1、2017-2018学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）（1+i）（2i）（）A3iB3+iC3iD3+i2（5分）若yf（x）在（，+）可导，且，则f（a）（）AB2C3D3（5分）已知函数yf（x）的图象如图所示，则f（xA）与f（xB）的大小关系是（）Af（xA）f（xB）Bf（xA）f（xB）Cf（xA）f（xB）D不能确定4（5分）积分（）ABCa2D2a25（5分）设随机变量的概率分布列为P（k）a（）k，其中k0，1，2，那么a的值为（）ABCD6（5分）把
2、10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A4种B5种C6种D7种7（5分）已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（）ABCD8（5分）从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（）A12种B19种C32种D60种9（5分）在某一试验中事件A出现的概率为p，则在n次试验中出现k次的概率为（）A1pkB（1p）kpnkC1（1p）kD10（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截
3、下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2a2+b2设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）AS4S1+S2+S3BS42S12+S22+S32CS43S13+S23+S33DS44S14+S24+S3411（5分）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出如7738可用算筹表示为19这9个数字的
4、纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）ABCD12（5分）在如图的四个图象中，其中一个图象是函数f（x）x3+ax2+（a21）x+1（aR）的导函数yf（x）的图象，则f（1）等于（）ABCD或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设i为虚数单位，若复数z满足i，其中为复数z的共轭复数，则|z| 14（5分）在（x2）8的展开式中，x7的系数为 15（5分）已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.15，则P（24）等于 16（5分）某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是 三、解答题（本大
5、题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在下列条件下，分别求出有多少种不同的做法？（）5个不同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少一球；（）5个相同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少一球18（12分）已知函数f（x）ax3+bx在x2处取得极值为16（）求实数a，b的值；（）求f（x）的单调区间19（12分）已知函数yf（x）对任意实数x，y都有f（x+y）f（x）+f（y）+2xy，且f（1）1（）求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）（nN+）的表达式；（）用数学归纳法证明（I）中的猜想20（12分）2017年10月9日，教育部考试中心下发了关于
6、2018年普通高考考试大纲修订内容的通知，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用鞍山市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全是范围内开设书法课，经典诵读等课程为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了200位市民进行了解，发现支持开展的占75%，在抽取的男性市民120人中支持态度的为80人支持不支持合计男性女性合计（1）完成22列联表（2）判断是否有99.9%的把握认为性别与支持有关？附：K2P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.70
7、63.8415.0246.6357.87910.82821（12分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望22（12分）已知函数f（x）xlnx，g（x）x3+ax2x+2（）如果函数g（x）的单调递减区间为（，1），求函数g（x）的解析式；（）若x（0，+），使关于x的不等式2f（x）g（x）+2成立，求实数a的取值范围2017-2018学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷
8、（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）（1+i）（2i）（）A3iB3+iC3iD3+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i）（2i）3+i故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）若yf（x）在（，+）可导，且，则f（a）（）AB2C3D【分析】根据导数的定义进行求解即可【解答】解：，1，即f（a）1，则f（a），故选：D【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键3（5分）已知函数yf（x）的图象如图
9、所示，则f（xA）与f（xB）的大小关系是（）Af（xA）f（xB）Bf（xA）f（xB）Cf（xA）f（xB）D不能确定【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f（xA）为点A出切线的斜率，f（xB）为点B处切线的斜率，分析函数的图象，即可得答案【解答】解：根据题意，由导数的几何意义，f（xA）为点A处切线的斜率，f（xB）为点B处切线的斜率，由图象分析可得：f（xA）f（xB）；故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，准确理解导数的几何意义是解题的关键4（5分）积分（）ABCa2D2a2【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆【解
10、答】解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为a的圆的上半圆的面积，故故选：B【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题5（5分）设随机变量的概率分布列为P（k）a（）k，其中k0，1，2，那么a的值为（）ABCD【分析】由已知分别求出P（0），P（1），P（2），由此利用离型随机变量的分布列的性质能求出a的值【解答】解：随机变量的概率分布列为P（k）a（）k，其中k0，1，2，P（0）a，P（1）a（），P（2）a（）2，a+1，解得a故选：D【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合
11、理运用6（5分）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A4种B5种C6种D7种【分析】利用分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，列出分组方法即可【解答】解：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法即1和4，2和3个有两种方法三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法即2和4；3和3两种方法三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的所以不同的分法共有2+24故选：A【点评】本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和用列
12、举法也可以，形象、直观易懂7（5分）已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（）ABCD【分析】根据古典概型概率公式计算【解答】解：第一次抽到红球后，袋中还有2个红球，3个白球，故第二次还抽到红球的概率为故选：C【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题8（5分）从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（）A12种B19种C32种D60种【分析】分两类：第一类直接到达，第二类：间接到达，根据分类计数原理可得【解答】解：分
13、两类：第一类直接到达，甲地到乙地，每天有直达汽车4班共有4种方法，第二类：间接到达，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，共有5315种方法，根据分类计数原理可得4+1519，故选：B【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于基础题9（5分）在某一试验中事件A出现的概率为p，则在n次试验中出现k次的概率为（）A1pkB（1p）kpnkC1（1p）kD【分析】根据题意，由对立事件的意义，可得n次试验中出现k次，则A出现（nk）次；进而由n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，在n次试验中出现k次，则A出现（nk）次；根据n次独立重
14、复试验中恰好发生k次的概率公式可得其概率为nk（1p）kpnk，故答案为：nk（1p）kpnk故选：D【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式的运用，解题时注意结合对立事件的意义，分析出n次试验中出现k次，则A出现（nk）次是解题的关键10（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2a2+b2设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）AS4S1+S2+S3BS42S12+S
15、22+S32CS43S13+S23+S33DS44S14+S24+S34【分析】从平面图形到空间图形，同时模型不变【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S42S12+S22+S32故选：B【点评】本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力解题的关键是掌握好类比推理的定义11（5分）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出如7738可用算筹表示为19这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果可用算筹表示为
16、（）ABCD【分析】根据题意，由对数的运算性质可得729，结合算筹记数的方法分析可得答案【解答】解：根据题意，36729，用算筹记数表示为；故选：D【点评】本题考查合情推理的应用，关键是理解题目中算筹记数的方法12（5分）在如图的四个图象中，其中一个图象是函数f（x）x3+ax2+（a21）x+1（aR）的导函数yf（x）的图象，则f（1）等于（）ABCD或【分析】求函数的导数，结合函数的解析式以及二次函数的图象和性质求出a的值即可【解答】解：函数的导数f（x）x2+2ax+（a21），则f（x）是一个开口向上的抛物线，故第三个图象是，则f（0）0，即f（0）a210，则a21，得a1，又对称
17、轴a0，则a0，则a1，即f（x）x22x，则f（x）x3x2+1，则f（1）1+1，故选：B【点评】本题主要考查三次函数的图象和二次函数的图象和性质，求出函数的导数，利用图象确定a的值是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设i为虚数单位，若复数z满足i，其中为复数z的共轭复数，则|z|【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义及其模的计算公式即可得出【解答】解：数z满足i，i（1i）1i，则z1+i|z|故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）在（x2）8的展开式中，x7
18、的系数为16【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解【解答】解：由题意，含有x7的项为：，其系数为：8（2）16，故答案为：16【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题15（5分）已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.15，则P（24）等于0.35【分析】根据正态分布的对称性及概率之和为1即可得出答案【解答】解：随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.15，对称轴为4，P（24）0.5P（2）0.35故答案为：0.35【点评】本题考查了正态分布的对称性，属于基本知识的考查16（5分）某城市的电话号码，由六位升
19、为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是81105【分析】电话号码是六位数字时，根据分步计数原理知该城市可安装电话9105部，升为七位时可以按照为9106部，两者做差得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9105部，同理升为七位时为9106可增加的电话部数是9106910581105故：81105【点评】本题考查分步乘法原理，两次使用分步计数原理，这个问题分步很明确，先排首位，再排列第二位，以此类推得到结果即可，本题是一个基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在下列条件
20、下，分别求出有多少种不同的做法？（）5个不同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少一球；（）5个相同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少一球【分析】（）根据分步计数原理，第一步从5个球种选出2个组成复合元素，再把4个元素（包含一个复合元素）放入4个不同的盒子中，问题得以解决；（）5个相同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少一球，有C43种方法【解答】解：（）第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有C5210种方法，再把4个元素（包含一个复合元素）放入4个不同的盒子中有A4424种，根据分步计数原理放球的方法有1024240种；（）利用插板法，把5个球排成一排，不包含两端，形成了4个空，插入3个板，有C
21、434种，故5个相同的球，放入4个不同的盒子，每盒至少一球，有C434种【点评】本题主要考查了排列组合混合问题，先选后排是关键18（12分）已知函数f（x）ax3+bx在x2处取得极值为16（）求实数a，b的值；（）求f（x）的单调区间【分析】（）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：（）f（x）ax3+bx，可得f（x）3ax2+b，由函数f（x）ax3+bx在x2处取得极值为16，得，解得：；（）由（）f（x）x312x，f（x）3x212，令f（x）0，解得：x2或x2，令f（x）0，解得：2x2，故
22、f（x）在（，2），（2，+）递增，在（2，2）递减f（x）的单调增区间：（，2），（2，+）；单调减区间：（2，2）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题19（12分）已知函数yf（x）对任意实数x，y都有f（x+y）f（x）+f（y）+2xy，且f（1）1（）求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）（nN+）的表达式；（）用数学归纳法证明（I）中的猜想【分析】（）令xy0得f（0+0）f（0）+f（0）+200f（0）0代值即可求得f（2），当x2，y1求得f（x），当x3，y1，即可求得f（4）的值；然后猜想（）利用数学归纳法的步骤，当n1时
23、，f（1）1，猜想成立；假设当nk时，f（k）k2，当nk+1时，f（k+1）f（k）+f（1）+2k1k2+2k+1（k+1）2，当nk+1时猜想成立，因此f（n）n2【解答】解：（）令xy0得f（0+0）f（0）+f（0）+200f（0）0f（1）1，f（2）f（1+1）1+1+24，f（3）f（2+1）4+1+2219，f（4）f（3+1）9+1+23116，猜想f（n）n2，（）数学归纳法证明之当n1时，f（1）1，猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即 f（k）k2则当nk+1时，f（k+1）f（k）+f（1）+2k1k2+2k+1（k+1）2 即当nk+1时猜想成立由可知，对于一切n
24、N*猜想均成立【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查数学归纳法的应用，考查代入法，考查计算能力，属于中档题20（12分）2017年10月9日，教育部考试中心下发了关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用鞍山市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全是范围内开设书法课，经典诵读等课程为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了200位市民进行了解，发现支持开展的占75%，在抽取的男性市民120人中支持态度的为80人支持不支持合计男性女性合计（1）完成
25、22列联表（2）判断是否有99.9%的把握认为性别与支持有关？附：K2P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据分层抽样法求出抽取的人数，填写列联表即可；（2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）抽取的男性市民为120人，持支持态度的为20075%150人，男性公民中持支持态度的为80人，列出22列联表如下：支持不支持合计男性8040120女性701080合计15050200（2）由表中数据，计算K211.1110.828，所以有99.9%的把握认
26、为性别与支持有关【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题21（12分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，；故随机变量X的概率分布表为：X01
27、23P（8分）所以，X的数学期望为 （10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题22（12分）已知函数f（x）xlnx，g（x）x3+ax2x+2（）如果函数g（x）的单调递减区间为（，1），求函数g（x）的解析式；（）若x（0，+），使关于x的不等式2f（x）g（x）+2成立，求实数a的取值范围【分析】（）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即，1是方程g（x）0的两个根然后解a即可（）将不等式2f（x）g（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可【解答】解：（）g（x）3x2+2ax1，若函数g（x）单调减区间为（，1），由g（x）3x2+2ax10，解为x1，1是方程g（x）0的两个根，+1a1，g（x）x3x2x+2；（）要使关于x的不等式2f（x）g（x）+2成立，即2xlnx3x2+2ax1+2成立所以2ax2xlnx3x21，在x0时有解，所以2a2lnx3x最大值，令h（x）2lnx3x，则h（x），当0x1时，h（x）0，h（x）单增，当x1时，h（x）0，h（x）单减x1时，h（x）max4，2a4，即a2【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立