1、2017-2018学年陕西省西安市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个2（5分）复数（）A1B1CiDi3（5分）已知（a，2），（1，1a），且，则a（）A1B2或1C2D24（5分）在区间1，1上随机选取一个实数x，则事件“2x10“的概率为（）ABCD5（5分）已知tana4，cot，则tan（a+）（）ABCD6（5分）（x2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A15B
2、15C60D607（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（）A2B1CD18（5分）设非零向量、满足，则（）A150B120C60D309（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种10（5分）下列4个命题中正确命题的个数是（1）对于命题p：x0R，使得x0210，则p：xR都有x210（2）已知XN（2，2），P（x2）0.5（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为2x3（4）“x1”是“x
3、+2”的充分不必要条件（）A1B2C3D411（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，若D1AC外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为（）A2B8C12D1612（5分）已知奇函数f（x）的导函数为f（x），当x0时，f（x）+0，若af（），bef（e），cf（1），则a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBbcaCcabDacb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）能够说明“exx+1恒成立”是假命题的一个x的值为 14（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 15（5分）设实数x，y满足，则2xy的最小值为 16（5分）设等差数
4、列an的前n的和为Sn，若S972，则a2+a4+a9 三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个考题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知函数f（x）sinxacosx的一个零点是（）求实数a的值；（）设，若x，求g（x）的值域18（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1
5、是乙套设备的样本的频率分布直方图表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95，100）100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（）将频率视为概率若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）附：P（K2k0）0.150.100.0500.0250.010
6、k02.0722.7063.8415.0246.63519（12分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，CFDE，DE3CF，BE与平面ABCD所成的角为45（1）求证：平面ACE平面BDE；（2）求二面角FBED的余弦值20（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（）写出C的方程；（）设直线ykx+1与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？21（12分）设函数f（x）x（klnx），（k为常数），曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求g（x）的单调区间和最小值；（）若对任意x0恒成立，求实数a
7、的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为4（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值选修4-5:不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|+|2x1|，g（x）|x1|+2（1）解不等式g（x）4；（2）若对任意x2R，都有x1R，使得f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围2017-2018学年陕西省西安市高二（下）期末数学试卷（理科）
8、参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，则集合U（AB）中的元素共有（）A3个B4个C5个D6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出AB，再根据补集的含义求解【解答】解：AB3，4，5，7，8，9，AB4，7，9U（AB）3，5，8故选A也可用摩根律：U（AB）（UA）（UB）故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，较简单2（5分）复数（）A1B1CiDi【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简【解答
9、】解：复数i，故选：C【点评】本题考查两个复数的除法法则的应用以及两个复数乘法法则的应用3（5分）已知（a，2），（1，1a），且，则a（）A1B2或1C2D2【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可【解答】解：（a，2），（1，1a），且，a（1a）（2）10，化简得a2a20，解得a2或a1；a的值是2或1故选：B【点评】本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目4（5分）在区间1，1上随机选取一个实数x，则事件“2x10“的概率为（）ABCD【分析】求解一元一次不等式得x的范围，再由测度比为长度比得答案【解答】解：由2x10，得x在区间1，1上随机选取一个实
10、数x，则事件“2x10“的概率为故选：B【点评】本题考查几何概型，关键是明确测度比为长度比，是基础题5（5分）已知tana4，cot，则tan（a+）（）ABCD【分析】由已知中cot，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案【解答】解：tana4，cot，tan3tan（a+）故选：B【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出角的正切值是解答本题的关键6（5分）（x2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A15B15C60D60【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x
11、4y2，即可求出对应的系数【解答】解：（x2y）6展开式的通项公式为Tr+1x6r（2y）r，令r2，得T3x4（2y）260x4y2，所以x4y2的系数为60故选：C【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题目7（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（）A2B1CD1【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：当a2，k0时，执行循环a1，满足继续循环的条件，k1；执行循环a，满足继续循环的条件，k2；执行循环a2，满足继续循环的条件，k3； 执行循环a1，满足
12、继续循环的条件，k4；执行循环a，满足继续循环的条件，k5；执行循环a2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8（5分）设非零向量、满足，则（）A150B120C60D30【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等、可构成菱形的两条相邻边，、为起点处的对角线长等于菱形的边长，两个向量的夹角是120，故选：B【点评】本小题考查向量的几
13、何运算、考查数形结合的思想，基础题向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体9（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51C31C62225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52C61C21120种选法故共有345种选法故选：D【点评】分类加法计数原理和分类乘
14、法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！10（5分）下列4个命题中正确命题的个数是（1）对于命题p：x0R，使得x0210，则p：xR都有x210（2）已知XN（2，2），P（x2）0.5（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为2x3（4）“x1”是“x+2”的充分不必要条件（）A1B2C3D4【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：（1）对于命题p：x0R，使得x0210，则p：xR都有x210，正确；（2）已知XN（2，2），P（x2）0.5，正确；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程
15、为2x3，正确；（4）“x1”可得“x+2”“x+2”不能得出“x1”，比如x，则“x1”是“x+2”的充分不必要条件，正确故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，若D1AC外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为（）A2B8C12D16【分析】由题意画出图形，设正方体的棱长为a，则D1AC是边长为a的等边三角形，由正弦定理列式求得D1AC外接圆半径，进一步求得a值，再由正方体体对角线长的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和求得正方体外接球的半径，则答案可求【解答】解：如图，设正方体的棱长为a，则D1AC是
16、边长为a的等边三角形，设其外接圆的半径为r，则，即r由，得a2正方体外接球的R正方体外接球的表面积为4故选：C【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12（5分）已知奇函数f（x）的导函数为f（x），当x0时，f（x）+0，若af（），bef（e），cf（1），则a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBbcaCcabDacb【分析】令g（x）xf（x），则g（x）f（x）+xf（x）由于当x0时，可得：当x0时，xf（x）+f（x）0即当x0时，g（x）0，因此当x0时，函数g（x）单调递增即可得出【解答】解：令g（x）xf（x），则g（x）f（x）+xf
17、（x）当x0时，当x0时，xf（x）+f（x）0即当x0时，g（x）0，因此当x0时，函数g（x）单调递增，e1，g（e）g（1）g（），函数f（x）为奇函数，g（x）xf（x）xf（x）g（x），故bef（e）g（e），故bg（e）cg（1）ag（），故选：D【点评】本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）能够说明“exx+1恒成立”是假命题的一个x的值为0【分析】利用反例判断命题的真假即可【解答】解：当x0时，exx+1，不成立，故答案为：0【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知
18、识的考查14（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式求解【解答】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：S，由几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为p，故答案为：【点评】本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题15（5分）设实数x，y满足，则2xy的最小值为1【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z2xy，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最小值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图，设z2xy，当此直线经过图中B
19、（0，1）时，在y轴的截距最小，即z最小，所以z的最小值为1；故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16（5分）设等差数列an的前n的和为Sn，若S972，则a2+a4+a924【分析】先由S972用性质求得a5，而3（a1+4d）3a5，从而求得答案【解答】解：a58又a2+a4+a93（a1+4d）3a524故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个考题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据
20、要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知函数f（x）sinxacosx的一个零点是（）求实数a的值；（）设，若x，求g（x）的值域【分析】（I）根据f（）0计算a的值；（II）化简f（x）的解析式，再根据这些函数的单调性得出g（x）的最值即可【解答】（）解：依题意，得，即 ，解得 a1（）解：由（）得 f（x）sinxcosx由得当即时，g（x）取得最大值2，当即时，g（x）取得最小值1所以g（x）的值域是1，2【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题18（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽
21、取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95，100）100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（）将频率视为概率若从甲套设
22、备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）附：P（K2k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【分析】（）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（）根据表1和图1分析数据特征与离散程度，即可得出结论；（）由题知XB（3，），求出数学期望即可【解答】解：（）根据表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100（3分）将列联表中的数据代入公式计算得；（5分）3.0532.706，有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选
23、择有关；（6分）（）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；（9分）（）由题知，不合格品的概率为P，且XB（3，），（11分）X的数学期望为（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题19（12分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，CFDE，DE3CF，BE与平面ABCD所成
24、的角为45（1）求证：平面ACE平面BDE；（2）求二面角FBED的余弦值【分析】（1）根据ACBD，ACDE可得AC平面BDE，故而平面ACE平面BDE；（2）建立空间坐标系，求出平面BDE和平面BEF的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小【解答】（1）证明：DE平面ABCD，AC平面ABCDDEAC又底面ABCD是正方形，ACBD，又BDDED，AC平面BDE，又AC平面ACE，平面ACE平面BDE（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，BE与平面ABCD所成的角为45，即EBD45，DEBDAD3，CFDEA（3，0，0），B（3，
25、3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（0，3，），（3，0，），（0，3，2）， 设平面BEF的一个法向量为（x，y，z），则，即，令z3，则（2，4，3）又AC平面BDE，（3，3，0）为平面BDE的一个法向量cos二面角FBED为锐角，二面角FBED的余弦值为【点评】本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用，属于中档题20（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（）写出C的方程；（）设直线ykx+1与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？【分析】（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆从而写出其方程即可；（）设A（x
26、1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题【解答】解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（4分）（）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx30，故（6分），即x1x2+y1y20而y1y2k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2所以时，x1x2+y1y20，故（8分）当时，而（x2x1）2（x2+x1
27、）24x1x2，所以（12分）【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力21（12分）设函数f（x）x（klnx），（k为常数），曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求g（x）的单调区间和最小值；（）若对任意x0恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得k的值；（）求得g（x）的解析式和导数，以及单调区间，可得极值和最值；（）由题意可得，代入计算即可得到所求a的范围【解答】解：（）f（x）x（klnx）的导数为f（x）klnx1，因为曲线yf
28、（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，所以f（1）k10，所以k1；（），定义域为x|x0，导数g（x）+，令g（x）0得x1，当x变化时，g（x）和g（x）的变化如下表： x （0，1） 1 （1，+） g（x） 0+ g（x） 递减 0 递增由上表可知g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+），最小值为g（1）0；（）若对任意x0成立，则，即1+lna0，即lna1，解得0ae【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，
29、如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为4（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值【分析】（1）圆C的极坐标方程为4，展开可得：24（cossin），利用互化公式即可得出直角坐标方程（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t40.【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为4，展开可得：24（cossin），可得直角坐标方程：x2+y24x+4y0（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入
30、上述方程可得：t2+2t40t1+t22，t1t24，则【点评】本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5:不等式选讲23已知函数f（x）|2x+a|+|2x1|，g（x）|x1|+2（1）解不等式g（x）4；（2）若对任意x2R，都有x1R，使得f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由g（x）4，得|x1|2，由此能求出不等式g（x）4的解集（2）推导出y|yg（x）y|yf（x）利用g（x）|x1|+22，f（x）|2x+a|+|2x1|（2x+a）（2x1）|a+1|得到|a+1|2，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）g（x）|x1|+2g（x）4，由|x1|+24，得|x1|2，解得x1或x3故不等式g（x）4的解集为x|x1或x3（2）对任意x2R，都有x1R，使得f（x1）g（x2）成立，y|yg（x）y|yf（x）又g（x）|x1|+22，f（x）|2x+a|+|2x1|（2x+a）（2x1）|a+1|a+1|2，解得3a1，实数a的取值范围为3，1【点评】本题考查不等式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题