心为(0,0),半径为,圆心到直线yx+b的距离d,由,可得b,使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为,可得a故答案为:【点评】本题考查几何概型概率的求法,考查数学转化思想方法,是中档题16(5分)用五种不同的颜色给图中A、B、C、

19、D、E、F六个区域涂色,要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全,则共有涂色方法960种【分析】根据题意,先分析颜色相同的区域,进而将其他区域的颜色任意排列,由分步计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,用五种不同的颜色给6个区域涂色,要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全,则必须有2个区域颜色相同,分2步进行分析:首先分析颜色相同的2个区域的情况:AE、AC、AF、BD、BF、CD、CE、DF,共8种情况,在5种颜色中任选1种,为其涂色,有5种情况,将剩余的种颜色给其他的4个区域涂色,有A4424种情况,则不同的涂色方法有8524960种;故答案为:960【点评】本题考查排列、组

20、合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于基础题三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,a2b,(1)求sinB的值;(2)若ABC的面积为,求c的值【分析】(1)由得,由a2b及正弦定理即可得出(2)根据余弦定理可得,把a2b代入上式,整理解得c2b,再利用面积计算公式即可得出【解答】解:(1)由得,由a2b及正弦定理可得(2)根据余弦定理可得,代入a2b得,整理得2c2bc6b20,即(2c+3b)(c2b)0,解得c2b,解得c4【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计

21、算能力,属于中档题18(12分)已知数列an的前n项和Sn()求数列an的通项公式;()设bnlog3a2n1,nN*,求数列的前n项和Tn【分析】()运用数列的递推式,结合等比数列的定义和通项公式,计算即可得到所求通项;()求得bnlog3a2n12n1,运用数列的求和方法:裂项相消求和,计算即可得到所求和【解答】解:()当n1时,由得a13;当n2时,由得,an是首项为3,公比为3的等比数列,nN*;()由()可知:,【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题19(12分)如图,四棱锥PABCD中,PAB

22、为正三角形,ABCD为正方形,平面PAB平面ABCD,E、F分别为AC、BP中点(1)证明:EF平面PCD;(2)求直线BP与平面PAC所成角的正弦值【分析】(1)连接BD,证明EFPD,即可证明EF平面PCD(2)建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,设AB2,求出,平面PAC的法向量,设BP与平面PAC所成角为,利用空间向量的数量积求解即可【解答】(1)证明:连接BD,ABCD是正方形,E是AC的中点,E是BD的中点,F是BP的中点,EFPD,EF平面PCD,PD平面PBD,EF平面PCD(2)解:建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,设AB2,则B(0,1,0),A(0,1,0),C(0,1

23、,2),设平面PAC的法向量,则,取得,设BP与平面PAC所成角为,则【点评】本题考查直线与平面所成角的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力20(12分)某企业有A、B两个岗位招聘大学毕业生,其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如表:A岗位B岗位总计女生12820男生245680总计3664100(1)根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关?(2)从投简历的女生中随机抽取两人,记其中投B岗位的人数为X,求X的分布列和数学期望参考公式:,其中na+b+c+d参考数据:P(K2k0)0.0500.0250.010k03.8415.

24、0246.635【分析】(1)根据题意计算观测值,对照临界值得出结论;(2)由题意知随机变量X的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,求出数学期望值【解答】解:(1)根据题意计算,故有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关;(2)X的可能取值为0,1,2,则,;X的分布列为:X012P数学期望为【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望问题,是基础题21(12分)已知椭圆C:的离心率为,且过点(1)求椭圆C的方程;(2)设直线交C于A、B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值【分析】(1)利用椭圆的离心率以及点在椭圆上,解得a2,b2,即可求出椭圆方程(2)

25、设A(x1,y1),B(x2,y2),将代入C方程整理得,通过0,以及韦达定理,结合弦长公式,求解三角形的面积表达式,利用基本不等式求解最值即可【解答】解:(1)由已知可得,且,解得a24,b22,椭圆C的方程为(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将代入C方程整理得,2m24(m22)0,m24,当且仅当m22时取等号,OAB面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用22(12分)设函数f(x)x2ax+2+lnx(1)若f(x)在其定义域上是增函数,求实数a的取值范围;(2)当a3时,f(x)在en,+)(nZ)上存在两个零点,求n的最大值【分析】(1)求出定义域为(0,+),求出,利用f(x)在其定义域上是增函数,列出不等式求解即可(2)当a3时,判断函数的单调性求解函数的极值,利用已知条件推出只需且f(en)0,即可求出结果【解答】解:(1)定义域为(0,+),f(x)在其定义域上是增函数,f'(x)0,实数a的取值范围是(2)当a3时,由f'(x)0得,由f'(x)0得,f(x)在处取得极大值,在x1处取得极小值f(1)0,x1是一个零点,当x1,f(x)0,故只需且f(en)0,n的最大值为2【点评】本题考查函数的导数的应用,考查函数的单调性以及函数的极值的求法,考查转化思想以及计算能力